Номер 2.21, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.21. Представьте одночлен в стандартном виде:

1) $\frac{(x^2y^3z^2)^4 \cdot (x^3y)^3}{(xy^2z^4)^2};$

2) $\frac{(3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n}{(3a^2b^n)^2}$, $n \in N$.

1) Чтобы представить данный одночлен в стандартном виде, необходимо последовательно выполнить все указанные действия со степенями. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента) и натуральных степеней различных переменных.

Исходное выражение: $ \frac{(x^2y^3z^2)^4 \cdot (x^3y)^3}{(xy^2z^4)^2} $

Сначала возведем в степень каждый из множителей в числителе и знаменателе, используя правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $ и правило возведения произведения в степень $ (abc)^n = a^n b^n c^n $.

Упростим числитель:

$ (x^2y^3z^2)^4 = (x^2)^4(y^3)^4(z^2)^4 = x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4}z^{2 \cdot 4} = x^8y^{12}z^8 $

$ (x^3y)^3 = (x^3)^3y^3 = x^{3 \cdot 3}y^3 = x^9y^3 $

Теперь перемножим полученные выражения в числителе, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ (x^8y^{12}z^8) \cdot (x^9y^3) = x^{8+9} y^{12+3} z^8 = x^{17}y^{15}z^8 $

Упростим знаменатель:

$ (xy^2z^4)^2 = x^2(y^2)^2(z^4)^2 = x^2y^{2 \cdot 2}z^{4 \cdot 2} = x^2y^4z^8 $

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^{17}y^{15}z^8}{x^2y^4z^8} = x^{17-2}y^{15-4}z^{8-8} = x^{15}y^{11}z^0 $

По определению, любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($ z^0 = 1 $), поэтому окончательный результат:

$ x^{15}y^{11} \cdot 1 = x^{15}y^{11} $

Ответ: $x^{15}y^{11}$.

2) Решим второе задание, применяя те же свойства степеней. Условие $ n \in \mathbb{N} $ означает, что $n$ является натуральным числом.

Исходное выражение: $ \frac{(3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n}{(3a^2b^n)^2} $

Упростим числитель:

$ (3^n a^2 b^{n+1})^2 = (3^n)^2(a^2)^2(b^{n+1})^2 = 3^{2n}a^4b^{2(n+1)} = 3^{2n}a^4b^{2n+2} $

$ (ab)^n = a^nb^n $

Перемножим выражения в числителе:

$ (3^{2n}a^4b^{2n+2}) \cdot (a^nb^n) = 3^{2n} a^{4+n} b^{(2n+2)+n} = 3^{2n}a^{n+4}b^{3n+2} $

Упростим знаменатель:

$ (3a^2b^n)^2 = 3^2(a^2)^2(b^n)^2 = 9a^4b^{2n} = 3^2a^4b^{2n} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{3^{2n}a^{n+4}b^{3n+2}}{3^2a^4b^{2n}} = 3^{2n-2} a^{(n+4)-4} b^{(3n+2)-2n} = 3^{2n-2}a^nb^{n+2} $

Это выражение является одночленом, записанным в стандартном виде.

Ответ: $3^{2n-2}a^nb^{n+2}$.