Страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.136. Запишите формулу общего члена последовательности, заданной в упражнении 1.121.

В задаче требуется записать формулу общего члена для последовательностей, заданных в упражнении 1.121. В этом упражнении последовательности определены перечислением их первых членов. Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Нумерация членов начинается с $n=1$.

а) Дана последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 1 = 1^2$
Второй член: $a_2 = 4 = 2^2$
Третий член: $a_3 = 9 = 3^2$
Четвертый член: $a_4 = 16 = 4^2$
Пятый член: $a_5 = 25 = 5^2$
Закономерность состоит в том, что каждый член последовательности равен квадрату своего порядкового номера $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = n^2$.
Ответ: $a_n = n^2$.

б) Дана последовательность: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 1 = 1^3$
Второй член: $a_2 = 8 = 2^3$
Третий член: $a_3 = 27 = 3^3$
Четвертый член: $a_4 = 64 = 4^3$
Пятый член: $a_5 = 125 = 5^3$
Закономерность состоит в том, что каждый член последовательности равен кубу своего порядкового номера $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = n^3$.
Ответ: $a_n = n^3$.

в) Дана последовательность: 2, 4, 8, 16, 32, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 2 = 2^1$
Второй член: $a_2 = 4 = 2^2$
Третий член: $a_3 = 8 = 2^3$
Четвертый член: $a_4 = 16 = 2^4$
Пятый член: $a_5 = 32 = 2^5$
Данная последовательность является геометрической прогрессией. Каждый ее член является степенью числа 2, где показатель степени равен порядковому номеру члена $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = 2^n$.
Ответ: $a_n = 2^n$.

г) Дана последовательность: 5, 10, 15, 20, 25, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 5 = 5 \cdot 1$
Второй член: $a_2 = 10 = 5 \cdot 2$
Третий член: $a_3 = 15 = 5 \cdot 3$
Четвертый член: $a_4 = 20 = 5 \cdot 4$
Пятый член: $a_5 = 25 = 5 \cdot 5$
Данная последовательность является арифметической прогрессией. Каждый ее член равен произведению числа 5 на порядковый номер члена $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = 5n$.
Ответ: $a_n = 5n$.

1.137. Заполните таблицу:

Здесь после запятой оставьте 2 значащие цифры.

Для заполнения таблицы необходимо использовать определения стандартного вида числа, значащей части и порядка числа, а также правило округления, указанное в задании.

Стандартный вид числа — это его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется значащей частью (или мантиссой) числа, а число $n$ — порядком числа.

Согласно условию, значащую часть числа необходимо округлять так, чтобы после запятой оставалось 2 значащие цифры.

1. Дано число 1 200 000.
Чтобы записать его в стандартном виде, необходимо представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени 10. Перемещаем запятую в числе 1 200 000.0 влево на 6 позиций, чтобы получить число $1.2$. Так как запятая была смещена на 6 позиций влево, порядок числа $n = 6$.
Таким образом, $1 200 000 = 1.2 \cdot 10^6$.
Значащая часть $a = 1.2$. По условию, нужно оставить 2 знака после запятой, поэтому дописываем ноль: $a = 1.20$.
Стандартный вид числа: $1.20 \cdot 10^6$.
Значащая часть числа: $1.20$.
Порядок числа: $6$.
Ответ: Стандартный вид числа: $1.20 \cdot 10^6$; Значащая часть числа: $1.20$; Порядок числа: $6$.

2. Дан стандартный вид числа $3.21 \cdot 10^4$.
Из этой записи уже известны значащая часть $a = 3.21$ и порядок $n = 4$. Необходимо найти исходное число.
Для этого выполним умножение: $3.21 \cdot 10^4 = 3.21 \cdot 10000 = 32100$.
Ответ: Число: $32100$.

3. Даны значащая часть числа $a = 2.08$ и порядок $n = 7$.
Сначала запишем число в стандартном виде по формуле $a \cdot 10^n$: $2.08 \cdot 10^7$.
Затем найдем исходное число, выполнив умножение: $2.08 \cdot 10^7 = 2.08 \cdot 10000000 = 20800000$.
Ответ: Число: $20800000$; Стандартный вид числа: $2.08 \cdot 10^7$.

4. Дан стандартный вид числа $6.77 \cdot 10^{-5}$ и порядок $n = -5$.
Значащая часть (мантисса) $a$ — это множитель перед степенью десяти, то есть $a = 6.77$.
Чтобы найти исходное число, умножим значащую часть на $10^{-5}$, что равносильно сдвигу десятичной запятой на 5 позиций влево:
$6.77 \cdot 10^{-5} = 0.0000677$.
Ответ: Число: $0.0000677$; Значащая часть числа: $6.77$.

5. Дано число $0.0001783$.
Для приведения к стандартному виду сдвинем запятую вправо на 4 позиции, чтобы получить число $1.783$. Порядок при этом будет $n = -4$.
Получаем $0.0001783 = 1.783 \cdot 10^{-4}$.
Теперь округлим значащую часть $a = 1.783$ до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой — $3$ ($3 < 5$), поэтому округляем в меньшую сторону: $a \approx 1.78$.
Стандартный вид: $1.78 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: Стандартный вид числа: $1.78 \cdot 10^{-4}$; Значащая часть числа: $1.78$; Порядок числа: $-4$.

6. Дано число $0.00002956$.
Сдвигаем запятую вправо на 5 позиций, чтобы получить число $2.956$. Порядок будет $n = -5$.
Получаем $0.00002956 = 2.956 \cdot 10^{-5}$.
Округлим значащую часть $a = 2.956$ до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой — $6$ ($6 \ge 5$), поэтому округляем в большую сторону: $a \approx 2.96$.
Стандартный вид: $2.96 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: Стандартный вид числа: $2.96 \cdot 10^{-5}$; Значащая часть числа: $2.96$; Порядок числа: $-5$.

1.138. Выполните действия:

1) $4,27 \cdot 10^7 \cdot 4 \cdot 10^4;$

2) $4,27 \cdot 10^7 : 4 \cdot 10^4;$

3) $2,8 \cdot 10^{-7} \cdot 4,6 \cdot 10^{-8};$

4) $560 \cdot 10^7 : 752 \cdot 10^6.$

1) Для выполнения умножения $4,27 \cdot 10^7 \cdot 4 \cdot 10^4$ сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени десяти, используя переместительный и сочетательный законы умножения: $(4,27 \cdot 4) \cdot (10^7 \cdot 10^4)$.
Сначала перемножим коэффициенты:
$4,27 \cdot 4 = 17,08$.
Затем перемножим степени десяти, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^7 \cdot 10^4 = 10^{7+4} = 10^{11}$.
Теперь объединим результаты:
$17,08 \cdot 10^{11}$.
Чтобы привести результат к стандартному виду, коэффициент должен быть в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Представим $17,08$ как $1,708 \cdot 10^1$:
$17,08 \cdot 10^{11} = (1,708 \cdot 10^1) \cdot 10^{11} = 1,708 \cdot 10^{1+11} = 1,708 \cdot 10^{12}$.
Ответ: $1,708 \cdot 10^{12}$.

2) Для выполнения деления $(4,27 \cdot 10^7) : (4 \cdot 10^4)$ разделим отдельно коэффициенты и отдельно степени десяти.
Выражение можно записать в виде дроби: $\frac{4,27 \cdot 10^7}{4 \cdot 10^4} = \frac{4,27}{4} \cdot \frac{10^7}{10^4}$.
Разделим коэффициенты:
$4,27 : 4 = 1,0675$.
Разделим степени десяти, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^7}{10^4} = 10^{7-4} = 10^3$.
Объединим полученные результаты:
$1,0675 \cdot 10^3$.
Данное число уже представлено в стандартном виде, так как $1 \le 1,0675 < 10$.
Ответ: $1,0675 \cdot 10^3$.

3) Для выполнения умножения $(2,8 \cdot 10^{-7}) \cdot (4,6 \cdot 10^{-8})$ сгруппируем отдельно коэффициенты и степени десяти: $(2,8 \cdot 4,6) \cdot (10^{-7} \cdot 10^{-8})$.
Перемножим коэффициенты:
$2,8 \cdot 4,6 = 12,88$.
Перемножим степени десяти:
$10^{-7} \cdot 10^{-8} = 10^{-7 + (-8)} = 10^{-15}$.
Объединим результаты:
$12,88 \cdot 10^{-15}$.
Приведем результат к стандартному виду. Представим $12,88$ как $1,288 \cdot 10^1$:
$(1,288 \cdot 10^1) \cdot 10^{-15} = 1,288 \cdot 10^{1-15} = 1,288 \cdot 10^{-14}$.
Ответ: $1,288 \cdot 10^{-14}$.

4) Для выполнения деления $(560 \cdot 10^7) : (752 \cdot 10^6)$ разделим отдельно коэффициенты и степени десяти.
Запишем выражение в виде дроби: $\frac{560 \cdot 10^7}{752 \cdot 10^6} = \frac{560}{752} \cdot \frac{10^7}{10^6}$.
Разделим коэффициенты: $\frac{560}{752}$. Эту дробь можно сократить на 16:
$\frac{560 \div 16}{752 \div 16} = \frac{35}{47}$.
Вычислим значение дроби: $35 : 47 \approx 0,74468...$
Разделим степени десяти:
$\frac{10^7}{10^6} = 10^{7-6} = 10^1 = 10$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$0,74468 \cdot 10 = 7,4468$.
Исходные числа (560 и 752) имеют по 3 значащие цифры, поэтому округлим результат до трёх значащих цифр: $7,45$.
Ответ: $\approx 7,45$.

1.139. Вычислите:

1) $1,3 \cdot 10^5 : 2,5 \cdot 10^{-3};$

2) $7,1 \cdot 10^{-4} : 2,7 \cdot 10^{-8};$

3) $2,5 \cdot 10^{-7} \cdot 7,1 \cdot 10^5;$

4) $1,7 \cdot 10^5 \cdot 12,5 \cdot 10^{-2}.$

1) Для решения выражения $1,3 \cdot 10^5 : 2,5 \cdot 10^{-3}$ представим его в виде дроби и сгруппируем множители:

$(1,3 \cdot 10^5) : (2,5 \cdot 10^{-3}) = \frac{1,3 \cdot 10^5}{2,5 \cdot 10^{-3}} = \frac{1,3}{2,5} \cdot \frac{10^5}{10^{-3}}$

Вычислим частное десятичных дробей:

$\frac{1,3}{2,5} = \frac{13}{25} = 0,52$

Вычислим частное степеней, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^5}{10^{-3}} = 10^{5 - (-3)} = 10^{5+3} = 10^8$

Перемножим полученные результаты:

$0,52 \cdot 10^8$

Приведем число к стандартному виду, где мантисса (число перед степенью) должна быть в диапазоне от 1 до 10:

$0,52 \cdot 10^8 = (5,2 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^8 = 5,2 \cdot 10^{-1+8} = 5,2 \cdot 10^7$

Ответ: $5,2 \cdot 10^7$.

2) Для решения выражения $7,1 \cdot 10^{-4} : 2,7 \cdot 10^{-8}$ поступим аналогично первому пункту:

$(7,1 \cdot 10^{-4}) : (2,7 \cdot 10^{-8}) = \frac{7,1 \cdot 10^{-4}}{2,7 \cdot 10^{-8}} = \frac{7,1}{2,7} \cdot \frac{10^{-4}}{10^{-8}}$

Вычислим частное десятичных дробей:

$\frac{7,1}{2,7} = \frac{71}{27} \approx 2,6296...$

Так как в результате деления получается бесконечная периодическая дробь, округлим значение до сотых: $2,63$.

Вычислим частное степеней:

$\frac{10^{-4}}{10^{-8}} = 10^{-4 - (-8)} = 10^{-4+8} = 10^4$

Перемножим полученные результаты:

$\approx 2,63 \cdot 10^4$

Ответ: $\approx 2,63 \cdot 10^4$.

3) Для решения выражения $2,5 \cdot 10^{-7} \cdot 7,1 \cdot 10^5$ сгруппируем множители:

$(2,5 \cdot 7,1) \cdot (10^{-7} \cdot 10^5)$

Вычислим произведение десятичных дробей:

$2,5 \cdot 7,1 = 17,75$

Вычислим произведение степеней, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-7} \cdot 10^5 = 10^{-7+5} = 10^{-2}$

Перемножим полученные результаты:

$17,75 \cdot 10^{-2}$

Приведем число к стандартному виду:

$17,75 \cdot 10^{-2} = (1,775 \cdot 10^1) \cdot 10^{-2} = 1,775 \cdot 10^{1-2} = 1,775 \cdot 10^{-1}$

Ответ: $1,775 \cdot 10^{-1}$.

4) Для решения выражения $1,7 \cdot 10^5 \cdot 12,5 \cdot 10^{-2}$ сгруппируем множители:

$(1,7 \cdot 12,5) \cdot (10^5 \cdot 10^{-2})$

Вычислим произведение десятичных дробей:

$1,7 \cdot 12,5 = 21,25$

Вычислим произведение степеней:

$10^5 \cdot 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^{5-2} = 10^3$

Перемножим полученные результаты:

$21,25 \cdot 10^3$

Приведем число к стандартному виду:

$21,25 \cdot 10^3 = (2,125 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 2,125 \cdot 10^{1+3} = 2,125 \cdot 10^4$

Ответ: $2,125 \cdot 10^4$.

1.140. Запишите число в стандартном виде:

1) 25 800 млн тг;

2) 450 тыс. км;

3) 125 700 тыс. кг;

4) 57 млн жителей.

1) 25 800 млн тг
Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.
Слово "млн" означает миллион, то есть множитель $10^6$.
Сначала запишем число 25 800 в стандартном виде. Для этого нужно представить его как число от 1 до 10, умноженное на степень 10. Переместим запятую на 4 знака влево: $25 \, 800 = 2.58 \cdot 10^4$.
Теперь объединим это с множителем "млн":
$25 \, 800 \text{ млн тг} = (2.58 \cdot 10^4) \cdot 10^6 \text{ тг}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^4 \cdot 10^6 = 10^{4+6} = 10^{10}$.
Таким образом, получаем: $2.58 \cdot 10^{10}$ тг.
Ответ: $2.58 \cdot 10^{10}$ тг.

2) 450 тыс. км
Слово "тыс." означает тысяча, то есть множитель $10^3$.
Запишем число 450 в стандартном виде. Переместим запятую на 2 знака влево: $450 = 4.5 \cdot 10^2$.
Теперь объединим это с множителем "тыс.":
$450 \text{ тыс. км} = (4.5 \cdot 10^2) \cdot 10^3 \text{ км}$.
Складываем показатели степеней: $10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5$.
В результате получаем: $4.5 \cdot 10^5$ км.
Ответ: $4.5 \cdot 10^5$ км.

3) 125 700 тыс. кг
Слово "тыс." означает тысяча, то есть множитель $10^3$.
Запишем число 125 700 в стандартном виде. Переместим запятую на 5 знаков влево: $125 \, 700 = 1.257 \cdot 10^5$.
Теперь объединим это с множителем "тыс.":
$125 \, 700 \text{ тыс. кг} = (1.257 \cdot 10^5) \cdot 10^3 \text{ кг}$.
Складываем показатели степеней: $10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8$.
В итоге получаем: $1.257 \cdot 10^8$ кг.
Ответ: $1.257 \cdot 10^8$ кг.

4) 57 млн жителей
Слово "млн" означает миллион, то есть множитель $10^6$.
Запишем число 57 в стандартном виде. Переместим запятую на 1 знак влево: $57 = 5.7 \cdot 10^1$.
Теперь объединим это с множителем "млн":
$57 \text{ млн жителей} = (5.7 \cdot 10^1) \cdot 10^6 \text{ жителей}$.
Складываем показатели степеней: $10^1 \cdot 10^6 = 10^{1+6} = 10^7$.
В итоге получаем: $5.7 \cdot 10^7$ жителей.
Ответ: $5.7 \cdot 10^7$ жителей.

1.141. Разложите число на сумму разрядных слагаемых:

1) 5618;

2) 27809;

3) 123000;

4) 78099.

Чтобы разложить число на сумму разрядных слагаемых, нужно определить значение каждой цифры в зависимости от ее позиции (разряда) в числе и сложить эти значения.

1) 5618
Рассмотрим число 5618. Оно состоит из:

• 5 тысяч (значение 5000)
• 6 сотен (значение 600)
• 1 десятка (значение 10)
• 8 единиц (значение 8)

Сумма разрядных слагаемых будет:
$5618 = 5000 + 600 + 10 + 8$.
Ответ: $5618 = 5000 + 600 + 10 + 8$.

2) 27809
Рассмотрим число 27809. Оно состоит из:

• 2 десятков тысяч (значение 20000)
• 7 тысяч (значение 7000)
• 8 сотен (значение 800)
• 0 десятков (значение 0, в сумме можно не указывать)
• 9 единиц (значение 9)

Сумма разрядных слагаемых будет:
$27809 = 20000 + 7000 + 800 + 9$.
Ответ: $27809 = 20000 + 7000 + 800 + 9$.

3) 123000
Рассмотрим число 123000. Оно состоит из:

• 1 сотни тысяч (значение 100000)
• 2 десятков тысяч (значение 20000)
• 3 тысяч (значение 3000)

Разряды сотен, десятков и единиц равны нулю, поэтому их в сумму не включаем.
Сумма разрядных слагаемых будет:
$123000 = 100000 + 20000 + 3000$.
Ответ: $123000 = 100000 + 20000 + 3000$.

4) 78099
Рассмотрим число 78099. Оно состоит из:

• 7 десятков тысяч (значение 70000)
• 8 тысяч (значение 8000)
• 0 сотен (значение 0, в сумме можно не указывать)
• 9 десятков (значение 90)
• 9 единиц (значение 9)

Сумма разрядных слагаемых будет:
$78099 = 70000 + 8000 + 90 + 9$.
Ответ: $78099 = 70000 + 8000 + 90 + 9$.

1.142. Выразите данные сведения в данных единицах измерения:

1) $4,7 \cdot 10^{-3}$ км в метрах;

2) $8,8 \cdot 10^{5}$ т в килограммах;

3) $6,82 \cdot 10^{-2}$ кг в тоннах;

4) $7,19 \cdot 10^{7}$ см в метрах.

1) 4,7 · 10⁻³ км в метрах;

Чтобы выразить километры в метрах, воспользуемся соотношением: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, что в степенном виде записывается как $1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$.

Для перевода необходимо умножить данное значение на $10^3$:

$4,7 \cdot 10^{-3} \text{ км} = 4,7 \cdot 10^{-3} \cdot 10^3 \text{ м}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}$.

$4,7 \cdot 10^{-3+3} \text{ м} = 4,7 \cdot 10^0 \text{ м}$.

Любое число в нулевой степени равно единице ($10^0 = 1$), поэтому:

$4,7 \cdot 1 = 4,7 \text{ м}$.

Ответ: $4,7 \text{ м}$.

2) 8,8 · 10⁵ т в килограммах:

Для перевода тонн в килограммы используется соотношение: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} = 10^3 \text{ кг}$.

Умножим исходное значение в тоннах на $10^3$:

$8,8 \cdot 10^5 \text{ т} = 8,8 \cdot 10^5 \cdot 10^3 \text{ кг}$.

Сложим показатели степеней:

$8,8 \cdot 10^{5+3} \text{ кг} = 8,8 \cdot 10^8 \text{ кг}$.

Ответ: $8,8 \cdot 10^8 \text{ кг}$.

3) 6,82 · 10⁻² кг в тоннах;

Для перевода килограммов в тонны используется обратное соотношение: $1 \text{ кг} = \frac{1}{1000} \text{ т} = 0,001 \text{ т} = 10^{-3} \text{ т}$.

Для преобразования умножим данное значение в килограммах на $10^{-3}$:

$6,82 \cdot 10^{-2} \text{ кг} = 6,82 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3} \text{ т}$.

Складываем показатели степеней:

$6,82 \cdot 10^{-2+(-3)} \text{ т} = 6,82 \cdot 10^{-5} \text{ т}$.

Ответ: $6,82 \cdot 10^{-5} \text{ т}$.

4) 7,19 · 10⁷ см в метрах.

Для перевода сантиметров в метры применим соотношение: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Следовательно, $1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 0,01 \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$.

Умножим исходное значение в сантиметрах на $10^{-2}$:

$7,19 \cdot 10^7 \text{ см} = 7,19 \cdot 10^7 \cdot 10^{-2} \text{ м}$.

Складываем показатели степеней:

$7,19 \cdot 10^{7+(-2)} \text{ м} = 7,19 \cdot 10^5 \text{ м}$.

Ответ: $7,19 \cdot 10^5 \text{ м}$.