Номер 1.174, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.174. Докажите, что среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ является приближенным значением любого из этих чисел с точностью до их полуразности по абсолютной величине.

Пусть даны два числа, a и b. Их среднее арифметическое, которое мы обозначим как m, вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

Полуразность этих чисел по абсолютной величине, которую мы обозначим как $\epsilon$, равна $\epsilon = \frac{|a-b|}{2}$.

По определению, некоторое число x̃ является приближенным значением числа x с точностью до $\epsilon$, если абсолютная погрешность их разности не превышает $\epsilon$, то есть $|x - \tilde{x}| \le \epsilon$.

В нашей задаче требуется доказать, что m является приближенным значением как для a, так и для b с точностью до $\epsilon$. Для этого необходимо показать, что абсолютная погрешность не превышает $\epsilon$ в обоих случаях.

Рассмотрим приближение для числа a.

Найдем модуль разности между числом a и средним арифметическим m:

$|a - m| = |a - \frac{a+b}{2}|$

Приведем выражение в модуле к общему знаменателю:

$|a - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2a}{2} - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2a - (a+b)}{2}| = |\frac{2a - a - b}{2}| = |\frac{a-b}{2}|$

Используя свойство модуля, получаем: $|\frac{a-b}{2}| = \frac{|a-b|}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $|a - m| = \frac{|a-b|}{2}$. Это в точности равно значению $\epsilon$. Так как равенство является частным случаем неравенства "меньше или равно", условие $|a - m| \le \epsilon$ выполняется.

Рассмотрим приближение для числа b.

Аналогично найдем модуль разности между числом b и средним арифметическим m:

$|b - m| = |b - \frac{a+b}{2}|$

Приведем выражение в модуле к общему знаменателю:

$|b - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2b}{2} - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2b - (a+b)}{2}| = |\frac{2b - a - b}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$

Используя свойство модуля, получаем: $|\frac{b-a}{2}| = \frac{|b-a|}{2}$.

Поскольку $|b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$, мы можем записать: $\frac{|b-a|}{2} = \frac{|a-b|}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $|b - m| = \frac{|a-b|}{2}$. Это также в точности равно значению $\epsilon$, и условие $|b - m| \le \epsilon$ выполняется.

Оба случая доказаны. Следовательно, среднее арифметическое чисел a и b действительно является приближенным значением любого из этих чисел с точностью до их полуразности по абсолютной величине.

Ответ: Утверждение доказано. Абсолютная погрешность приближения среднего арифметического $\frac{a+b}{2}$ как для числа a, так и для числа b, в точности равна их полуразности по абсолютной величине $\frac{|a-b|}{2}$.