Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.171. На весах с точностью до 5 г взвесили 2 кг сахара и 5 кг муки. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности в процентах.

Для того чтобы сравнить качество двух измерений, необходимо вычислить их относительные погрешности. Качество измерения считается тем выше, чем меньше его относительная погрешность.

Относительная погрешность ($ \delta $) находится как отношение абсолютной погрешности ($ \Delta $) к модулю измеренной величины ($ a $), и для выражения в процентах результат умножается на 100%.

Формула для расчета: $ \delta = \frac{\Delta}{|a|} \cdot 100\% $

Из условия задачи известно:

• Абсолютная погрешность весов: $ \Delta = 5 $ г.
• Масса сахара: $ a_1 = 2 $ кг.
• Масса муки: $ a_2 = 5 $ кг.

Для проведения расчетов необходимо привести все величины к единой единице измерения, например, к граммам.

$ a_1 = 2 \text{ кг} = 2 \cdot 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г} $

$ a_2 = 5 \text{ кг} = 5 \cdot 1000 \text{ г} = 5000 \text{ г} $

Оценка относительной погрешности для сахара

Вычислим относительную погрешность для измерения массы сахара ($ \delta_1 $):

$ \delta_1 = \frac{5 \text{ г}}{2000 \text{ г}} \cdot 100\% = 0.0025 \cdot 100\% = 0.25\% $

Ответ: относительная погрешность взвешивания сахара составляет 0,25%.

Оценка относительной погрешности для муки

Вычислим относительную погрешность для измерения массы муки ($ \delta_2 $):

$ \delta_2 = \frac{5 \text{ г}}{5000 \text{ г}} \cdot 100\% = 0.001 \cdot 100\% = 0.1\% $

Ответ: относительная погрешность взвешивания муки составляет 0,1%.

Сравнение качества измерений

Теперь сравним полученные значения относительных погрешностей:

$ \delta_1 = 0.25\% $ (для сахара)

$ \delta_2 = 0.1\% $ (для муки)

Поскольку $ 0.1\% < 0.25\% $, относительная погрешность при взвешивании муки меньше.

Ответ: качество взвешивания 5 кг муки выше, чем качество взвешивания 2 кг сахара, так как относительная погрешность измерения массы муки ($0,1\%$) меньше относительной погрешности измерения массы сахара ($0,25\%$).

1.172. Округлите число до десятков и оцените относительную погрешность приближенного значения в процентах:

1) 48,8;

2) 2738.

1) Для числа 48,8:

Сначала округлим число 48,8 до десятков. В разряде десятков стоит цифра 4, а справа от нее – цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то разряд десятков увеличиваем на 1, а цифры в последующих разрядах заменяем нулями.

Приближенное значение $a = 50$.

Далее найдем абсолютную погрешность приближения. Абсолютная погрешность $\Delta a$ – это модуль разности точного значения $x$ и приближенного значения $a$.

$\Delta a = |x - a| = |48,8 - 50| = |-1,2| = 1,2$.

Теперь оценим относительную погрешность. Относительная погрешность $\delta$ – это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения.

$\delta = \frac{\Delta a}{|x|} = \frac{1,2}{|48,8|} = \frac{1,2}{48,8}$.

Чтобы выразить относительную погрешность в процентах, нужно умножить полученное значение на 100%.

$\delta (\%) = \frac{1,2}{48,8} \times 100\% \approx 0,02459 \times 100\% \approx 2,46\%$.

Ответ: приближенное значение – 50, относительная погрешность $\approx 2,46\%$.

2) Для числа 2738:

Сначала округлим число 2738 до десятков. В разряде десятков стоит цифра 3, а справа от нее – цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то разряд десятков увеличиваем на 1, а цифру в разряде единиц заменяем нулем.

Приближенное значение $a = 2740$.

Далее найдем абсолютную погрешность приближения.

$\Delta a = |x - a| = |2738 - 2740| = |-2| = 2$.

Теперь оценим относительную погрешность.

$\delta = \frac{\Delta a}{|x|} = \frac{2}{|2738|} = \frac{2}{2738}$.

Выразим относительную погрешность в процентах.

$\delta (\%) = \frac{2}{2738} \times 100\% \approx 0,00073046 \times 100\% \approx 0,073\%$.

Ответ: приближенное значение – 2740, относительная погрешность $\approx 0,073\%$.

1.173. В сумме $\frac{2}{3}+\frac{7}{9}$ каждое слагаемое представили в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой и выполнили сложение. Найдите абсолютные погрешности приближенных значений слагаемых и суммы.

В данной задаче необходимо для суммы $ \frac{2}{3} + \frac{7}{9} $ найти абсолютные погрешности приближенных значений слагаемых и суммы. Для этого сначала каждое слагаемое представляется в виде десятичной дроби, округленной до одного знака после запятой.

1. Преобразуем слагаемые в десятичные дроби и округлим их до десятых:

Первое слагаемое: $ \frac{2}{3} = 0.666... \approx 0.7 $

Второе слагаемое: $ \frac{7}{9} = 0.777... \approx 0.8 $

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением величины и её приближенным значением: $ \Delta = |x_{точное} - x_{приближенное}| $.

Абсолютная погрешность приближенного значения первого слагаемого

Точное значение: $ \frac{2}{3} $. Приближенное значение: $ 0.7 $.

Найдем абсолютную погрешность:

$ \Delta_1 = |\frac{2}{3} - 0.7| = |\frac{2}{3} - \frac{7}{10}| = |\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3}| = |\frac{20}{30} - \frac{21}{30}| = |-\frac{1}{30}| = \frac{1}{30} $

Ответ: абсолютная погрешность первого слагаемого равна $ \frac{1}{30} $.

Абсолютная погрешность приближенного значения второго слагаемого

Точное значение: $ \frac{7}{9} $. Приближенное значение: $ 0.8 $.

Найдем абсолютную погрешность:

$ \Delta_2 = |\frac{7}{9} - 0.8| = |\frac{7}{9} - \frac{8}{10}| = |\frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} - \frac{8 \cdot 9}{10 \cdot 9}| = |\frac{70}{90} - \frac{72}{90}| = |-\frac{2}{90}| = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} $

Ответ: абсолютная погрешность второго слагаемого равна $ \frac{1}{45} $.

Абсолютная погрешность приближенного значения суммы

Сначала найдем точное значение суммы:

$ S_{точное} = \frac{2}{3} + \frac{7}{9} = \frac{6}{9} + \frac{7}{9} = \frac{13}{9} $

Теперь найдем приближенное значение суммы, сложив округленные слагаемые:

$ S_{приближенное} = 0.7 + 0.8 = 1.5 $

Найдем абсолютную погрешность суммы:

$ \Delta_{сумма} = |S_{точное} - S_{приближенное}| = |\frac{13}{9} - 1.5| = |\frac{13}{9} - \frac{3}{2}| = |\frac{13 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9}| = |\frac{26}{18} - \frac{27}{18}| = |-\frac{1}{18}| = \frac{1}{18} $

Ответ: абсолютная погрешность суммы равна $ \frac{1}{18} $.

1.174. Докажите, что среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ является приближенным значением любого из этих чисел с точностью до их полуразности по абсолютной величине.

Пусть даны два числа, a и b. Их среднее арифметическое, которое мы обозначим как m, вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

Полуразность этих чисел по абсолютной величине, которую мы обозначим как $\epsilon$, равна $\epsilon = \frac{|a-b|}{2}$.

По определению, некоторое число x̃ является приближенным значением числа x с точностью до $\epsilon$, если абсолютная погрешность их разности не превышает $\epsilon$, то есть $|x - \tilde{x}| \le \epsilon$.

В нашей задаче требуется доказать, что m является приближенным значением как для a, так и для b с точностью до $\epsilon$. Для этого необходимо показать, что абсолютная погрешность не превышает $\epsilon$ в обоих случаях.

Рассмотрим приближение для числа a.

Найдем модуль разности между числом a и средним арифметическим m:

$|a - m| = |a - \frac{a+b}{2}|$

Приведем выражение в модуле к общему знаменателю:

$|a - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2a}{2} - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2a - (a+b)}{2}| = |\frac{2a - a - b}{2}| = |\frac{a-b}{2}|$

Используя свойство модуля, получаем: $|\frac{a-b}{2}| = \frac{|a-b|}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $|a - m| = \frac{|a-b|}{2}$. Это в точности равно значению $\epsilon$. Так как равенство является частным случаем неравенства "меньше или равно", условие $|a - m| \le \epsilon$ выполняется.

Рассмотрим приближение для числа b.

Аналогично найдем модуль разности между числом b и средним арифметическим m:

$|b - m| = |b - \frac{a+b}{2}|$

Приведем выражение в модуле к общему знаменателю:

$|b - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2b}{2} - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2b - (a+b)}{2}| = |\frac{2b - a - b}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$

Используя свойство модуля, получаем: $|\frac{b-a}{2}| = \frac{|b-a|}{2}$.

Поскольку $|b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$, мы можем записать: $\frac{|b-a|}{2} = \frac{|a-b|}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $|b - m| = \frac{|a-b|}{2}$. Это также в точности равно значению $\epsilon$, и условие $|b - m| \le \epsilon$ выполняется.

Оба случая доказаны. Следовательно, среднее арифметическое чисел a и b действительно является приближенным значением любого из этих чисел с точностью до их полуразности по абсолютной величине.

Ответ: Утверждение доказано. Абсолютная погрешность приближения среднего арифметического $\frac{a+b}{2}$ как для числа a, так и для числа b, в точности равна их полуразности по абсолютной величине $\frac{|a-b|}{2}$.

1.175. Земной шар совершает полный оборот вокруг Солнца за 365,24 суток. Эти данные переведите в часы и результат запишите в стандартном виде так, чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%.

Сначала переведем данный период времени из суток в часы. В одних сутках 24 часа, поэтому точное значение периода обращения Земли в часах равно:
$T_{точное} = 365.24 \text{ суток} \times 24 \frac{\text{часов}}{\text{сутки}} = 8765.76 \text{ часов}$

Теперь необходимо записать это число в стандартном виде ($a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$) и округлить так, чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%.
В стандартном виде точное значение равно:
$T_{точное} = 8.76576 \times 10^3$ часов.

Относительная погрешность $\epsilon$ вычисляется по формуле $\epsilon = \frac{|T_{прибл} - T_{точное}|}{T_{точное}}$. По условию должно выполняться неравенство $\epsilon \le 0.1\%$, то есть $\epsilon \le 0.001$.

Округлим мантиссу $8.76576$ до двух знаков после запятой (до трех значащих цифр), чтобы получить приближенное значение $T_{прибл}$:
$T_{прибл} = 8.77 \times 10^3$ часов.
Это соответствует значению $8770$ часов.

Проверим относительную погрешность для данного приближения. Сначала найдем абсолютную погрешность:
$|\Delta T| = |T_{прибл} - T_{точное}| = |8770 - 8765.76| = 4.24$ часа.
Теперь вычислим относительную погрешность:
$\epsilon = \frac{4.24}{8765.76} \approx 0.0004837$.
В процентах это составляет $\epsilon \approx 0.0004837 \times 100\% \approx 0.048\%$.

Так как полученная погрешность $0.048\%$ меньше требуемой $0.1\%$, данное округление удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $8.77 \times 10^3$ часов.

1.176. В Солнечной системе Юпитер является самой большой планетой. В среднем его диаметр составляет 142800 км. Эти данные переведите в метры и результат запишите в стандартном виде так, чтобы относительная погрешность не превышала:

1) $1\%$

2) $0.1\%$

Для решения задачи сначала переведем средний диаметр Юпитера из километров в метры. Затем для каждого случая определим, до какого значащего знака нужно округлить полученное значение, чтобы удовлетворить условию по относительной погрешности.

Исходное значение диаметра: $D_{исх} = 142800 \text{ км}$.

Переводим в метры, зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$:

$D = 142800 \text{ км} \times 1000 \frac{\text{м}}{\text{км}} = 142800000 \text{ м}$.

Запишем это значение в стандартном виде (в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$). Будем считать это значение точным для дальнейших расчетов.

$D = 1.428 \times 10^8 \text{ м}$.

Относительная погрешность $\epsilon$ вычисляется по формуле: $\epsilon = \frac{|\Delta D|}{D} = \frac{|D - D_{окр}|}{D}$, где $D$ - точное значение, а $D_{окр}$ - округленное значение.

1) Относительная погрешность не превышает 1%

Условие: $\epsilon \le 1\%$, или $\epsilon \le 0.01$.

Нам нужно найти такое округленное значение $D_{окр}$, чтобы выполнялось неравенство: $\frac{|1.428 \times 10^8 - D_{окр}|}{1.428 \times 10^8} \le 0.01$.

Проверим округление до разного числа значащих цифр.

а) Округлим до двух значащих цифр: $D_{окр, 2} = 1.4 \times 10^8 \text{ м}$.
Вычислим относительную погрешность:
$\epsilon_2 = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.4 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.028 \times 10^8}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.028}{1.428} \approx 0.0196$.
В процентах это составляет $0.0196 \times 100\% = 1.96\%$.
Так как $1.96\% > 1\%$, данная точность недостаточна.

б) Округлим до трех значащих цифр: $D_{окр, 3} = 1.43 \times 10^8 \text{ м}$.
Вычислим относительную погрешность:
$\epsilon_3 = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.43 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{|-0.002 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.002}{1.428} \approx 0.0014$.
В процентах это составляет $0.0014 \times 100\% = 0.14\%$.
Так как $0.14\% < 1\%$, данная точность удовлетворяет условию. Таким образом, результат следует записать с тремя значащими цифрами.

Ответ: $1.43 \times 10^8 \text{ м}$.

2) Относительная погрешность не превышает 0,1%

Условие: $\epsilon \le 0.1\%$, или $\epsilon \le 0.001$.

Нам нужно найти такое округленное значение $D_{окр}$, чтобы выполнялось неравенство: $\frac{|1.428 \times 10^8 - D_{окр}|}{1.428 \times 10^8} \le 0.001$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что при округлении до трех значащих цифр относительная погрешность составляет $\epsilon_3 \approx 0.14\%$.
Так как $0.14\% > 0.1\%$, округление до трех значащих цифр не обеспечивает требуемую точность.

Проверим округление до четырех значащих цифр. Это соответствует исходному числу значащих цифр в данных (142800 км имеет 4 значащие цифры, так как нули в конце целого числа обычно не считаются значащими, если не указано иное).
$D_{окр, 4} = 1.428 \times 10^8 \text{ м}$.
Вычислим относительную погрешность. В данном случае ошибка округления равна нулю, так как мы используем все имеющиеся значащие цифры.
$\epsilon_4 = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.428 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0}{1.428 \times 10^8} = 0$.
Так как $0 < 0.1\%$, данная точность удовлетворяет условию. Таким образом, результат следует записать с четырьмя значащими цифрами.

Ответ: $1.428 \times 10^8 \text{ м}$.

1.177. На приборе указано, что граница относительной погрешности измерения равна 0,1%. В результате измерения значения некоторой величины получили 487. С какой точностью произведено измерение?

Точность измерения характеризуется его абсолютной погрешностью. Обозначим измеренное значение величины как $A$, абсолютную погрешность как $\Delta A$, и относительную погрешность как $\delta$.

Относительная погрешность по определению равна отношению абсолютной погрешности к измеренному значению (или к истинному значению, но в расчетах погрешностей обычно используют измеренное):

$\delta = \frac{\Delta A}{A}$

Вопрос "С какой точностью произведено измерение?" требует найти значение абсолютной погрешности $\Delta A$. Выразим ее из приведенной выше формулы:

$\Delta A = \delta \cdot A$

По условию задачи нам известны:

Измеренное значение величины: $A = 487$.
Граница относительной погрешности: $\delta = 0.1\%$.

Для того чтобы использовать эту величину в расчетах, переведем ее из процентов в безразмерную десятичную дробь:

$\delta = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$

Теперь мы можем вычислить абсолютную погрешность, подставив известные значения в формулу:

$\Delta A = 0.001 \cdot 487 = 0.487$

Таким образом, абсолютная погрешность измерения составляет $0.487$. Это означает, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале $487 \pm 0.487$.

Ответ: Точность измерения составляет $0.487$.