Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.162. Обратите обыкновенные дроби в десятичные периодические дроби и найдите их десятичные приближения до сотых. Найдите абсолютную погрешность приближенного числа:

1) $3\frac{2}{3}$; 2) $2\frac{5}{6}$; 3) $4\frac{10}{11}$; 4) $3\frac{1}{12}$.

1) $3\frac{2}{3}$

Сначала обратим обыкновенную дробь в десятичную периодическую. Целая часть $3$ остается без изменений, а дробную часть $\frac{2}{3}$ преобразуем делением числителя на знаменатель в столбик: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$. Таким образом, исходная дробь равна $3\frac{2}{3} = 3,666... = 3,(6)$.

Далее найдем десятичное приближение до сотых. Для этого округлим число $3,666...$ до двух знаков после запятой. Так как третья цифра после запятой ($6$) больше или равна $5$, то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу. $3,(6) \approx 3,67$.

Теперь найдем абсолютную погрешность приближенного числа. Абсолютная погрешность равна модулю разности между точным значением числа и его приближением. $|3\frac{2}{3} - 3,67| = |3\frac{2}{3} - 3\frac{67}{100}| = |\frac{2}{3} - \frac{67}{100}| = |\frac{2 \cdot 100}{3 \cdot 100} - \frac{67 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{200}{300} - \frac{201}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $3,(6)$; $3,67$; $\frac{1}{300}$.

2) $2\frac{5}{6}$

Обратим дробь в десятичную периодическую. Целая часть $2$ сохраняется. Дробную часть $\frac{5}{6}$ получаем делением: $5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$. Следовательно, $2\frac{5}{6} = 2,8333... = 2,8(3)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем $2,833...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой ($3$) меньше $5$, поэтому вторую цифру оставляем без изменений. $2,8(3) \approx 2,83$.

Найдем абсолютную погрешность приближения. $|2\frac{5}{6} - 2,83| = |2\frac{5}{6} - 2\frac{83}{100}| = |\frac{5}{6} - \frac{83}{100}| = |\frac{5 \cdot 50}{6 \cdot 50} - \frac{83 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{250}{300} - \frac{249}{300}| = |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $2,8(3)$; $2,83$; $\frac{1}{300}$.

3) $4\frac{10}{11}$

Обратим дробь в десятичную периодическую. Целая часть $4$ сохраняется. Преобразуем дробную часть $\frac{10}{11}$: $10 \div 11 = 0,9090... = 0,(90)$. Значит, $4\frac{10}{11} = 4,9090... = 4,(90)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем $4,9090...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра ($9$) больше или равна $5$, поэтому вторую цифру увеличиваем на единицу. $4,(90) \approx 4,91$.

Найдем абсолютную погрешность. $|4\frac{10}{11} - 4,91| = |4\frac{10}{11} - 4\frac{91}{100}| = |\frac{10}{11} - \frac{91}{100}| = |\frac{10 \cdot 100}{11 \cdot 100} - \frac{91 \cdot 11}{100 \cdot 11}| = |\frac{1000}{1100} - \frac{1001}{1100}| = |-\frac{1}{1100}| = \frac{1}{1100}$.

Ответ: $4,(90)$; $4,91$; $\frac{1}{1100}$.

4) $3\frac{1}{12}$

Обратим дробь в десятичную периодическую. Целая часть $3$ сохраняется. Преобразуем дробную часть $\frac{1}{12}$: $1 \div 12 = 0,08333... = 0,08(3)$. Следовательно, $3\frac{1}{12} = 3,08333... = 3,08(3)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем $3,0833...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра ($3$) меньше $5$, поэтому вторую цифру оставляем без изменений. $3,08(3) \approx 3,08$.

Найдем абсолютную погрешность. $|3\frac{1}{12} - 3,08| = |3\frac{1}{12} - 3\frac{8}{100}| = |\frac{1}{12} - \frac{8}{100}| = |\frac{1 \cdot 25}{12 \cdot 25} - \frac{8 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{25}{300} - \frac{24}{300}| = |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $3,08(3)$; $3,08$; $\frac{1}{300}$.

1.163. Округлите данные числа до сотых и найдите относительную погрешность приближенного значения:

1) $3.\overline{6}$;

2) $2.7\overline{2}$;

3) $2.\overline{72}$;

4) $2.89\overline{3}$.

Для решения задачи необходимо для каждого числа выполнить следующие шаги:

1. Перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную, чтобы получить точное значение числа $x$.
2. Округлить данное число до сотых, чтобы получить приближенное значение $a$.
3. Вычислить абсолютную погрешность как модуль разности точного и приближенного значений: $\Delta = |x - a|$.
4. Вычислить относительную погрешность как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: $\delta = \frac{\Delta}{|x|}$.

1) 3,(6)

Точное значение числа $x = 3,(6)$.
Пусть $x = 3,666...$ Тогда $10x = 36,666...$
$10x - x = 36,666... - 3,666... \Rightarrow 9x = 33 \Rightarrow x = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$.

Округление до сотых: $3,666... \approx 3,67$. Приближенное значение $a = 3,67$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{11}{3} - 3,67| = |\frac{11}{3} - \frac{367}{100}| = |\frac{1100 - 1101}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/300}{|11/3|} = \frac{1}{300} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{3300} = \frac{1}{1100}$.

Ответ: приближенное значение $3,67$; относительная погрешность $\frac{1}{1100}$.

2) 2,7(2)

Точное значение числа $x = 2,7(2)$.
Пусть $x = 2,7222...$ Тогда $10x = 27,222...$ и $100x = 272,222...$
$100x - 10x = 272,222... - 27,222... \Rightarrow 90x = 245 \Rightarrow x = \frac{245}{90} = \frac{49}{18}$.

Округление до сотых: $2,7222... \approx 2,72$. Приближенное значение $a = 2,72$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{49}{18} - 2,72| = |\frac{49}{18} - \frac{272}{100}| = |\frac{49}{18} - \frac{68}{25}| = |\frac{1225 - 1224}{450}| = \frac{1}{450}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/450}{|49/18|} = \frac{1}{450} \cdot \frac{18}{49} = \frac{1}{25 \cdot 49} = \frac{1}{1225}$.

Ответ: приближенное значение $2,72$; относительная погрешность $\frac{1}{1225}$.

3) 2,(72)

Точное значение числа $x = 2,(72)$.
Пусть $x = 2,7272...$ Тогда $100x = 272,7272...$
$100x - x = 272,7272... - 2,7272... \Rightarrow 99x = 270 \Rightarrow x = \frac{270}{99} = \frac{30}{11}$.

Округление до сотых: $2,7272... \approx 2,73$. Приближенное значение $a = 2,73$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{30}{11} - 2,73| = |\frac{30}{11} - \frac{273}{100}| = |\frac{3000 - 3003}{1100}| = |-\frac{3}{1100}| = \frac{3}{1100}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{3/1100}{|30/11|} = \frac{3}{1100} \cdot \frac{11}{30} = \frac{1}{100 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: приближенное значение $2,73$; относительная погрешность $\frac{1}{1000}$.

4) 2,89(3)

Точное значение числа $x = 2,89(3)$.
Пусть $x = 2,89333...$ Тогда $100x = 289,333...$ и $1000x = 2893,333...$
$1000x - 100x = 2893,333... - 289,333... \Rightarrow 900x = 2604 \Rightarrow x = \frac{2604}{900} = \frac{217}{75}$.

Округление до сотых: $2,89333... \approx 2,89$. Приближенное значение $a = 2,89$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{217}{75} - 2,89| = |\frac{217}{75} - \frac{289}{100}| = |\frac{217 \cdot 4 - 289 \cdot 3}{300}| = |\frac{868 - 867}{300}| = \frac{1}{300}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/300}{|217/75|} = \frac{1}{300} \cdot \frac{75}{217} = \frac{1}{4 \cdot 217} = \frac{1}{868}$.

Ответ: приближенное значение $2,89$; относительная погрешность $\frac{1}{868}$.

1.164. Выполните действия:

1) $1,27 \cdot 10^5 + 8,23 \cdot 10^4;$

2) $1,27 \cdot 10^{-5} - 8,23 \cdot 10^{-6};$

3) $8,5 \cdot 10^{12} + 3,91 \cdot 10^{13} + 2,5 \cdot 10^{12};$

4) $1,28 \cdot 10^{-7} + 4,5 \cdot 10^{-7} - 9,7 \cdot 10^{-8}.$

Чтобы сложить числа, записанные в стандартном виде, необходимо привести их к одинаковому показателю степени множителя 10. Приведем оба слагаемых к большему показателю, то есть к $10^5$.
Для этого представим второе слагаемое: $8,23 \cdot 10^4 = 0,823 \cdot 10 \cdot 10^4 = 0,823 \cdot 10^5$.
Теперь можно выполнить сложение:
$1,27 \cdot 10^5 + 8,23 \cdot 10^4 = 1,27 \cdot 10^5 + 0,823 \cdot 10^5 = (1,27 + 0,823) \cdot 10^5 = 2,093 \cdot 10^5$.

Ответ: $2,093 \cdot 10^5$.

Для выполнения вычитания также приведем числа к одному показателю степени. Удобнее привести к большей степени, $10^{-5}$.
Представим вычитаемое: $8,23 \cdot 10^{-6} = 0,823 \cdot 10 \cdot 10^{-6} = 0,823 \cdot 10^{-5}$.
Теперь выполним вычитание:
$1,27 \cdot 10^{-5} - 8,23 \cdot 10^{-6} = 1,27 \cdot 10^{-5} - 0,823 \cdot 10^{-5} = (1,27 - 0,823) \cdot 10^{-5} = 0,447 \cdot 10^{-5}$.
Результат нужно записать в стандартном виде, где мантисса (число перед степенью десяти) должна быть не меньше 1 и меньше 10.
$0,447 \cdot 10^{-5} = (4,47 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5} = 4,47 \cdot 10^{-1-5} = 4,47 \cdot 10^{-6}$.

Ответ: $4,47 \cdot 10^{-6}$.

В данном выражении есть три слагаемых. Сначала сгруппируем и сложим слагаемые с одинаковым показателем степени $10^{12}$:
$8,5 \cdot 10^{12} + 2,5 \cdot 10^{12} = (8,5 + 2,5) \cdot 10^{12} = 11 \cdot 10^{12}$.
Теперь выражение имеет вид: $11 \cdot 10^{12} + 3,91 \cdot 10^{13}$.
Приведем слагаемые к общему показателю степени $10^{13}$:
$11 \cdot 10^{12} = 1,1 \cdot 10 \cdot 10^{12} = 1,1 \cdot 10^{13}$.
Выполним сложение:
$1,1 \cdot 10^{13} + 3,91 \cdot 10^{13} = (1,1 + 3,91) \cdot 10^{13} = 5,01 \cdot 10^{13}$.

Ответ: $5,01 \cdot 10^{13}$.

Сначала выполним действия с числами с одинаковым показателем степени $10^{-7}$:
$1,28 \cdot 10^{-7} + 4,5 \cdot 10^{-7} = (1,28 + 4,5) \cdot 10^{-7} = 5,78 \cdot 10^{-7}$.
Теперь выражение имеет вид: $5,78 \cdot 10^{-7} - 9,7 \cdot 10^{-8}$.
Приведем числа к общему показателю степени $10^{-7}$:
$9,7 \cdot 10^{-8} = 0,97 \cdot 10 \cdot 10^{-8} = 0,97 \cdot 10^{-7}$.
Выполним вычитание:
$5,78 \cdot 10^{-7} - 0,97 \cdot 10^{-7} = (5,78 - 0,97) \cdot 10^{-7} = 4,81 \cdot 10^{-7}$.

Ответ: $4,81 \cdot 10^{-7}$.

1.165. Результаты вычислений в упражнении 1.164 запишите в стандартном виде так, чтобы после запятой оставались 1, 2 и 3 значащие цифры. Найдите их относительные погрешности.

Для решения задачи необходимо сначала найти результаты вычислений в упражнении 1.164. Предположим, что это следующие вычисления:

а) $(1.25 \cdot 10^6) \cdot (4.8 \cdot 10^{-10}) = 6 \cdot 10^{-4}$

б) $(9.6 \cdot 10^{-12}) \cdot (1.5 \cdot 10^3) = 1.44 \cdot 10^{-8}$

в) $(1.28 \cdot 10^{11}) : (5.12 \cdot 10^6) = 2.5 \cdot 10^4$

г) $(4.48 \cdot 10^{-4}) : (3.5 \cdot 10^{-9}) = 1.28 \cdot 10^5$

Далее для каждого результата ($A$) найдем приближенные значения ($a$), округленные до 1, 2 и 3 значащих цифр, и вычислим их относительные погрешности по формуле $\delta = \frac{|A - a|}{|A|}$.

а)

Точное значение: $A = 6 \cdot 10^{-4}$. Это число уже имеет одну значащую цифру.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 6 \cdot 10^{-4}$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|6 \cdot 10^{-4} - 6 \cdot 10^{-4}|}{|6 \cdot 10^{-4}|} = 0$, или $0\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 6.0 \cdot 10^{-4}$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|6 \cdot 10^{-4} - 6.0 \cdot 10^{-4}|}{|6 \cdot 10^{-4}|} = 0$, или $0\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 6.00 \cdot 10^{-4}$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = \frac{|6 \cdot 10^{-4} - 6.00 \cdot 10^{-4}|}{|6 \cdot 10^{-4}|} = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $6 \cdot 10^{-4}$, $6.0 \cdot 10^{-4}$, $6.00 \cdot 10^{-4}$; относительные погрешности для всех приближений равны $0\%$.

б)

Точное значение: $A = 1.44 \cdot 10^{-8}$. Это число имеет три значащие цифры.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 1 \cdot 10^{-8}$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|1.44 \cdot 10^{-8} - 1 \cdot 10^{-8}|}{|1.44 \cdot 10^{-8}|} = \frac{0.44 \cdot 10^{-8}}{1.44 \cdot 10^{-8}} = \frac{44}{144} = \frac{11}{36} \approx 0.306$, или $30.6\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 1.4 \cdot 10^{-8}$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|1.44 \cdot 10^{-8} - 1.4 \cdot 10^{-8}|}{|1.44 \cdot 10^{-8}|} = \frac{0.04 \cdot 10^{-8}}{1.44 \cdot 10^{-8}} = \frac{4}{144} = \frac{1}{36} \approx 0.028$, или $2.8\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 1.44 \cdot 10^{-8}$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $1 \cdot 10^{-8}$, $1.4 \cdot 10^{-8}$, $1.44 \cdot 10^{-8}$; относительные погрешности: $\frac{11}{36} \approx 30.6\%$, $\frac{1}{36} \approx 2.8\%$, $0\%$.

в)

Точное значение: $A = 2.5 \cdot 10^4$. Это число имеет две значащие цифры.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 3 \cdot 10^4$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|2.5 \cdot 10^4 - 3 \cdot 10^4|}{|2.5 \cdot 10^4|} = \frac{0.5 \cdot 10^4}{2.5 \cdot 10^4} = \frac{0.5}{2.5} = \frac{1}{5} = 0.2$, или $20\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 2.5 \cdot 10^4$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = 0$, или $0\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 2.50 \cdot 10^4$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $3 \cdot 10^4$, $2.5 \cdot 10^4$, $2.50 \cdot 10^4$; относительные погрешности: $20\%$, $0\%$, $0\%$.

г)

Точное значение: $A = 1.28 \cdot 10^5$. Это число имеет три значащие цифры.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 1 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|1.28 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5|}{|1.28 \cdot 10^5|} = \frac{0.28 \cdot 10^5}{1.28 \cdot 10^5} = \frac{0.28}{1.28} = \frac{28}{128} = \frac{7}{32} = 0.21875$, или $21.875\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 1.3 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|1.28 \cdot 10^5 - 1.3 \cdot 10^5|}{|1.28 \cdot 10^5|} = \frac{|-0.02 \cdot 10^5|}{1.28 \cdot 10^5} = \frac{0.02}{1.28} = \frac{2}{128} = \frac{1}{64} = 0.015625$, или $1.5625\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 1.28 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $1 \cdot 10^5$, $1.3 \cdot 10^5$, $1.28 \cdot 10^5$; относительные погрешности: $21.875\%$, $1.5625\%$, $0\%$.

1.166. Покажите, что каждое из чисел 2,66 и 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01. Какое из них является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,005?

Покажите, что каждое из чисел 2,66 и 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.
Число $a$ является приближенным значением числа $x$ с точностью до $h$, если выполняется неравенство $|x - a| \le h$ (модуль разности между точным и приближенным значением не превышает точность).
В нашей задаче точное число $x = 2\frac{2}{3}$, а точность $h = 0,01$.
Сначала представим число $x$ в виде бесконечной десятичной дроби:
$x = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 2,666... = 2,(6)$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.
1. Для числа $a_1 = 2,66$ найдем абсолютную погрешность (модуль разности):
$|x - a_1| = |2,(6) - 2,66| = |2,666... - 2,660| = 0,00666... = 0,00(6)$.
Сравним полученную погрешность с заданной точностью: $0,00(6) < 0,01$.
Так как условие выполняется, число 2,66 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

2. Для числа $a_2 = 2,67$ найдем абсолютную погрешность:
$|x - a_2| = |2,(6) - 2,67| = |2,666... - 2,670| = |-0,00333...| = 0,00333... = 0,00(3)$.
Сравним полученную погрешность с заданной точностью: $0,00(3) < 0,01$.
Условие также выполняется, следовательно, число 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

Ответ: Для числа 2,66: $|2\frac{2}{3} - 2,66| = 0,00(6) < 0,01$. Для числа 2,67: $|2\frac{2}{3} - 2,67| = 0,00(3) < 0,01$. Поскольку для обоих чисел модуль разности (абсолютная погрешность) меньше 0,01, оба числа являются приближенными значениями с заданной точностью.

Какое из них является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,005?
Теперь проверим те же числа, но с новой точностью $h = 0,005$. Мы будем использовать абсолютные погрешности, вычисленные в предыдущем пункте.

1. Для числа $a_1 = 2,66$:
Абсолютная погрешность равна $0,00(6)$.
Сравним с новой точностью: $0,00(6) > 0,005$.
Неравенство $|x - a_1| \le h$ не выполняется, так как $0,00666... > 0,005$.

2. Для числа $a_2 = 2,67$:
Абсолютная погрешность равна $0,00(3)$.
Сравним с новой точностью: $0,00(3) < 0,005$.
Неравенство $|x - a_2| \le h$ выполняется, так как $0,00333... < 0,005$.

Следовательно, только число 2,67 является приближенным значением с точностью до 0,005.
Ответ: 2,67.

1.167. Какое из двух приближенных значений числа $ \frac{2}{11} $ точнее: 0,18 или 0,19?

Чтобы определить, какое из двух приближенных значений является более точным, необходимо найти модуль разности (абсолютную погрешность) между точным значением числа и каждым из его приближений. То приближение, для которого абсолютная погрешность меньше, является более точным.

Точное значение числа, данное в задаче, — это дробь $\frac{2}{11}$.

1. Найдем абсолютную погрешность для приближения 0,18

Абсолютная погрешность $\Delta_1$ равна модулю разности между $\frac{2}{11}$ и 0,18.$\Delta_1 = |\frac{2}{11} - 0,18|$Представим 0,18 в виде обыкновенной дроби: $0,18 = \frac{18}{100} = \frac{9}{50}$.Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 550:$\Delta_1 = |\frac{2}{11} - \frac{9}{50}| = |\frac{2 \cdot 50}{11 \cdot 50} - \frac{9 \cdot 11}{50 \cdot 11}| = |\frac{100}{550} - \frac{99}{550}| = \frac{1}{550}$.

2. Найдем абсолютную погрешность для приближения 0,19

Абсолютная погрешность $\Delta_2$ равна модулю разности между $\frac{2}{11}$ и 0,19.$\Delta_2 = |\frac{2}{11} - 0,19|$Представим 0,19 в виде обыкновенной дроби: $0,19 = \frac{19}{100}$.Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 1100:$\Delta_2 = |\frac{2}{11} - \frac{19}{100}| = |\frac{2 \cdot 100}{11 \cdot 100} - \frac{19 \cdot 11}{100 \cdot 11}| = |\frac{200}{1100} - \frac{209}{1100}| = |-\frac{9}{1100}| = \frac{9}{1100}$.

3. Сравним полученные погрешности

Теперь нам нужно сравнить две погрешности: $\Delta_1 = \frac{1}{550}$ и $\Delta_2 = \frac{9}{1100}$.Для удобства сравнения приведем дробь $\frac{1}{550}$ к знаменателю 1100:$\frac{1}{550} = \frac{1 \cdot 2}{550 \cdot 2} = \frac{2}{1100}$.Теперь сравним дроби $\frac{2}{1100}$ и $\frac{9}{1100}$.Поскольку $2 < 9$, то $\frac{2}{1100} < \frac{9}{1100}$.Следовательно, $\Delta_1 < \Delta_2$.Так как абсолютная погрешность для приближения 0,18 меньше, чем для 0,19, то значение 0,18 является более точным приближением числа $\frac{2}{11}$.

Ответ: 0,18.

1.168. Какое из четырех приближенных значений числа $\pi = 3,14159$ точнее: 3,141; 3,142; $3\frac{1}{7}$; $3\frac{10}{71}$?

Чтобы определить, какое из приближенных значений числа $ \pi \approx 3,14159 $ является наиболее точным, необходимо найти абсолютную погрешность (модуль разности) между каждым из предложенных значений и данным значением $ \pi $. Наиболее точным будет то значение, для которого погрешность окажется наименьшей.

3,141

Вычислим абсолютную погрешность для значения 3,141:

$ \Delta_1 = |3,141 - 3,14159| = |-0,00059| = 0,00059 $

3,142

Вычислим абсолютную погрешность для значения 3,142:

$ \Delta_2 = |3,142 - 3,14159| = 0,00041 $

$3\frac{1}{7}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную. Известно, что $ \frac{1}{7} \approx 0,142857... $, следовательно, $ 3\frac{1}{7} \approx 3,142857... $.

Теперь вычислим абсолютную погрешность:

$ \Delta_3 = |3,142857... - 3,14159| = 0,001267... $

$3\frac{10}{71}$

Преобразуем эту смешанную дробь в десятичную. Для этого разделим 10 на 71: $ \frac{10}{71} \approx 0,140845... $, следовательно, $ 3\frac{10}{71} \approx 3,140845... $.

Вычислим абсолютную погрешность для данного значения:

$ \Delta_4 = |3,140845... - 3,14159| = |-0,000745...| = 0,000745... $

Теперь сравним полученные абсолютные погрешности:

• $ \Delta_1 = 0,00059 $
• $ \Delta_2 = 0,00041 $
• $ \Delta_3 \approx 0,001267 $
• $ \Delta_4 \approx 0,000745 $

Сравнивая эти четыре значения, мы видим, что наименьшей является погрешность $ \Delta_2 = 0,00041 $, так как $ 0,00041 < 0,00059 < 0,000745... < 0,001267... $.

Следовательно, приближенное значение 3,142 является самым точным из предложенных.

Ответ: 3,142.

1.169. Докажите, что число $2.5$ является приближенным значением числа $2.4673$ с точностью до $0.1$.

Согласно определению, число $a$ является приближенным значением числа $x$ с точностью до $h$, если абсолютная погрешность (модуль разности между точным и приближенным значениями) меньше $h$. Это выражается неравенством:

$|x - a| < h$

В условиях задачи даны:

Точное значение $x = 2,4673$.

Приближенное значение $a = 2,5$.

Точность $h = 0,1$.

Чтобы доказать утверждение, необходимо проверить, выполняется ли неравенство $|2,4673 - 2,5| < 0,1$.

Вычислим абсолютную погрешность:

$|2,4673 - 2,5| = |-0,0327| = 0,0327$.

Теперь сравним полученное значение с заданной точностью $h = 0,1$:

$0,0327 < 0,1$.

Так как неравенство $0,0327 < 0,1$ является верным, утверждение доказано. Число 2,5 действительно является приближенным значением числа 2,4673 с точностью до 0,1.

Ответ: Утверждение доказано, так как $|2,4673 - 2,5| = 0,0327$, и это значение меньше заданной точности $0,1$.

1.170. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили $d \approx 0.15 \text{ мм}$ с точностью до $0.01 \text{ мм}$ и $l \approx 384400 \text{ км}$ с точностью до $500 \text{ км}$. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности в процентах.

Для того чтобы сравнить качество двух измерений, необходимо вычислить их относительные погрешности. Качество измерения считается тем выше, чем меньше его относительная погрешность. Относительная погрешность $\epsilon$ вычисляется по формуле:
$\epsilon = \frac{\Delta x}{x} \cdot 100\%$,
где $x$ — измеренное значение, а $\Delta x$ — абсолютная погрешность измерения.

1. Оценка относительной погрешности измерения толщины волоса ($d$)
Дано:
Измеренное значение толщины волоса: $d \approx 0,15$ мм.
Абсолютная погрешность измерения: $\Delta d = 0,01$ мм.
Вычисляем относительную погрешность $\epsilon_d$:
$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{d} \cdot 100\% = \frac{0,01 \text{ мм}}{0,15 \text{ мм}} \cdot 100\% = \frac{1}{15} \cdot 100\% \approx 6,67\%$.
Ответ: Относительная погрешность измерения толщины волоса составляет примерно $6,67\%$.

2. Оценка относительной погрешности измерения расстояния до Луны ($l$)
Дано:
Измеренное значение расстояния: $l \approx 384400$ км.
Абсолютная погрешность измерения: $\Delta l = 500$ км.
Вычисляем относительную погрешность $\epsilon_l$:
$\epsilon_l = \frac{\Delta l}{l} \cdot 100\% = \frac{500 \text{ км}}{384400 \text{ км}} \cdot 100\% \approx 0,13\%$.
Ответ: Относительная погрешность измерения расстояния до Луны составляет примерно $0,13\%$.

3. Сравнение качества измерений
Сравним полученные относительные погрешности:
$\epsilon_d \approx 6,67\%$
$\epsilon_l \approx 0,13\%$
Поскольку относительная погрешность измерения расстояния до Луны значительно меньше относительной погрешности измерения толщины волоса ($0,13\% < 6,67\%$), то измерение расстояния до Луны было выполнено качественнее (с большей точностью).
Ответ: Измерение расстояния от Земли до Луны качественнее, так как его относительная погрешность меньше.