Номер 2.23, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23*. Докажите, что сумма произведения трех последовательных чисел и среднего из сомножителей равна кубу среднего сомножителя.

Для доказательства данного утверждения введем переменные. Обозначим три последовательных числа следующим образом: пусть среднее число равно $n$, тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее за ним — $n+1$. Таким образом, мы имеем три последовательных числа: $n-1$, $n$, $n+1$.

Найдем произведение этих трех чисел: $$(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$$

Средним из этих трех сомножителей является число $n$.

Теперь составим выражение для суммы произведения трех последовательных чисел и среднего из сомножителей: $$(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n$$

Согласно утверждению, эта сумма должна быть равна кубу среднего сомножителя, то есть $n^3$. Запишем доказываемое тождество: $$(n-1)n(n+1) + n = n^3$$

Преобразуем левую часть этого равенства. Для начала раскроем скобки в произведении. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для множителей $(n-1)$ и $(n+1)$: $$(n-1)(n+1) = n^2 - 1$$

Теперь умножим полученный результат на $n$: $$n \cdot (n^2 - 1) = n^3 - n$$

Мы получили произведение трех последовательных чисел. Теперь прибавим к этому результату средний сомножитель $n$: $$(n^3 - n) + n = n^3 - n + n = n^3$$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна $n^3$. Правая часть равенства также равна $n^3$. $$n^3 = n^3$$ Тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма произведения трех последовательных чисел и среднего из них тождественно равна кубу среднего числа.