Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.143. Даны числа $a = 2720000000000$ и $b = 0,000000000371$. Поясните, как можно выполнить действия:

1) $a \cdot b$;

2) $a : b$;

3) $b : a$ на калькуляторе.

Для выполнения действий с числами $a = 2720000000000$ и $b = 0,000000000371$ на калькуляторе, их необходимо представить в стандартном виде (в виде произведения числа от 1 до 10 и степени числа 10). Это связано с тем, что обычные калькуляторы имеют ограничение на количество разрядов, которые можно ввести.

Представим числа $a$ и $b$ в стандартном виде:

$a = 2720000000000 = 2.72 \cdot 10^{12}$

$b = 0.000000000371 = 3.71 \cdot 10^{-10}$

На инженерном калькуляторе для ввода таких чисел используется специальная клавиша, обычно обозначаемая как EXP, EE или x10ⁿ. Например, чтобы ввести число $2.72 \cdot 10^{12}$, нужно набрать 2.72, нажать клавишу EXP, а затем ввести 12. Для числа $3.71 \cdot 10^{-10}$ нужно набрать 3.71, нажать EXP, а затем -10 (используя клавишу смены знака).

1) a · b;

Чтобы найти произведение $a \cdot b$, мы перемножаем их стандартные представления:

$a \cdot b = (2.72 \cdot 10^{12}) \cdot (3.71 \cdot 10^{-10})$

Используя свойства степеней, перемножаем отдельно мантиссы (числа перед степенью) и отдельно степени десяти:

$(2.72 \cdot 3.71) \cdot (10^{12} \cdot 10^{-10}) = 10.0912 \cdot 10^{12 + (-10)} = 10.0912 \cdot 10^2$

Приведем результат к стандартному виду, так как $10.0912 \ge 10$:

$10.0912 \cdot 10^2 = (1.00912 \cdot 10^1) \cdot 10^2 = 1.00912 \cdot 10^{1+2} = 1.00912 \cdot 10^3$

Это число равно $1009.12$.

На калькуляторе нужно ввести: 2.72 EXP 12 * 3.71 EXP -10 и нажать клавишу "=". Калькулятор отобразит результат $1009.12$ или $1.00912 \cdot 10^3$.

Ответ: $1009.12$.

2) a : b;

Чтобы найти частное $a : b$, мы делим их стандартные представления:

$a : b = \frac{2.72 \cdot 10^{12}}{3.71 \cdot 10^{-10}} = \frac{2.72}{3.71} \cdot 10^{12 - (-10)} = \frac{2.72}{3.71} \cdot 10^{22}$

Выполнив деление $\frac{2.72}{3.71}$ на калькуляторе, получим бесконечную дробь $0.7331536...$.

$0.7331536... \cdot 10^{22}$

Приведем результат к стандартному виду, сдвинув запятую вправо на один знак:

$7.331536... \cdot 10^{21}$

На калькуляторе для ввода 2.72 EXP 12 / 3.71 EXP -10 результат сразу будет показан в стандартном виде, например, 7.331536388e+21. Обычно для ответа результат округляют.

Ответ: $\approx 7.33 \cdot 10^{21}$.

3) b : a

Чтобы найти частное $b : a$, мы делим их стандартные представления:

$b : a = \frac{3.71 \cdot 10^{-10}}{2.72 \cdot 10^{12}} = \frac{3.71}{2.72} \cdot 10^{-10 - 12} = \frac{3.71}{2.72} \cdot 10^{-22}$

Выполнив деление $\frac{3.71}{2.72}$ на калькуляторе, получим бесконечную дробь $1.3639705...$.

$1.3639705... \cdot 10^{-22}$

Этот результат уже представлен в стандартном виде. На калькуляторе для ввода 3.71 EXP -10 / 2.72 EXP 12 результат будет показан, например, как 1.363970588e-22. Обычно для ответа результат округляют.

Ответ: $\approx 1.36 \cdot 10^{-22}$.

1.144. Запишите формулу общего члена последовательностей, заданных в упражнении 1.133.

а) Последовательность натуральных чисел, кратных 5.

Первые члены этой последовательности: 5, 10, 15, 20, 25, ... . Мы видим, что каждый член последовательности получается умножением его номера $n$ на 5. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 5$.

Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения для данной последовательности:

$a_n = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$.

Таким образом, формула общего члена: $a_n = 5n$.

Ответ: $a_n = 5n$.

б) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 2.

Такие числа можно представить в виде $7k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$). Номер члена последовательности $n$ начинается с 1, поэтому мы можем связать $n$ и $k$ как $k = n-1$.

Первые члены последовательности:

$a_1 = 7 \cdot (1-1) + 2 = 7 \cdot 0 + 2 = 2$

$a_2 = 7 \cdot (2-1) + 2 = 7 \cdot 1 + 2 = 9$

$a_3 = 7 \cdot (3-1) + 2 = 7 \cdot 2 + 2 = 16$

Последовательность 2, 9, 16, 23, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 7$.

Используя формулу общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 7 = 2 + 7n - 7 = 7n - 5$.

Ответ: $a_n = 7n - 5$.

в) Последовательность натуральных чисел, являющихся кубами нечетных чисел.

Последовательность нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, ... Формула для $n$-го нечетного числа — $2n-1$.

Члены искомой последовательности являются кубами соответствующих нечетных чисел:

$a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$

$a_2 = (2 \cdot 2 - 1)^3 = 3^3 = 27$

$a_3 = (2 \cdot 3 - 1)^3 = 5^3 = 125$

Следовательно, формула общего члена искомой последовательности: $a_n = (2n-1)^3$.

Ответ: $a_n = (2n-1)^3$.

г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 1.

Такие числа можно представить в виде $13k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$). Свяжем номер члена последовательности $n$ и $k$ как $k = n-1$.

Первые члены последовательности:

$a_1 = 13 \cdot (1-1) + 1 = 13 \cdot 0 + 1 = 1$

$a_2 = 13 \cdot (2-1) + 1 = 13 \cdot 1 + 1 = 14$

$a_3 = 13 \cdot (3-1) + 1 = 13 \cdot 2 + 1 = 27$

Последовательность 1, 14, 27, 40, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 13$.

Используя формулу общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 13 = 1 + 13n - 13 = 13n - 12$.

Ответ: $a_n = 13n - 12$.

1.145. В таблице приведены площадь территории и количество жителей 14 областей Казахстана:

№ | Область | Площадь | Население

1. | Акмолинская | 146,2 тыс.$км^2$ | 735,6 тыс.

2. | Актюбинская | 300,6 тыс.$км^2$ | 703,4 тыс.

3. | Алматинская | 223,9 тыс.$км^2$ | 1,6 млн

4. | Атырауская | 118,6 тыс.$км^2$ | 490,2 тыс.

5. | Восточно-Казахстанская | 283,3 тыс.$км^2$ | 1,451 млн

6. | Жамбылская | 144,2 тыс.$км^2$ | 1,072 млн

7. | Западно-Казахстанская | 151,2 тыс.$км^2$ | 615,3 тыс.

8. | Карагандинская | 428 тыс.$км^2$ | 1,364 млн

9. | Кызылординская | 226 тыс.$км^2$ | 728 тыс.

10. | Костанайская | 196 тыс.$км^2$ | 880,2 тыс.

11. | Мангистауская | 165,6 тыс.$км^2$ | 596,7 тыс.

12. | Павлодарская | 124,8 тыс.$км^2$ | 749,5 тыс.

13. | Северо-Казахстанская | 98 тыс.$км^2$ | 579,4 тыс.

14. | Южно-Казахстанская | 117,3 тыс.$км^2$ | 2,685 млн

1) Запишите данные сведения в стандартном виде;
2) определите области с наибольшей и наименьшей территорией;
3) запишите площади территории областей в стандартном виде в $м^2$;
4) определите области с наибольшей и наименьшей плотностью населения (в расчете человек/$км^2$).

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Представим данные о площади и населении каждой области в стандартном виде.

Ответ: Данные в стандартном виде представлены в таблице выше.

Для определения областей с наибольшей и наименьшей территорией сравним значения площадей из таблицы (в тыс. км²):

• Наибольшая площадь: 428 тыс. км² (Карагандинская область).
• Наименьшая площадь: 98 тыс. км² (Северо-Казахстанская область).

Ответ: Наибольшая территория — Карагандинская область, наименьшая территория — Северо-Казахстанская область.

Переведем площади областей с наибольшей и наименьшей территорией из км² в м², используя соотношение $1 \text{ км}^2 = 10^6 \text{ м}^2$, и запишем результат в стандартном виде.

Площадь Карагандинской области (наибольшая):
$428 \text{ тыс. км}^2 = 428 \cdot 10^3 \text{ км}^2 = (428 \cdot 10^3) \cdot 10^6 \text{ м}^2 = 428 \cdot 10^9 \text{ м}^2 = 4,28 \cdot 10^{11} \text{ м}^2$.

Площадь Северо-Казахстанской области (наименьшая):
$98 \text{ тыс. км}^2 = 98 \cdot 10^3 \text{ км}^2 = (98 \cdot 10^3) \cdot 10^6 \text{ м}^2 = 98 \cdot 10^9 \text{ м}^2 = 9,8 \cdot 10^{10} \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь Карагандинской области — $4,28 \cdot 10^{11} \text{ м}^2$; площадь Северо-Казахстанской области — $9,8 \cdot 10^{10} \text{ м}^2$.

Плотность населения рассчитывается по формуле: $ \text{Плотность} = \frac{\text{Население}}{\text{Площадь}} $. Для удобства расчетов используем население в тыс. человек и площадь в тыс. км². При этом единицы "тыс." сокращаются, и результат получается в чел/км².

1. Акмолинская: $ \frac{735,6}{146,2} \approx 5,03 $ чел/км²
2. Актюбинская: $ \frac{703,4}{300,6} \approx 2,34 $ чел/км²
3. Алматинская: $ \frac{1600}{223,9} \approx 7,15 $ чел/км²
4. Атырауская: $ \frac{490,2}{118,6} \approx 4,13 $ чел/км²
5. Восточно-Казахстанская: $ \frac{1451}{283,3} \approx 5,12 $ чел/км²
6. Жамбылская: $ \frac{1072}{144,2} \approx 7,43 $ чел/км²
7. Западно-Казахстанская: $ \frac{615,3}{151,2} \approx 4,07 $ чел/км²
8. Карагандинская: $ \frac{1364}{428} \approx 3,19 $ чел/км²
9. Кызылординская: $ \frac{728}{226} \approx 3,22 $ чел/км²
10. Костанайская: $ \frac{880,2}{196} \approx 4,49 $ чел/км²
11. Мангистауская: $ \frac{596,7}{165,6} \approx 3,60 $ чел/км²
12. Павлодарская: $ \frac{749,5}{124,8} \approx 6,01 $ чел/км²
13. Северо-Казахстанская: $ \frac{579,4}{98} \approx 5,91 $ чел/км²
14. Южно-Казахстанская: $ \frac{2685}{117,3} \approx 22,89 $ чел/км²

Сравнив полученные значения, находим:

• Наибольшая плотность населения: Южно-Казахстанская область ($ \approx 22,89 $ чел/км²).
• Наименьшая плотность населения: Актюбинская область ($ \approx 2,34 $ чел/км²).

Ответ: Наибольшая плотность населения — Южно-Казахстанская область, наименьшая плотность населения — Актюбинская область.

1.146. Запишите формулу общего члена и следующие 2 члена последовательности:

1) 1; -2; 4; -8; ... ;

2) 1; 1; $ \frac{9}{5} $; $ \frac{7}{27} $; ... ;

3) 0; $ \frac{2}{5} $; $ \frac{4}{25} $; $ \frac{6}{125} $; ... ;

4) 2; 0; 2; 0; ... .

1) Дана последовательность: $1; -2; 4; -8; \dots$. Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-2}{1} = -2$. Проверим для следующих членов: $\frac{a_3}{a_2} = \frac{4}{-2} = -2$, $\frac{a_4}{a_3} = \frac{-8}{4} = -2$. Первый член прогрессии $a_1 = 1$. Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив значения $a_1=1$ и $q=-2$, получим формулу для данной последовательности: $a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$. Чтобы найти следующие два члена, нужно продолжить последовательность. Четвертый член $a_4 = -8$. Пятый член: $a_5 = a_4 \cdot q = -8 \cdot (-2) = 16$. Шестой член: $a_6 = a_5 \cdot q = 16 \cdot (-2) = -32$.
Ответ: формула общего члена $a_n = (-2)^{n-1}$; следующие два члена: 16 и -32.

2) Дана последовательность: $1; 1; \frac{9}{5}; \frac{7}{27}; \dots$. Найти простую закономерность в этой последовательности в исходном виде затруднительно. Весьма вероятно, что в условии задачи допущена опечатка в третьем члене. Если предположить, что третий член должен быть обратной дробью, то есть $\frac{5}{9}$ вместо $\frac{9}{5}$, то последовательность принимает вид: $1; 1; \frac{5}{9}; \frac{7}{27}; \dots$. Рассмотрим эту исправленную последовательность. Обозначим n-й член как $a_n$ и проанализируем числители и знаменатели отдельно. $a_1 = 1 = \frac{1}{1}$, $a_2 = 1 = \frac{3}{3}$, $a_3 = \frac{5}{9}$, $a_4 = \frac{7}{27}$. Числители: 1, 3, 5, 7, ... — это последовательность нечетных чисел, то есть арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2. Формула для n-го числителя: $N_n = 2n-1$. Знаменатели: 1, 3, 9, 27, ... — это степени числа 3, то есть геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 3. Формула для n-го знаменателя: $D_n = 3^{n-1}$. Таким образом, формула общего члена (при условии исправления опечатки) имеет вид: $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$. Найдем следующие два члена по этой формуле: $a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{3^{5-1}} = \frac{9}{3^4} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$. $a_6 = \frac{2 \cdot 6 - 1}{3^{6-1}} = \frac{11}{3^5} = \frac{11}{243}$.
Ответ: предполагая, что третий член должен быть $\frac{5}{9}$, формула общего члена $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$; следующие два члена: $\frac{1}{9}$ и $\frac{11}{243}$.

3) Дана последовательность: $0; \frac{2}{5}; \frac{4}{25}; \frac{6}{125}; \dots$. Представим первый член в виде дроби $a_1 = 0 = \frac{0}{1}$. Тогда последовательность имеет вид: $\frac{0}{1}; \frac{2}{5}; \frac{4}{25}; \frac{6}{125}; \dots$. Рассмотрим отдельно последовательности числителей и знаменателей. Числители: 0, 2, 4, 6, ... — это арифметическая прогрессия с первым членом $N_1 = 0$ и разностью $d=2$. Формула n-го члена этой прогрессии: $N_n = N_1 + (n-1)d = 0 + (n-1)2 = 2(n-1)$. Знаменатели: 1, 5, 25, 125, ... — это геометрическая прогрессия с первым членом $D_1 = 1$ и знаменателем $q=5$. Формула n-го члена этой прогрессии: $D_n = D_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$. Объединив формулы для числителя и знаменателя, получаем формулу общего члена исходной последовательности: $a_n = \frac{2(n-1)}{5^{n-1}}$. Найдем следующие два члена последовательности: $a_5 = \frac{2(5-1)}{5^{5-1}} = \frac{2 \cdot 4}{5^4} = \frac{8}{625}$. $a_6 = \frac{2(6-1)}{5^{6-1}} = \frac{2 \cdot 5}{5^5} = \frac{10}{3125}$.
Ответ: формула общего члена $a_n = \frac{2(n-1)}{5^{n-1}}$; следующие два члена: $\frac{8}{625}$ и $\frac{10}{3125}$.

4) Дана последовательность: $2; 0; 2; 0; \dots$. Это периодическая (колеблющаяся) последовательность, в которой чередуются два значения: 2 и 0. Члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, \dots$) равны 2, а члены с четными номерами ($a_2, a_4, \dots$) равны 0. Чтобы задать такую последовательность одной формулой, можно использовать свойство выражения $(-1)^k$, которое равно 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$. Рассмотрим выражение $1 + (-1)^{n-1}$: - Если $n$ — нечетное число, то $n-1$ — четное, и $(-1)^{n-1} = 1$. Выражение равно $1+1=2$. - Если $n$ — четное число, то $n-1$ — нечетное, и $(-1)^{n-1} = -1$. Выражение равно $1-1=0$. Это в точности соответствует нашей последовательности. Таким образом, формула общего члена: $a_n = 1 + (-1)^{n-1}$. Следующие два члена легко определить, продолжая чередование: Пятый член ($n=5$, нечетное) будет равен 2. Шестой член ($n=6$, четное) будет равен 0.
Ответ: формула общего члена $a_n = 1 + (-1)^{n-1}$; следующие два члена: 2 и 0.