Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.151. Выполните действия:

1) $1.22 \cdot 10^6 + 3.79 \cdot 10^6$;

2) $4.2 \cdot 10^{-3} - 2.5 \cdot 10^{-3}$;

3) $9.5 \cdot 10^7 - 3.9 \cdot 10^7$;

4) $6.7 \cdot 10^{-6} - 4.22 \cdot 10^{-6}$.

1) Для выполнения сложения чисел, представленных в стандартном виде с одинаковым порядком (одинаковой степенью числа 10), необходимо сложить их коэффициенты (мантиссы), а степень оставить прежней. Это следует из распределительного свойства умножения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$.
В данном случае $c = 10^6$, $a = 1,22$ и $b = 3,79$.
$1,22 \cdot 10^6 + 3,79 \cdot 10^6 = (1,22 + 3,79) \cdot 10^6 = 5,01 \cdot 10^6$.
Ответ: $5,01 \cdot 10^6$.

2) Для выполнения вычитания чисел с одинаковым порядком, необходимо вычесть их коэффициенты, а степень оставить прежней.
В данном случае общим множителем является $10^{-3}$.
$4,2 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-3} = (4,2 - 2,5) \cdot 10^{-3} = 1,7 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $1,7 \cdot 10^{-3}$.

3) Аналогично предыдущим примерам, выносим общий множитель $10^7$ за скобки и выполняем вычитание коэффициентов.
$9,5 \cdot 10^7 - 3,9 \cdot 10^7 = (9,5 - 3,9) \cdot 10^7 = 5,6 \cdot 10^7$.
Ответ: $5,6 \cdot 10^7$.

4) Выносим общий множитель $10^{-6}$ за скобки и выполняем вычитание коэффициентов.
$6,7 \cdot 10^{-6} - 4,22 \cdot 10^{-6} = (6,7 - 4,22) \cdot 10^{-6} = 2,48 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $2,48 \cdot 10^{-6}$.

1.152. Округлите числа 4,27; 17,032; 9,753 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.

Для решения задачи сначала разберем правила округления до десятых и вычисления абсолютной погрешности.

Правило округления до десятых: чтобы округлить десятичную дробь до разряда десятых, нужно оставить после запятой только одну цифру, отбросив все последующие. При этом необходимо посмотреть на первую из отбрасываемых цифр (цифру в разряде сотых).

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру (в разряде десятых) не изменяем.
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру (в разряде десятых) увеличиваем на единицу.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением величины ($x$) и её приближённым значением ($a$). Формула для вычисления: $ \Delta = |x - a| $.

Применим эти правила для каждого из данных чисел.

Для числа 4,27

1. Округление до десятых.
Число для округления — 4,27. Цифра в разряде десятых — 2. Следующая за ней цифра (в разряде сотых) — 7. Поскольку $ 7 \ge 5 $, мы увеличиваем цифру в разряде десятых на 1.
$ 2 + 1 = 3 $.
Приближенное значение: $ 4,27 \approx 4,3 $.

2. Нахождение абсолютной погрешности.
Вычитаем из точного значения приближенное и берем модуль разности:
$ \Delta = |4,27 - 4,3| = |-0,03| = 0,03 $.

Ответ: приближенное значение 4,3; абсолютная погрешность 0,03.

Для числа 17,032

1. Округление до десятых.
Число для округления — 17,032. Цифра в разряде десятых — 0. Следующая за ней цифра (в разряде сотых) — 3. Поскольку $ 3 < 5 $, мы оставляем цифру в разряде десятых без изменений.
Приближенное значение: $ 17,032 \approx 17,0 $.

2. Нахождение абсолютной погрешности.
Вычитаем из точного значения приближенное и берем модуль разности:
$ \Delta = |17,032 - 17,0| = |0,032| = 0,032 $.

Ответ: приближенное значение 17,0; абсолютная погрешность 0,032.

Для числа 9,753

1. Округление до десятых.
Число для округления — 9,753. Цифра в разряде десятых — 7. Следующая за ней цифра (в разряде сотых) — 5. Поскольку $ 5 \ge 5 $, мы увеличиваем цифру в разряде десятых на 1.
$ 7 + 1 = 8 $.
Приближенное значение: $ 9,753 \approx 9,8 $.

2. Нахождение абсолютной погрешности.
Вычитаем из точного значения приближенное и берем модуль разности:
$ \Delta = |9,753 - 9,8| = |-0,047| = 0,047 $.

Ответ: приближенное значение 9,8; абсолютная погрешность 0,047.

1.153. Округлите числа до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешности:

1) 5,4; 2) 7,9; 3) 1,89; 4) 8,5; 5) 3,71; 6) 11,27.

Для решения задачи вспомним определения. Пусть $x$ — точное значение, а $a$ — его приближенное значение.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности точного и приближенного значений: $\Delta = |x - a|$.

Относительная погрешность приближения — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: $\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{|x - a|}{|x|}$.

Правило округления до единиц: если первая цифра после запятой 0, 1, 2, 3 или 4, то целая часть не меняется (округление с недостатком). Если первая цифра после запятой 5, 6, 7, 8 или 9, то целая часть увеличивается на единицу (округление с избытком).

1) 5,4
Точное значение $x = 5,4$. Округляем до единиц: так как первая цифра после запятой 4, округляем в меньшую сторону. Приближенное значение $a = 5$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |5,4 - 5| = 0,4$.
Относительная погрешность: $\delta = \frac{0,4}{5,4} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$.
Ответ: абсолютная погрешность равна $0,4$; относительная погрешность равна $\frac{2}{27}$.

2) 7,9
Точное значение $x = 7,9$. Округляем до единиц: так как первая цифра после запятой 9, округляем в большую сторону. Приближенное значение $a = 8$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |7,9 - 8| = |-0,1| = 0,1$.
Относительная погрешность: $\delta = \frac{0,1}{7,9} = \frac{1}{79}$.
Ответ: абсолютная погрешность равна $0,1$; относительная погрешность равна $\frac{1}{79}$.

3) 1,89
Точное значение $x = 1,89$. Округляем до единиц: так как первая цифра после запятой 8, округляем в большую сторону. Приближенное значение $a = 2$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |1,89 - 2| = |-0,11| = 0,11$.
Относительная погрешность: $\delta = \frac{0,11}{1,89} = \frac{11}{189}$.
Ответ: абсолютная погрешность равна $0,11$; относительная погрешность равна $\frac{11}{189}$.

4) 8,5
Точное значение $x = 8,5$. Округляем до единиц: так как первая цифра после запятой 5, округляем в большую сторону. Приближенное значение $a = 9$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |8,5 - 9| = |-0,5| = 0,5$.
Относительная погрешность: $\delta = \frac{0,5}{8,5} = \frac{5}{85} = \frac{1}{17}$.
Ответ: абсолютная погрешность равна $0,5$; относительная погрешность равна $\frac{1}{17}$.

5) 3,71
Точное значение $x = 3,71$. Округляем до единиц: так как первая цифра после запятой 7, округляем в большую сторону. Приближенное значение $a = 4$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |3,71 - 4| = |-0,29| = 0,29$.
Относительная погрешность: $\delta = \frac{0,29}{3,71} = \frac{29}{371}$.
Ответ: абсолютная погрешность равна $0,29$; относительная погрешность равна $\frac{29}{371}$.

6) 11,27
Точное значение $x = 11,27$. Округляем до единиц: так как первая цифра после запятой 2, округляем в меньшую сторону. Приближенное значение $a = 11$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |11,27 - 11| = 0,27$.
Относительная погрешность: $\delta = \frac{0,27}{11,27} = \frac{27}{1127}$.
Ответ: абсолютная погрешность равна $0,27$; относительная погрешность равна $\frac{27}{1127}$.

1.154. Найдите абсолютную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления:

1) числа $8,79$ до единиц;

2) числа $132$ до десятков;

3) числа $0,777$ до десятых;

4) числа $1,2839$ до сотых.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и приближенным значением. Если $x$ — точное значение, а $a$ — его приближенное значение, то абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$.

1) числа 8,79 до единиц;

Точное значение $x = 8,79$.

Для нахождения приближенного значения округлим число 8,79 до единиц. Смотрим на цифру в следующем разряде (десятых) — это 7. Так как $7 \ge 5$, то разряд единиц увеличиваем на 1.

Приближенное значение $a = 9$.

Вычисляем абсолютную погрешность:

$\Delta = |8,79 - 9| = |-0,21| = 0,21$.

Ответ: 0,21.

2) числа 132 до десятков;

Точное значение $x = 132$.

Для нахождения приближенного значения округлим число 132 до десятков. Смотрим на цифру в следующем разряде (единиц) — это 2. Так как $2 < 5$, то разряд десятков оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем нулем.

Приближенное значение $a = 130$.

Вычисляем абсолютную погрешность:

$\Delta = |132 - 130| = |2| = 2$.

Ответ: 2.

3) числа 0,777 до десятых;

Точное значение $x = 0,777$.

Для нахождения приближенного значения округлим число 0,777 до десятых. Смотрим на цифру в следующем разряде (сотых) — это 7. Так как $7 \ge 5$, то разряд десятых увеличиваем на 1.

Приближенное значение $a = 0,8$.

Вычисляем абсолютную погрешность:

$\Delta = |0,777 - 0,8| = |-0,023| = 0,023$.

Ответ: 0,023.

4) числа 1,2839 до сотых.

Точное значение $x = 1,2839$.

Для нахождения приближенного значения округлим число 1,2839 до сотых. Смотрим на цифру в следующем разряде (тысячных) — это 3. Так как $3 < 5$, то разряд сотых оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.

Приближенное значение $a = 1,28$.

Вычисляем абсолютную погрешность:

$\Delta = |1,2839 - 1,28| = |0,0039| = 0,0039$.

Ответ: 0,0039.

1.155. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?

Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира.

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Процесс построения и последующего измерения выглядит следующим образом:

1. Начертите на бумаге луч с началом в точке $O$. Эта точка будет вершиной угла, а луч — одной из его сторон.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла (точкой $O$), а его прямое основание (нулевая линия) прошло вдоль начерченного луча.
3. На шкале транспортира выберите любую отметку меньше $90^\circ$ (например, $50^\circ$) и поставьте напротив нее точку.
4. Проведите второй луч из вершины $O$ через поставленную точку.

В результате будет построен острый угол. Измерение уже существующего угла выполняется аналогично: необходимо совместить транспортир с углом и считать показание, на которое указывает вторая сторона угла.

Ответ: Чтобы начертить острый угол, нужно от начального луча с помощью транспортира отложить угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Измерение угла производится путем совмещения транспортира с углом и считывания показаний с его шкалы.

Какова точность полученного результата?

Точность измерения определяется ценой деления измерительного прибора — транспортира. Ценой деления называют значение наименьшего деления на шкале. У большинства школьных транспортиров цена деления составляет $1^\circ$.

Это означает, что сам инструмент позволяет измерять углы с точностью до $1^\circ$. Погрешность измерения, которая показывает возможное отклонение результата от истинного значения, при однократном измерении принимается равной половине цены деления. Для стандартного транспортира абсолютная погрешность $\Delta$ равна:

$\Delta = \frac{1^\circ}{2} = 0.5^\circ$

Следовательно, если результат измерения составил, например, $50^\circ$, то истинное значение угла $\alpha$ лежит в интервале $50^\circ \pm 0.5^\circ$, то есть $49.5^\circ \le \alpha \le 50.5^\circ$. Следует также учитывать, что на точность могут влиять толщина линий чертежа и ошибки считывания (параллакс).

Ответ: Точность полученного результата равна цене деления транспортира, что для стандартного инструмента составляет $1^\circ$. Абсолютная погрешность измерения при этом равна $\pm 0.5^\circ$.

1.156. Округлите число 3,275 до десятых. Найдите относительную по-грешность приближенного значения.

Округлите число 3,275 до десятых.
Дано число $x = 3,275$. Чтобы округлить его до десятых, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотых (вторая цифра после запятой). В данном случае это цифра 7.
Согласно правилам округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу.
Поскольку $7 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде десятых (которая равна 2) на 1.
Таким образом, приближенное значение $a$ равно $3,3$.
Ответ: $3,3$.

Найдите относительную погрешность приближенного значения.
Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле:
$\delta = \frac{\Delta a}{|x|} = \frac{|x - a|}{|x|}$
где $x = 3,275$ — точное значение, а $a = 3,3$ — приближенное значение, найденное в предыдущем пункте.
Сначала найдем абсолютную погрешность $\Delta a$:
$\Delta a = |3,275 - 3,3| = |-0,025| = 0,025$.
Теперь вычислим относительную погрешность, подставив значения в формулу:
$\delta = \frac{0,025}{|3,275|} = \frac{0,025}{3,275}$.
Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 1000:
$\delta = \frac{25}{3275}$.
Сократим полученную дробь на 25:
$\delta = \frac{25 \div 25}{3275 \div 25} = \frac{1}{131}$.
Относительную погрешность можно также выразить в процентах. Для этого нужно умножить полученное значение на 100%:
$\delta = \frac{1}{131} \times 100\% \approx 0,0076335... \times 100\% \approx 0,76\%$.
Ответ: относительная погрешность равна $\frac{1}{131}$ (или примерно $0,76\%$).

1.157. Измерьте линейкой толщину вашей тетради по алгебре и оцените абсолютную погрешность измерения.

Данная задача является практической. Её решение состоит из двух частей: непосредственного измерения толщины тетради и последующего расчёта абсолютной погрешности. Поскольку выполнить реальное измерение невозможно, ниже представлен пример выполнения с использованием типичных, но реалистичных данных, которые вы можете заменить на свои.

Измерение толщины тетради

Для измерения используется стандартная ученическая линейка, у которой наименьшее деление на шкале (цена деления) составляет 1 миллиметр. Обозначим цену деления как $c$. Таким образом, $c = 1$ мм.

В качестве объекта измерения возьмем обычную тетрадь по алгебре, например, на 48 листов. Приложив линейку к срезу тетради (торцу), получаем приближенное значение её толщины, которое обозначим как $h_{изм}$. Для большей точности следует немного сжать страницы. Допустим, наше измерение дало результат $h_{изм} = 4$ мм.

Оценка абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность ($\Delta h$) при однократном прямом измерении, как правило, принимается равной половине цены деления измерительного прибора. Эта погрешность называется инструментальной и отражает точность самого прибора. Формула для расчёта абсолютной погрешности: $\Delta h = \frac{c}{2}$.

Подставляем значение цены деления нашей линейки: $\Delta h = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0.5$ мм.

Следовательно, абсолютная погрешность измерения толщины тетради данной линейкой составляет 0.5 мм.

Запись окончательного результата

Результат измерения физической величины принято записывать в интервальной форме $h = h_{изм} \pm \Delta h$, которая показывает диапазон, где с большой вероятностью находится истинное значение.

Подставив наши значения, получаем: $h = (4.0 \pm 0.5)$ мм.

Запись $4.0$ вместо $4$ используется для того, чтобы число знаков после запятой в измеренном значении соответствовало числу знаков в погрешности. Эта запись означает, что истинное значение толщины тетради ($h_{ист}$) находится в пределах: $4.0 \text{ мм} - 0.5 \text{ мм} \le h_{ист} \le 4.0 \text{ мм} + 0.5 \text{ мм}$, то есть от 3.5 мм до 4.5 мм.

Ответ: При измерении толщины тетради линейкой с ценой деления 1 мм было получено значение 4 мм. Абсолютная погрешность измерения составляет половину цены деления, то есть 0.5 мм. Результат измерения толщины тетради: $h = (4.0 \pm 0.5)$ мм.

1.158. Представьте число $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби и округлите эту дробь до десятых, до сотых, до тысячных. В каждом из случаев найдите абсолютную погрешность приближенного значения.

Сначала представим число $ \frac{1}{3} $ в виде десятичной дроби. Для этого разделим числитель 1 на знаменатель 3:

$ 1 \div 3 = 0.3333... $

Это бесконечная периодическая десятичная дробь, которую можно записать как $ 0.(3) $. Точное значение числа $ x = \frac{1}{3} $.

Абсолютная погрешность приближенного значения вычисляется по формуле $ \Delta = |x - a| $, где $ x $ — точное значение числа, а $ a $ — его приближенное значение.

до десятых

Округляем число $ 0.333... $ до десятых. Для этого смотрим на цифру в разряде сотых — это 3. Так как $ 3 < 5 $, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

Приближенное значение: $ a_1 \approx 0.3 $.

Найдем абсолютную погрешность этого приближения:

$ \Delta_1 = |\frac{1}{3} - 0.3| = |\frac{1}{3} - \frac{3}{10}| = |\frac{10}{30} - \frac{9}{30}| = |\frac{1}{30}| = \frac{1}{30} $.

Ответ: приближенное значение $ 0.3 $, абсолютная погрешность $ \frac{1}{30} $.

до сотых

Округляем число $ 0.333... $ до сотых. Для этого смотрим на цифру в разряде тысячных — это 3. Так как $ 3 < 5 $, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.

Приближенное значение: $ a_2 \approx 0.33 $.

Найдем абсолютную погрешность:

$ \Delta_2 = |\frac{1}{3} - 0.33| = |\frac{1}{3} - \frac{33}{100}| = |\frac{100}{300} - \frac{99}{300}| = |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300} $.

Ответ: приближенное значение $ 0.33 $, абсолютная погрешность $ \frac{1}{300} $.

до тысячных

Округляем число $ 0.3333... $ до тысячных. Для этого смотрим на четвертую цифру после запятой (разряд десятитысячных) — это 3. Так как $ 3 < 5 $, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений.

Приближенное значение: $ a_3 \approx 0.333 $.

Найдем абсолютную погрешность:

$ \Delta_3 = |\frac{1}{3} - 0.333| = |\frac{1}{3} - \frac{333}{1000}| = |\frac{1000}{3000} - \frac{999}{3000}| = |\frac{1}{3000}| = \frac{1}{3000} $.

Ответ: приближенное значение $ 0.333 $, абсолютная погрешность $ \frac{1}{3000} $.

1.159. Термометр показывает температуру $21^\circ \text{C}$ с точностью до $1^\circ \text{C}$. С какой относительной точностью определена температура воздуха?

Для решения этой задачи необходимо определить относительную точность измерения. Относительная точность (или относительная погрешность) показывает, какую часть от измеряемой величины составляет абсолютная погрешность.

По условию задачи нам известны следующие величины:
Измеренная температура: $T = 21^\circ \text{C}$.
Абсолютная точность измерения (абсолютная погрешность): $\Delta T = 1^\circ \text{C}$.

Относительная точность, которую мы обозначим как $\epsilon$, вычисляется по формуле: $$ \epsilon = \frac{\Delta T}{|T|} $$ где $\Delta T$ — это абсолютная погрешность, а $T$ — само измеренное значение.

Подставим данные из условия в эту формулу: $$ \epsilon = \frac{1^\circ \text{C}}{|21^\circ \text{C}|} = \frac{1}{21} $$

Полученное значение $\frac{1}{21}$ является точным значением относительной точности. Часто для наглядности эту величину выражают в процентах. Для этого нужно умножить полученную дробь на 100%. $$ \epsilon_{\%} = \frac{1}{21} \times 100\% \approx 0.0476 \times 100\% \approx 4.76\% $$ Округлим результат до десятых долей процента: $4.8\%$.

Ответ: относительная точность определения температуры воздуха равна $\frac{1}{21}$, что составляет примерно $4.8\%$.

1.160. Поверхность Земли 510,2 млн $км^2$ (с точностью до 0,1 млн $км^2$). Найдите относительную погрешность приближенного значения.

Относительная погрешность ($\delta$) вычисляется как отношение абсолютной погрешности ($\Delta a$) к модулю приближенного значения ($|a|$). Формула для ее нахождения:

$\delta = \frac{\Delta a}{|a|}$

В данной задаче нам известны следующие величины:
Приближенное значение поверхности Земли: $a = 510.2 \text{ млн км}^2$.
Абсолютная погрешность этого значения (указанная точность): $\Delta a = 0.1 \text{ млн км}^2$.

Подставим эти значения в формулу для расчета относительной погрешности:

$\delta = \frac{0.1 \text{ млн км}^2}{510.2 \text{ млн км}^2} = \frac{0.1}{510.2}$

Вычислим полученное значение:

$\delta = \frac{1}{5102} \approx 0.0001960015...$

Чтобы выразить относительную погрешность в процентах, необходимо умножить полученное десятичное число на 100%:

$\delta \approx 0.000196 \times 100\% \approx 0.0196\%$

Округляя результат, получаем значение около $0.0002$ или $0.02\%$.

Ответ: $\approx 0.0002$ или $\approx 0.02\%$.

1.161. Выполните действия:

1) $4,125 \cdot 10^7 + 9,29 \cdot 10^7$;

2) $8,927 \cdot 10^{-5} + 5,32 \cdot 10^{-5}$.

Запишите сумму в стандартном виде, оставляя после запятой 1 и 2 значащие цифры. Найдите абсолютную и относительную погрешности этих приближенных значений.

1) $4,125 \cdot 10^7 + 9,29 \cdot 10^7$

Шаг 1: Выполним сложение и приведем сумму к стандартному виду.
Поскольку степени оснований $10$ одинаковы, мы можем вынести общий множитель $10^7$ за скобки:

$(4,125 + 9,29) \cdot 10^7 = 13,415 \cdot 10^7$

Стандартный вид числа имеет форму $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Приведем наш результат к этому виду:

$13,415 \cdot 10^7 = (1,3415 \cdot 10^1) \cdot 10^7 = 1,3415 \cdot 10^{1+7} = 1,3415 \cdot 10^8$.

Это точное значение суммы, обозначим его как $x$.

Шаг 2: Округление до 1 значащей цифры после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $x = 1,3415 \cdot 10^8$, оставляя одну цифру после запятой. Получаем приближенное значение $a_1 = 1,3 \cdot 10^8$.

Абсолютная погрешность $\Delta a_1$ вычисляется как модуль разности между точным и приближенным значениями:

$\Delta a_1 = |x - a_1| = |1,3415 \cdot 10^8 - 1,3 \cdot 10^8| = |(1,3415 - 1,3) \cdot 10^8| = 0,0415 \cdot 10^8 = 4,15 \cdot 10^6$.

Относительная погрешность $\delta a_1$ вычисляется как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения:

$\delta a_1 = \frac{\Delta a_1}{|x|} = \frac{0,0415 \cdot 10^8}{1,3415 \cdot 10^8} = \frac{0,0415}{1,3415} \approx 0,0309$ (или $3,09\%$).

Шаг 3: Округление до 2 значащих цифр после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $x = 1,3415 \cdot 10^8$, оставляя две цифры после запятой. Получаем приближенное значение $a_2 = 1,34 \cdot 10^8$.

Абсолютная погрешность $\Delta a_2$:

$\Delta a_2 = |x - a_2| = |1,3415 \cdot 10^8 - 1,34 \cdot 10^8| = |(1,3415 - 1,34) \cdot 10^8| = 0,0015 \cdot 10^8 = 1,5 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность $\delta a_2$:

$\delta a_2 = \frac{\Delta a_2}{|x|} = \frac{0,0015 \cdot 10^8}{1,3415 \cdot 10^8} = \frac{0,0015}{1,3415} \approx 0,0011$ (или $0,11\%$).

Ответ:
Точная сумма в стандартном виде: $1,3415 \cdot 10^8$.
Для приближения с 1 значащей цифрой после запятой ($1,3 \cdot 10^8$):
- Абсолютная погрешность: $4,15 \cdot 10^6$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0309$ (или $3,09\%$)
Для приближения с 2 значащими цифрами после запятой ($1,34 \cdot 10^8$):
- Абсолютная погрешность: $1,5 \cdot 10^5$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0011$ (или $0,11\%$)

2) $8,927 \cdot 10^{-5} + 5,32 \cdot 10^{-5}$

Шаг 1: Выполним сложение и приведем сумму к стандартному виду.
Выносим общий множитель $10^{-5}$ за скобки:

$(8,927 + 5,32) \cdot 10^{-5} = 14,247 \cdot 10^{-5}$

Приводим результат к стандартному виду $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$:

$14,247 \cdot 10^{-5} = (1,4247 \cdot 10^1) \cdot 10^{-5} = 1,4247 \cdot 10^{1-5} = 1,4247 \cdot 10^{-4}$.

Это точное значение суммы, обозначим его как $y$.

Шаг 2: Округление до 1 значащей цифры после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $y = 1,4247 \cdot 10^{-4}$, оставляя одну цифру после запятой. Получаем приближенное значение $b_1 = 1,4 \cdot 10^{-4}$.

Абсолютная погрешность $\Delta b_1$:

$\Delta b_1 = |y - b_1| = |1,4247 \cdot 10^{-4} - 1,4 \cdot 10^{-4}| = |(1,4247 - 1,4) \cdot 10^{-4}| = 0,0247 \cdot 10^{-4} = 2,47 \cdot 10^{-6}$.

Относительная погрешность $\delta b_1$:

$\delta b_1 = \frac{\Delta b_1}{|y|} = \frac{0,0247 \cdot 10^{-4}}{1,4247 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,0247}{1,4247} \approx 0,0173$ (или $1,73\%$).

Шаг 3: Округление до 2 значащих цифр после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $y = 1,4247 \cdot 10^{-4}$, оставляя две цифры после запятой. Получаем приближенное значение $b_2 = 1,42 \cdot 10^{-4}$.

Абсолютная погрешность $\Delta b_2$:

$\Delta b_2 = |y - b_2| = |1,4247 \cdot 10^{-4} - 1,42 \cdot 10^{-4}| = |(1,4247 - 1,42) \cdot 10^{-4}| = 0,0047 \cdot 10^{-4} = 4,7 \cdot 10^{-7}$.

Относительная погрешность $\delta b_2$:

$\delta b_2 = \frac{\Delta b_2}{|y|} = \frac{0,0047 \cdot 10^{-4}}{1,4247 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,0047}{1,4247} \approx 0,0033$ (или $0,33\%$).

Ответ:
Точная сумма в стандартном виде: $1,4247 \cdot 10^{-4}$.
Для приближения с 1 значащей цифрой после запятой ($1,4 \cdot 10^{-4}$):
- Абсолютная погрешность: $2,47 \cdot 10^{-6}$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0173$ (или $1,73\%$)
Для приближения с 2 значащими цифрами после запятой ($1,42 \cdot 10^{-4}$):
- Абсолютная погрешность: $4,7 \cdot 10^{-7}$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0033$ (или $0,33\%$)