Номер 1.176, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.176. В Солнечной системе Юпитер является самой большой планетой. В среднем его диаметр составляет 142800 км. Эти данные переведите в метры и результат запишите в стандартном виде так, чтобы относительная погрешность не превышала:

1) $1\%$

2) $0.1\%$

Для решения задачи сначала переведем средний диаметр Юпитера из километров в метры. Затем для каждого случая определим, до какого значащего знака нужно округлить полученное значение, чтобы удовлетворить условию по относительной погрешности.

Исходное значение диаметра: $D_{исх} = 142800 \text{ км}$.

Переводим в метры, зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$:

$D = 142800 \text{ км} \times 1000 \frac{\text{м}}{\text{км}} = 142800000 \text{ м}$.

Запишем это значение в стандартном виде (в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$). Будем считать это значение точным для дальнейших расчетов.

$D = 1.428 \times 10^8 \text{ м}$.

Относительная погрешность $\epsilon$ вычисляется по формуле: $\epsilon = \frac{|\Delta D|}{D} = \frac{|D - D_{окр}|}{D}$, где $D$ - точное значение, а $D_{окр}$ - округленное значение.

1) Относительная погрешность не превышает 1%

Условие: $\epsilon \le 1\%$, или $\epsilon \le 0.01$.

Нам нужно найти такое округленное значение $D_{окр}$, чтобы выполнялось неравенство: $\frac{|1.428 \times 10^8 - D_{окр}|}{1.428 \times 10^8} \le 0.01$.

Проверим округление до разного числа значащих цифр.

а) Округлим до двух значащих цифр: $D_{окр, 2} = 1.4 \times 10^8 \text{ м}$.
Вычислим относительную погрешность:
$\epsilon_2 = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.4 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.028 \times 10^8}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.028}{1.428} \approx 0.0196$.
В процентах это составляет $0.0196 \times 100\% = 1.96\%$.
Так как $1.96\% > 1\%$, данная точность недостаточна.

б) Округлим до трех значащих цифр: $D_{окр, 3} = 1.43 \times 10^8 \text{ м}$.
Вычислим относительную погрешность:
$\epsilon_3 = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.43 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{|-0.002 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0.002}{1.428} \approx 0.0014$.
В процентах это составляет $0.0014 \times 100\% = 0.14\%$.
Так как $0.14\% < 1\%$, данная точность удовлетворяет условию. Таким образом, результат следует записать с тремя значащими цифрами.

Ответ: $1.43 \times 10^8 \text{ м}$.

2) Относительная погрешность не превышает 0,1%

Условие: $\epsilon \le 0.1\%$, или $\epsilon \le 0.001$.

Нам нужно найти такое округленное значение $D_{окр}$, чтобы выполнялось неравенство: $\frac{|1.428 \times 10^8 - D_{окр}|}{1.428 \times 10^8} \le 0.001$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что при округлении до трех значащих цифр относительная погрешность составляет $\epsilon_3 \approx 0.14\%$.
Так как $0.14\% > 0.1\%$, округление до трех значащих цифр не обеспечивает требуемую точность.

Проверим округление до четырех значащих цифр. Это соответствует исходному числу значащих цифр в данных (142800 км имеет 4 значащие цифры, так как нули в конце целого числа обычно не считаются значащими, если не указано иное).
$D_{окр, 4} = 1.428 \times 10^8 \text{ м}$.
Вычислим относительную погрешность. В данном случае ошибка округления равна нулю, так как мы используем все имеющиеся значащие цифры.
$\epsilon_4 = \frac{|1.428 \times 10^8 - 1.428 \times 10^8|}{1.428 \times 10^8} = \frac{0}{1.428 \times 10^8} = 0$.
Так как $0 < 0.1\%$, данная точность удовлетворяет условию. Таким образом, результат следует записать с четырьмя значащими цифрами.

Ответ: $1.428 \times 10^8 \text{ м}$.