Номер 2.28, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28. Какой цифрой может оканчиваться:

1) квадрат натурального числа;

2) четвертая степень натурального числа?

Чтобы определить, какой цифрой может оканчиваться степень натурального числа, достаточно рассмотреть, на какую цифру оканчивается та же степень последней цифры этого числа. Последней цифрой натурального числа может быть любая цифра от 0 до 9.

1) квадрат натурального числа

Найдем последнюю цифру квадрата ($n^2$) для каждой возможной последней цифры исходного натурального числа $n$.

• Если число оканчивается на 0, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $0^2=0$, то есть на 0.
• Если число оканчивается на 1, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $1^2=1$, то есть на 1.
• Если число оканчивается на 2, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $2^2=4$, то есть на 4.
• Если число оканчивается на 3, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $3^2=9$, то есть на 9.
• Если число оканчивается на 4, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $4^2=16$, то есть на 6.
• Если число оканчивается на 5, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $5^2=25$, то есть на 5.
• Если число оканчивается на 6, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $6^2=36$, то есть на 6.
• Если число оканчивается на 7, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $7^2=49$, то есть на 9.
• Если число оканчивается на 8, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $8^2=64$, то есть на 4.
• Если число оканчивается на 9, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $9^2=81$, то есть на 1.

Таким образом, возможные последние цифры для квадрата натурального числа — это 0, 1, 4, 5, 6, 9. Квадрат натурального числа не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.

Ответ: Квадрат натурального числа может оканчиваться на одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

2) четвертая степень натурального числа

Найдем последнюю цифру четвертой степени ($n^4$). Поскольку $n^4 = (n^2)^2$, последняя цифра четвертой степени числа равна последней цифре квадрата последней цифры его квадрата. Мы можем использовать результаты из предыдущего пункта (возможные последние цифры для $n^2$: 0, 1, 4, 5, 6, 9) и возвести их в квадрат.

• Если $n^2$ оканчивается на 0, то $n^4$ оканчивается на $0^2=0$.
• Если $n^2$ оканчивается на 1, то $n^4$ оканчивается на $1^2=1$.
• Если $n^2$ оканчивается на 4, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $4^2=16$, то есть на 6.
• Если $n^2$ оканчивается на 5, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $5^2=25$, то есть на 5.
• Если $n^2$ оканчивается на 6, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $6^2=36$, то есть на 6.
• Если $n^2$ оканчивается на 9, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $9^2=81$, то есть на 1.

Таким образом, возможные последние цифры для четвертой степени натурального числа — это 0, 1, 5, 6.

Ответ: Четвертая степень натурального числа может оканчиваться на одну из следующих цифр: 0, 1, 5, 6.