Номер 1.146, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.146. Запишите формулу общего члена и следующие 2 члена последовательности:

1) 1; -2; 4; -8; ... ;

2) 1; 1; $ \frac{9}{5} $; $ \frac{7}{27} $; ... ;

3) 0; $ \frac{2}{5} $; $ \frac{4}{25} $; $ \frac{6}{125} $; ... ;

4) 2; 0; 2; 0; ... .

1) Дана последовательность: $1; -2; 4; -8; \dots$. Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-2}{1} = -2$. Проверим для следующих членов: $\frac{a_3}{a_2} = \frac{4}{-2} = -2$, $\frac{a_4}{a_3} = \frac{-8}{4} = -2$. Первый член прогрессии $a_1 = 1$. Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив значения $a_1=1$ и $q=-2$, получим формулу для данной последовательности: $a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$. Чтобы найти следующие два члена, нужно продолжить последовательность. Четвертый член $a_4 = -8$. Пятый член: $a_5 = a_4 \cdot q = -8 \cdot (-2) = 16$. Шестой член: $a_6 = a_5 \cdot q = 16 \cdot (-2) = -32$.
Ответ: формула общего члена $a_n = (-2)^{n-1}$; следующие два члена: 16 и -32.

2) Дана последовательность: $1; 1; \frac{9}{5}; \frac{7}{27}; \dots$. Найти простую закономерность в этой последовательности в исходном виде затруднительно. Весьма вероятно, что в условии задачи допущена опечатка в третьем члене. Если предположить, что третий член должен быть обратной дробью, то есть $\frac{5}{9}$ вместо $\frac{9}{5}$, то последовательность принимает вид: $1; 1; \frac{5}{9}; \frac{7}{27}; \dots$. Рассмотрим эту исправленную последовательность. Обозначим n-й член как $a_n$ и проанализируем числители и знаменатели отдельно. $a_1 = 1 = \frac{1}{1}$, $a_2 = 1 = \frac{3}{3}$, $a_3 = \frac{5}{9}$, $a_4 = \frac{7}{27}$. Числители: 1, 3, 5, 7, ... — это последовательность нечетных чисел, то есть арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2. Формула для n-го числителя: $N_n = 2n-1$. Знаменатели: 1, 3, 9, 27, ... — это степени числа 3, то есть геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 3. Формула для n-го знаменателя: $D_n = 3^{n-1}$. Таким образом, формула общего члена (при условии исправления опечатки) имеет вид: $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$. Найдем следующие два члена по этой формуле: $a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{3^{5-1}} = \frac{9}{3^4} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$. $a_6 = \frac{2 \cdot 6 - 1}{3^{6-1}} = \frac{11}{3^5} = \frac{11}{243}$.
Ответ: предполагая, что третий член должен быть $\frac{5}{9}$, формула общего члена $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$; следующие два члена: $\frac{1}{9}$ и $\frac{11}{243}$.

3) Дана последовательность: $0; \frac{2}{5}; \frac{4}{25}; \frac{6}{125}; \dots$. Представим первый член в виде дроби $a_1 = 0 = \frac{0}{1}$. Тогда последовательность имеет вид: $\frac{0}{1}; \frac{2}{5}; \frac{4}{25}; \frac{6}{125}; \dots$. Рассмотрим отдельно последовательности числителей и знаменателей. Числители: 0, 2, 4, 6, ... — это арифметическая прогрессия с первым членом $N_1 = 0$ и разностью $d=2$. Формула n-го члена этой прогрессии: $N_n = N_1 + (n-1)d = 0 + (n-1)2 = 2(n-1)$. Знаменатели: 1, 5, 25, 125, ... — это геометрическая прогрессия с первым членом $D_1 = 1$ и знаменателем $q=5$. Формула n-го члена этой прогрессии: $D_n = D_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$. Объединив формулы для числителя и знаменателя, получаем формулу общего члена исходной последовательности: $a_n = \frac{2(n-1)}{5^{n-1}}$. Найдем следующие два члена последовательности: $a_5 = \frac{2(5-1)}{5^{5-1}} = \frac{2 \cdot 4}{5^4} = \frac{8}{625}$. $a_6 = \frac{2(6-1)}{5^{6-1}} = \frac{2 \cdot 5}{5^5} = \frac{10}{3125}$.
Ответ: формула общего члена $a_n = \frac{2(n-1)}{5^{n-1}}$; следующие два члена: $\frac{8}{625}$ и $\frac{10}{3125}$.

4) Дана последовательность: $2; 0; 2; 0; \dots$. Это периодическая (колеблющаяся) последовательность, в которой чередуются два значения: 2 и 0. Члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, \dots$) равны 2, а члены с четными номерами ($a_2, a_4, \dots$) равны 0. Чтобы задать такую последовательность одной формулой, можно использовать свойство выражения $(-1)^k$, которое равно 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$. Рассмотрим выражение $1 + (-1)^{n-1}$: - Если $n$ — нечетное число, то $n-1$ — четное, и $(-1)^{n-1} = 1$. Выражение равно $1+1=2$. - Если $n$ — четное число, то $n-1$ — нечетное, и $(-1)^{n-1} = -1$. Выражение равно $1-1=0$. Это в точности соответствует нашей последовательности. Таким образом, формула общего члена: $a_n = 1 + (-1)^{n-1}$. Следующие два члена легко определить, продолжая чередование: Пятый член ($n=5$, нечетное) будет равен 2. Шестой член ($n=6$, четное) будет равен 0.
Ответ: формула общего члена $a_n = 1 + (-1)^{n-1}$; следующие два члена: 2 и 0.