Страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна 84.

Чтобы доказать, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна 84, необходимо показать, что эту сумму можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 84.
Пусть $n$ — произвольное натуральное число (то есть $n \ge 1$). Тогда три последовательные натуральные степени числа 4 можно записать как $4^n$, $4^{n+1}$ и $4^{n+2}$.
Найдем их сумму, обозначив ее $S$:
$S = 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2}$
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $4^n$:
$S = 4^n(1 + 4^1 + 4^2)$
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$1 + 4 + 16 = 21$
Таким образом, выражение для суммы принимает вид:
$S = 4^n \cdot 21$
Нам нужно доказать, что это выражение кратно 84. Разложим 84 на удобные для нас множители: $84 = 4 \cdot 21$.
Преобразуем выражение для суммы $S$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и мы можем представить $4^n$ как $4 \cdot 4^{n-1}$:
$S = (4 \cdot 4^{n-1}) \cdot 21$
Сгруппируем множители так, чтобы получить 84:
$S = (4 \cdot 21) \cdot 4^{n-1} = 84 \cdot 4^{n-1}$
Мы получили, что сумма $S$ равна произведению числа 84 и числа $4^{n-1}$. Поскольку $n \ge 1$, показатель $n-1 \ge 0$, и, следовательно, $4^{n-1}$ является целым числом.
Таким образом, сумма $S$ всегда является произведением 84 и некоторого целого числа, что по определению означает, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна 84. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $S = 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2}$ для любого натурального $n$ может быть представлена в виде $S = 84 \cdot 4^{n-1}$. Так как $4^{n-1}$ является целым числом при $n \ge 1$, сумма всегда кратна 84.

2.23*. Докажите, что сумма произведения трех последовательных чисел и среднего из сомножителей равна кубу среднего сомножителя.

Для доказательства данного утверждения введем переменные. Обозначим три последовательных числа следующим образом: пусть среднее число равно $n$, тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее за ним — $n+1$. Таким образом, мы имеем три последовательных числа: $n-1$, $n$, $n+1$.

Найдем произведение этих трех чисел: $$(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$$

Средним из этих трех сомножителей является число $n$.

Теперь составим выражение для суммы произведения трех последовательных чисел и среднего из сомножителей: $$(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n$$

Согласно утверждению, эта сумма должна быть равна кубу среднего сомножителя, то есть $n^3$. Запишем доказываемое тождество: $$(n-1)n(n+1) + n = n^3$$

Преобразуем левую часть этого равенства. Для начала раскроем скобки в произведении. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для множителей $(n-1)$ и $(n+1)$: $$(n-1)(n+1) = n^2 - 1$$

Теперь умножим полученный результат на $n$: $$n \cdot (n^2 - 1) = n^3 - n$$

Мы получили произведение трех последовательных чисел. Теперь прибавим к этому результату средний сомножитель $n$: $$(n^3 - n) + n = n^3 - n + n = n^3$$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна $n^3$. Правая часть равенства также равна $n^3$. $$n^3 = n^3$$ Тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма произведения трех последовательных чисел и среднего из них тождественно равна кубу среднего числа.

2.24. Упростите выражение:

1) $\frac{5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}$;

2) $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$, $n, m \in N$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней.

Исходное выражение: $\frac{5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}$

Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1} = 5^{(2n+3) + (2n-1)} = 5^{4n+2}$

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что $25 = 5^2$. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^{2n+1} = (5^2)^{2n+1} = 5^{2(2n+1)} = 5^{4n+2}$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{4n+2}}{5^{4n+2}} = 5^{(4n+2) - (4n+2)} = 5^0 = 1$

Ответ: $1$

2) Упростим выражение, разделив числитель почленно на знаменатель. Условие $n, m \in N$ означает, что n и m являются натуральными числами.

Исходное выражение: $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$

Разделим дробь на разность двух дробей:

$\frac{2^m \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} - \frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$

Теперь упростим каждую дробь по отдельности, используя свойство степеней $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.

Упрощаем первую дробь: $\frac{2^m \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^m}{2^m} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = 1 \cdot 3^{(n-1)-n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Упрощаем вторую дробь: $\frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1}}{2^m} \cdot \frac{3^n}{3^n} = 2^{(m-1)-m} \cdot 1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним вычитание полученных результатов:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

2.25. Сократите дробь:

1) $ \frac{3^n + 3^{-n}}{9^n + 1} $;

2) $ \frac{5^{n+1} - 5^n}{4} $;

3) $ \frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{4^{2n-2}} $.

1) Исходная дробь: $\frac{3^n + 3^{-n}}{9^n + 1}$.

Преобразуем числитель дроби, используя свойство степени $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$3^n + 3^{-n} = 3^n + \frac{1}{3^n} = \frac{(3^n)^2 + 1}{3^n} = \frac{3^{2n} + 1}{3^n}$.

Преобразуем знаменатель дроби, представив $9$ как $3^2$ и используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$9^n + 1 = (3^2)^n + 1 = 3^{2n} + 1$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\frac{3^{2n} + 1}{3^n}}{3^{2n} + 1} = \frac{3^{2n} + 1}{3^n \cdot (3^{2n} + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3^{2n} + 1)$:

$\frac{1}{3^n}$.

Это выражение также можно записать как $3^{-n}$.

Ответ: $3^{-n}$.

2) Исходная дробь: $\frac{5^{n+1} - 5^n}{4}$.

Преобразуем числитель, используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Вынесем общий множитель $5^n$ за скобки:

$5^{n+1} - 5^n = 5^n \cdot 5^1 - 5^n \cdot 1 = 5^n(5 - 1) = 5^n \cdot 4$.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{5^n \cdot 4}{4}$.

Сократим дробь на 4:

$5^n$.

Ответ: $5^n$.

3) Исходная дробь: $\frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{4^{2n-2}}$.

Используем свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, чтобы преобразовать знаменатель:

$4^{2n-2} = 4^{2(n-1)} = (4^{n-1})^2$.

Подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{(4^{n-1})^2}$.

Используя свойство дроби $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$, запишем все выражение под одним знаком квадрата:

$\left(\frac{4^n + 4^{n-1}}{4^{n-1}}\right)^2$.

Теперь упростим выражение в скобках, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{4^n + 4^{n-1}}{4^{n-1}} = \frac{4^n}{4^{n-1}} + \frac{4^{n-1}}{4^{n-1}}$.

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:

$4^{n-(n-1)} + 1 = 4^{n-n+1} + 1 = 4^1 + 1 = 4+1 = 5$.

Возведем полученный результат в квадрат:

$5^2 = 25$.

Ответ: $25$.

2.26. Найдите координаты точки пересечения графиков функций $y=-3x+5$ и $y=7x-8$.

Для того чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, нужно решить систему уравнений, состоящую из этих функций. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ у обеих функций совпадают.

Нам даны две функции:
1) $y = -3x + 5$
2) $y = 7x - 8$

Поскольку левые части уравнений (значения $y$) равны, мы можем приравнять их правые части:
$-3x + 5 = 7x - 8$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти координату $x$. Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$5 + 8 = 7x + 3x$
$13 = 10x$

Отсюда находим значение $x$:
$x = \frac{13}{10}$
$x = 1.3$

Теперь, когда мы нашли координату $x$ точки пересечения, мы можем найти координату $y$, подставив это значение $x$ в уравнение любой из двух исходных функций. Подставим $x = 1.3$ в первую функцию $y = -3x + 5$:
$y = -3 \cdot (1.3) + 5$
$y = -3.9 + 5$
$y = 1.1$

Для проверки можно подставить значение $x$ и во вторую функцию $y = 7x - 8$:
$y = 7 \cdot (1.3) - 8$
$y = 9.1 - 8$
$y = 1.1$

Результаты совпали, следовательно, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: $(1.3; 1.1)$.

2.27. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}} $;

2) $ \frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9} $.

1) Найдем значение выражения $ \frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}} $. Для этого преобразуем его, используя свойства степеней.

Разложим основания 4 и 6 на простые множители: $ 4 = 2^2 $ и $ 6 = 2 \cdot 3 $. Подставим это в выражение:

$ \frac{(2^2)^3 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}} $

Применим свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $ и свойство возведения произведения в степень $ (ab)^n = a^n b^n $:

$ \frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} $

Сократим дробь на общий множитель $ 3^{10} $ и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{2^6}{2^{10}} = 2^{6-10} = 2^{-4} $

Используя определение степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, вычисляем конечный результат:

$ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{16} $.

2) Найдем значение выражения $ \frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9} $.

Разложим основания 6 и 9 на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $ и $ 9 = 3^2 $. Подставим в выражение:

$ \frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9} $

Применим свойства степеней $ (ab)^n = a^n b^n $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} $

В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ \frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} $

Сократим дробь на $ 3^{18} $ и применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{2^{24}}{2^{25}} = 2^{24-25} = 2^{-1} $

По определению степени с отрицательным показателем, получаем результат:

$ 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2.28. Какой цифрой может оканчиваться:

1) квадрат натурального числа;

2) четвертая степень натурального числа?

Чтобы определить, какой цифрой может оканчиваться степень натурального числа, достаточно рассмотреть, на какую цифру оканчивается та же степень последней цифры этого числа. Последней цифрой натурального числа может быть любая цифра от 0 до 9.

1) квадрат натурального числа

Найдем последнюю цифру квадрата ($n^2$) для каждой возможной последней цифры исходного натурального числа $n$.

• Если число оканчивается на 0, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $0^2=0$, то есть на 0.
• Если число оканчивается на 1, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $1^2=1$, то есть на 1.
• Если число оканчивается на 2, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $2^2=4$, то есть на 4.
• Если число оканчивается на 3, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $3^2=9$, то есть на 9.
• Если число оканчивается на 4, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $4^2=16$, то есть на 6.
• Если число оканчивается на 5, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $5^2=25$, то есть на 5.
• Если число оканчивается на 6, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $6^2=36$, то есть на 6.
• Если число оканчивается на 7, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $7^2=49$, то есть на 9.
• Если число оканчивается на 8, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $8^2=64$, то есть на 4.
• Если число оканчивается на 9, то его квадрат оканчивается на последнюю цифру от $9^2=81$, то есть на 1.

Таким образом, возможные последние цифры для квадрата натурального числа — это 0, 1, 4, 5, 6, 9. Квадрат натурального числа не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.

Ответ: Квадрат натурального числа может оканчиваться на одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

2) четвертая степень натурального числа

Найдем последнюю цифру четвертой степени ($n^4$). Поскольку $n^4 = (n^2)^2$, последняя цифра четвертой степени числа равна последней цифре квадрата последней цифры его квадрата. Мы можем использовать результаты из предыдущего пункта (возможные последние цифры для $n^2$: 0, 1, 4, 5, 6, 9) и возвести их в квадрат.

• Если $n^2$ оканчивается на 0, то $n^4$ оканчивается на $0^2=0$.
• Если $n^2$ оканчивается на 1, то $n^4$ оканчивается на $1^2=1$.
• Если $n^2$ оканчивается на 4, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $4^2=16$, то есть на 6.
• Если $n^2$ оканчивается на 5, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $5^2=25$, то есть на 5.
• Если $n^2$ оканчивается на 6, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $6^2=36$, то есть на 6.
• Если $n^2$ оканчивается на 9, то $n^4$ оканчивается на последнюю цифру от $9^2=81$, то есть на 1.

Таким образом, возможные последние цифры для четвертой степени натурального числа — это 0, 1, 5, 6.

Ответ: Четвертая степень натурального числа может оканчиваться на одну из следующих цифр: 0, 1, 5, 6.