Вопросы, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

?

1. Можно ли прибавлять (вычитать) любые числа, записанные в стандартном виде? Приведите пример.

2. При каких условиях можно прибавлять (вычитать) числа, записанные в стандартном виде?

3. Что называется абсолютной погрешностью?

4. Что называется относительной погрешностью?

5. Как можно повысить качество результатов измерения?

6. По какому принципу выбирают количество значащих цифр после запятой в стандартном виде числа? Приведите пример.

ПЗ

Измерьте длину и ширину поверхности парты, за которой вы сидите, с точностью до 1 мм и вычислите площадь поверхности парты в $мм^2$. Запишите результат вычисления в стандартном виде, оставляя после запятой 1, 2 и 3 значащие цифры. Для каждого приближения, записанного в стандартном виде, найдите абсолютную и относительную погрешность.

1. Можно ли прибавлять (вычитать) любые числа, записанные в стандартном виде? Приведите пример.

Нет, напрямую прибавлять (вычитать) можно не любые числа, записанные в стандартном виде. Прямое сложение или вычитание мантисс (множителя перед степенью десяти) возможно только в том случае, если у чисел одинаковый порядок, то есть одинаковый показатель степени у основания 10. Если порядки чисел различны, их необходимо сначала привести к одному порядку.

Пример:

Нужно сложить числа $A = 4.5 \times 10^3$ и $B = 2.1 \times 10^2$.
Неправильно: $4.5 + 2.1 = 6.6$, результат $6.6 \times 10^?$. Этот подход не работает.

Правильно: Сначала приведем оба числа к одному порядку. Например, к большему порядку ($10^3$).
$B = 2.1 \times 10^2 = 0.21 \times 10^3$.
Теперь можно складывать:
$A + B = 4.5 \times 10^3 + 0.21 \times 10^3 = (4.5 + 0.21) \times 10^3 = 4.71 \times 10^3$.

Или приведем к меньшему порядку ($10^2$):
$A = 4.5 \times 10^3 = 45 \times 10^2$.
$A + B = 45 \times 10^2 + 2.1 \times 10^2 = (45 + 2.1) \times 10^2 = 47.1 \times 10^2 = 4.71 \times 10^3$.
Результат в обоих случаях одинаковый.

Ответ: Нет, напрямую прибавлять (вычитать) числа в стандартном виде можно только после приведения их к одному порядку (одинаковой степени десяти).

2. При каких условиях можно прибавлять (вычитать) числа, записанные в стандартном виде?

Прибавлять (вычитать) числа, записанные в стандартном виде $a \times 10^n$, можно путем сложения (вычитания) их мантисс $a$, только если их порядки $n$ равны. Формула для сложения выглядит так: $a \times 10^n + b \times 10^n = (a + b) \times 10^n$.

Ответ: Условие, при котором можно прибавлять (вычитать) числа в стандартном виде, — это равенство их порядков (показателей степени у основания 10).

3. Что называется абсолютной погрешностью?

Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) приближенного значения называется модуль разности между точным значением величины и её приближенным значением. Если $x$ — точное значение, а $x_a$ — приближенное, то абсолютная погрешность $\Delta x$ вычисляется по формуле: $\Delta x = |x - x_a|$.

Ответ: Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближенным значением величины.

4. Что называется относительной погрешностью?

Относительной погрешностью (или относительной ошибкой) называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения величины. Относительную погрешность часто выражают в процентах. Если $x$ — точное значение, а $\Delta x$ — абсолютная погрешность, то относительная погрешность $\varepsilon$ вычисляется по формуле: $\varepsilon = \frac{\Delta x}{|x|}$. Поскольку точное значение $x$ часто неизвестно, на практике его заменяют приближенным значением $x_a$: $\varepsilon \approx \frac{\Delta x}{|x_a|}$.

Ответ: Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного (или, в некоторых случаях, приближенного) значения величины.

5. Как можно повысить качество результатов измерения?

Качество результатов измерения можно повысить несколькими способами:

• Использование более точных измерительных приборов (например, с меньшей ценой деления).
• Многократное повторение измерений с последующим усреднением результатов. Это позволяет уменьшить влияние случайных погрешностей.
• Контроль и стабилизация условий проведения измерений (температуры, влажности, давления и т.д.), чтобы минимизировать систематические погрешности.
• Правильное использование методики измерения и устранение личных ошибок экспериментатора (например, ошибки параллакса).
• Периодическая проверка и калибровка измерительных приборов.

Ответ: Повысить качество измерений можно за счет использования более точных приборов, многократного повторения измерений с усреднением, контроля условий и правильного применения методик.

6. По какому принципу выбирают количество значащих цифр после запятой в стандартном виде числа? Приведите пример.

Количество значащих цифр в результате вычислений определяется точностью исходных данных (измерений). Результат не должен быть более точным, чем наименее точное из использованных значений. Принцип выбора количества значащих цифр зависит от математической операции:

• При умножении и делении результат должен содержать столько значащих цифр, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством значащих цифр.
• При сложении и вычитании результат должен содержать столько знаков после запятой, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством знаков после запятой.

В стандартном виде числа $a \times 10^n$ количество значащих цифр определяется количеством значащих цифр в мантиссе $a$. Количество цифр после запятой в мантиссе выбирается таким образом, чтобы общее количество значащих цифр соответствовало указанным правилам.

Пример:

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с размерами $l = 12.5$ см (3 значащие цифры), $w = 4.2$ см (2 значащие цифры), $h = 3.16$ см (3 значащие цифры).
$V = l \times w \times h = 12.5 \times 4.2 \times 3.16 = 165.9$ см³.
Наименьшее количество значащих цифр в исходных данных — две (у ширины $w = 4.2$ см). Следовательно, результат нужно округлить до двух значащих цифр.
$V \approx 170$ см³.
В стандартном виде это записывается как $1.7 \times 10^2$ см³. Мантисса $1.7$ имеет две значащие цифры.

Ответ: Количество значащих цифр выбирается исходя из точности исходных данных, чтобы результат вычислений не был представлен с большей точностью, чем у наименее точного из начальных значений.

ПЗ

Поскольку реальные измерения поверхности парты невозможны, примем для расчетов следующие гипотетические значения длины и ширины, как если бы они были измерены с точностью до 1 мм:

• Длина $l = 1235$ мм
• Ширина $w = 542$ мм

Вычислим "точное" значение площади поверхности парты:

$S = l \times w = 1235 \text{ мм} \times 542 \text{ мм} = 669370 \text{ мм}^2$.

В стандартном виде: $S = 6.6937 \times 10^5 \text{ мм}^2$. Это значение мы будем использовать как точное ($x$) для расчета погрешностей.

Приближение с 1 значащей цифрой после запятой в стандартном виде:

Округляем мантиссу $6.6937$ до одной цифры после запятой: $6.7$.
Приближенное значение площади $S_1 = 6.7 \times 10^5 \text{ мм}^2 = 670000 \text{ мм}^2$.
Абсолютная погрешность: $\Delta S_1 = |S - S_1| = |669370 - 670000| = |-630| = 630 \text{ мм}^2$.
Относительная погрешность: $\varepsilon_1 = \frac{\Delta S_1}{|S|} = \frac{630}{669370} \approx 0.000941 \approx 0.094\%$.

Ответ: $S_1 = 6.7 \times 10^5 \text{ мм}^2$; абсолютная погрешность $\Delta S_1 = 630 \text{ мм}^2$; относительная погрешность $\varepsilon_1 \approx 0.094\%$.

Приближение с 2 значащими цифрами после запятой в стандартном виде:

Округляем мантиссу $6.6937$ до двух цифр после запятой: $6.69$.
Приближенное значение площади $S_2 = 6.69 \times 10^5 \text{ мм}^2 = 669000 \text{ мм}^2$.
Абсолютная погрешность: $\Delta S_2 = |S - S_2| = |669370 - 669000| = 370 \text{ мм}^2$.
Относительная погрешность: $\varepsilon_2 = \frac{\Delta S_2}{|S|} = \frac{370}{669370} \approx 0.000553 \approx 0.055\%$.

Ответ: $S_2 = 6.69 \times 10^5 \text{ мм}^2$; абсолютная погрешность $\Delta S_2 = 370 \text{ мм}^2$; относительная погрешность $\varepsilon_2 \approx 0.055\%$.

Приближение с 3 значащими цифрами после запятой в стандартном виде:

Округляем мантиссу $6.6937$ до трех цифр после запятой: $6.694$.
Приближенное значение площади $S_3 = 6.694 \times 10^5 \text{ мм}^2 = 669400 \text{ мм}^2$.
Абсолютная погрешность: $\Delta S_3 = |S - S_3| = |669370 - 669400| = |-30| = 30 \text{ мм}^2$.
Относительная погрешность: $\varepsilon_3 = \frac{\Delta S_3}{|S|} = \frac{30}{669370} \approx 0.0000448 \approx 0.0045\%$.

Ответ: $S_3 = 6.694 \times 10^5 \text{ мм}^2$; абсолютная погрешность $\Delta S_3 = 30 \text{ мм}^2$; относительная погрешность $\varepsilon_3 \approx 0.0045\%$.