Номер 1.178, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.178. При 0 < a < 1 часто используется формула $(1+a)^2 \approx 1+2a$. Какова абсолютная погрешность приближенного значения, найденного по этой формуле? С помощью этой формулы найдите приближенные значения данного выражения и, используя калькулятор, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

1) $(1+0,001)^2$;

2) $1,05^2$;

3) $1,002^2$;

4) $0,999^2$.

Для нахождения абсолютной погрешности приближенного значения, найденного по формуле $(1+a)^2 \approx 1+2a$, необходимо найти модуль разности между точным значением $(1+a)^2$ и приближенным значением $1+2a$.

Точное значение: $(1+a)^2$. Используя формулу квадрата суммы, получаем: $(1+a)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1+2a+a^2$.

Приближенное значение: $1+2a$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$) вычисляется как:$\Delta = |\text{Точное значение} - \text{Приближенное значение}| = |(1+2a+a^2) - (1+2a)| = |a^2|$.Так как $a$ является действительным числом, $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$). Следовательно, $|a^2| = a^2$.Таким образом, абсолютная погрешность данной формулы равна $a^2$.

Теперь найдем приближенные значения для данных выражений и вычислим абсолютную и относительную погрешности.

1) (1+0,001)²

В данном выражении $a = 0,001$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$(1+0,001)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,001 = 1 + 0,002 = 1,002$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$(1,001)^2 = 1,002001$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |1,002001 - 1,002| = 0,000001$. (Что соответствует $a^2 = (0,001)^2 = 0,000001$).Относительная погрешность ($\delta$):$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,000001}{1,002001} \approx 0,000000998$.
Ответ: приближенное значение $1,002$; абсолютная погрешность $0,000001$; относительная погрешность $\approx 0,000000998$.

2) 1,05²

Представим выражение как $(1+a)^2$: $1,05^2 = (1+0,05)^2$. Следовательно, $a = 0,05$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$1,05^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,05 = 1 + 0,1 = 1,1$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$1,05^2 = 1,1025$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |1,1025 - 1,1| = 0,0025$. (Что соответствует $a^2 = (0,05)^2 = 0,0025$).Относительная погрешность:$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,0025}{1,1025} \approx 0,00226757... \approx 0,00227$.
Ответ: приближенное значение $1,1$; абсолютная погрешность $0,0025$; относительная погрешность $\approx 0,00227$.

3) 1,002²

Представим выражение как $(1+a)^2$: $1,002^2 = (1+0,002)^2$. Следовательно, $a = 0,002$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$1,002^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,002 = 1 + 0,004 = 1,004$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$1,002^2 = 1,004004$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |1,004004 - 1,004| = 0,000004$. (Что соответствует $a^2 = (0,002)^2 = 0,000004$).Относительная погрешность:$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,000004}{1,004004} \approx 0,000003984... \approx 0,00000398$.
Ответ: приближенное значение $1,004$; абсолютная погрешность $0,000004$; относительная погрешность $\approx 0,00000398$.

4) 0,999²

Представим выражение как $(1+a)^2$: $0,999^2 = (1-0,001)^2 = (1+(-0,001))^2$. Следовательно, $a = -0,001$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$0,999^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,001) = 1 - 0,002 = 0,998$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$0,999^2 = 0,998001$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |0,998001 - 0,998| = 0,000001$. (Что соответствует $a^2 = (-0,001)^2 = 0,000001$).Относительная погрешность:$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,000001}{0,998001} \approx 0,000001002... \approx 0,000001002$.
Ответ: приближенное значение $0,998$; абсолютная погрешность $0,000001$; относительная погрешность $\approx 0,000001002$.