Номер 1.144, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.144. Запишите формулу общего члена последовательностей, заданных в упражнении 1.133.

а) Последовательность натуральных чисел, кратных 5.

Первые члены этой последовательности: 5, 10, 15, 20, 25, ... . Мы видим, что каждый член последовательности получается умножением его номера $n$ на 5. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 5$.

Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения для данной последовательности:

$a_n = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$.

Таким образом, формула общего члена: $a_n = 5n$.

Ответ: $a_n = 5n$.

б) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 2.

Такие числа можно представить в виде $7k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$). Номер члена последовательности $n$ начинается с 1, поэтому мы можем связать $n$ и $k$ как $k = n-1$.

Первые члены последовательности:

$a_1 = 7 \cdot (1-1) + 2 = 7 \cdot 0 + 2 = 2$

$a_2 = 7 \cdot (2-1) + 2 = 7 \cdot 1 + 2 = 9$

$a_3 = 7 \cdot (3-1) + 2 = 7 \cdot 2 + 2 = 16$

Последовательность 2, 9, 16, 23, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 7$.

Используя формулу общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 7 = 2 + 7n - 7 = 7n - 5$.

Ответ: $a_n = 7n - 5$.

в) Последовательность натуральных чисел, являющихся кубами нечетных чисел.

Последовательность нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, ... Формула для $n$-го нечетного числа — $2n-1$.

Члены искомой последовательности являются кубами соответствующих нечетных чисел:

$a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$

$a_2 = (2 \cdot 2 - 1)^3 = 3^3 = 27$

$a_3 = (2 \cdot 3 - 1)^3 = 5^3 = 125$

Следовательно, формула общего члена искомой последовательности: $a_n = (2n-1)^3$.

Ответ: $a_n = (2n-1)^3$.

г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 1.

Такие числа можно представить в виде $13k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$). Свяжем номер члена последовательности $n$ и $k$ как $k = n-1$.

Первые члены последовательности:

$a_1 = 13 \cdot (1-1) + 1 = 13 \cdot 0 + 1 = 1$

$a_2 = 13 \cdot (2-1) + 1 = 13 \cdot 1 + 1 = 14$

$a_3 = 13 \cdot (3-1) + 1 = 13 \cdot 2 + 1 = 27$

Последовательность 1, 14, 27, 40, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 13$.

Используя формулу общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 13 = 1 + 13n - 13 = 13n - 12$.

Ответ: $a_n = 13n - 12$.