Вопросы, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие выражения называются одночленами?

2. Как записываются одночлены в стандартном виде?

3. Что мы понимаем под коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде?

4. Как определяется степень одночлена?

5. Как умножить одночлен на одночлен?

6. Как возвести одночлен в степень?

1. Какие выражения называются одночленами?
Одночленами называют алгебраические выражения, которые представляют собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночленами также считаются и сами числа, и переменные, и их степени.
Например, выражения $5$, $x$, $a^3$, $-7x^2y$, $0,3ab^4c$ являются одночленами.
Выражения, содержащие сложение или вычитание ($a+b$), а также деление на переменную ($\frac{x}{y}$), одночленами не являются.
Ответ: Одночленами называют произведения чисел, переменных и их натуральных степеней.

2. Как записываются одночлены в стандартном виде?
Одночлен записан в стандартном виде, если он представляет собой произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная в такой записи встречается только один раз, и обычно переменные записываются в алфавитном порядке.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо:

1. Перемножить все числовые множители и поставить полученное число на первое место.
2. Перемножить все степени с одинаковыми буквенными основаниями, сложив их показатели.

Например, приведем одночлен $2b \cdot (-5)a^3b^2a$ к стандартному виду:

• Умножаем числовые множители: $2 \cdot (-5) = -10$.
• Умножаем степени с основанием $a$: $a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$.
• Умножаем степени с основанием $b$: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.

Результат в стандартном виде: $-10a^4b^3$.
Ответ: Одночлен в стандартном виде — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных, где каждая переменная встречается один раз.

3. Что мы понимаем под коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде?
Коэффициент одночлена, записанного в стандартном виде, — это его числовой множитель.

• В одночлене $12a^2b$ коэффициентом является число $12$.
• В одночлене $-0,5xy^3$ коэффициент равен $-0,5$.
• Если числовой множитель равен $1$, его обычно не пишут, но он подразумевается. Например, в одночлене $x^2y$ коэффициент равен $1$.
• Если перед буквенной частью стоит только знак «минус», то коэффициент равен $-1$. Например, в одночлене $-c^4$ коэффициент равен $-1$.

Ответ: Коэффициент — это числовой множитель в стандартной записи одночлена.

4. Как определяется степень одночлена?
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом, отличным от нуля, то его степень считается равной нулю.
Примеры определения степени:

• Степень одночлена $8x^3y^5$ равна сумме показателей степеней переменных $x$ и $y$: $3+5=8$.
• Степень одночлена $-2ab^4c$ равна $1+4+1=6$ (так как $a=a^1$ и $c=c^1$).
• Степень одночлена $9z$ равна $1$.
• Степень одночлена $15$ (числа) равна $0$.

Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.
Ответ: Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.

5. Как умножить одночлен на одночлен?
Чтобы умножить один одночлен на другой, нужно:

1. Перемножить их коэффициенты.
2. Перемножить степени с одинаковыми переменными (основаниями), сложив их показатели.
3. Переменные, которые входят только в один из множителей, переписать без изменений.

Полученный результат следует записать в стандартном виде. Это правило следует из переместительного и сочетательного законов умножения и правила умножения степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Например, умножим одночлен $3x^2y^4$ на $-5xy^2z$:
$(3x^2y^4) \cdot (-5xy^2z) = (3 \cdot (-5)) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^4 \cdot y^2) \cdot z = -15 \cdot x^{2+1} \cdot y^{4+2} \cdot z = -15x^3y^6z$.
Ответ: Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и отдельно перемножить степени одинаковых переменных, а затем записать результат в стандартном виде.

6. Как возвести одночлен в степень?
Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый его множитель: и коэффициент, и каждую переменную. При возведении степени переменной в новую степень показатели перемножаются. Это правило основано на свойствах степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Например, возведем одночлен $(-2a^3b^5)$ в четвертую степень:
$(-2a^3b^5)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^5)^4 = 16 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^{5 \cdot 4} = 16a^{12}b^{20}$.
Ответ: Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень его коэффициент и каждую переменную, умножив ее показатель на показатель новой степени.