Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие выражения называются одночленами?

2. Как записываются одночлены в стандартном виде?

3. Что мы понимаем под коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде?

4. Как определяется степень одночлена?

5. Как умножить одночлен на одночлен?

6. Как возвести одночлен в степень?

1. Какие выражения называются одночленами?
Одночленами называют алгебраические выражения, которые представляют собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночленами также считаются и сами числа, и переменные, и их степени.
Например, выражения $5$, $x$, $a^3$, $-7x^2y$, $0,3ab^4c$ являются одночленами.
Выражения, содержащие сложение или вычитание ($a+b$), а также деление на переменную ($\frac{x}{y}$), одночленами не являются.
Ответ: Одночленами называют произведения чисел, переменных и их натуральных степеней.

2. Как записываются одночлены в стандартном виде?
Одночлен записан в стандартном виде, если он представляет собой произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная в такой записи встречается только один раз, и обычно переменные записываются в алфавитном порядке.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо:

1. Перемножить все числовые множители и поставить полученное число на первое место.
2. Перемножить все степени с одинаковыми буквенными основаниями, сложив их показатели.

Например, приведем одночлен $2b \cdot (-5)a^3b^2a$ к стандартному виду:

• Умножаем числовые множители: $2 \cdot (-5) = -10$.
• Умножаем степени с основанием $a$: $a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$.
• Умножаем степени с основанием $b$: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.

Результат в стандартном виде: $-10a^4b^3$.
Ответ: Одночлен в стандартном виде — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных, где каждая переменная встречается один раз.

3. Что мы понимаем под коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде?
Коэффициент одночлена, записанного в стандартном виде, — это его числовой множитель.

• В одночлене $12a^2b$ коэффициентом является число $12$.
• В одночлене $-0,5xy^3$ коэффициент равен $-0,5$.
• Если числовой множитель равен $1$, его обычно не пишут, но он подразумевается. Например, в одночлене $x^2y$ коэффициент равен $1$.
• Если перед буквенной частью стоит только знак «минус», то коэффициент равен $-1$. Например, в одночлене $-c^4$ коэффициент равен $-1$.

Ответ: Коэффициент — это числовой множитель в стандартной записи одночлена.

4. Как определяется степень одночлена?
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом, отличным от нуля, то его степень считается равной нулю.
Примеры определения степени:

• Степень одночлена $8x^3y^5$ равна сумме показателей степеней переменных $x$ и $y$: $3+5=8$.
• Степень одночлена $-2ab^4c$ равна $1+4+1=6$ (так как $a=a^1$ и $c=c^1$).
• Степень одночлена $9z$ равна $1$.
• Степень одночлена $15$ (числа) равна $0$.

Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.
Ответ: Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.

5. Как умножить одночлен на одночлен?
Чтобы умножить один одночлен на другой, нужно:

1. Перемножить их коэффициенты.
2. Перемножить степени с одинаковыми переменными (основаниями), сложив их показатели.
3. Переменные, которые входят только в один из множителей, переписать без изменений.

Полученный результат следует записать в стандартном виде. Это правило следует из переместительного и сочетательного законов умножения и правила умножения степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Например, умножим одночлен $3x^2y^4$ на $-5xy^2z$:
$(3x^2y^4) \cdot (-5xy^2z) = (3 \cdot (-5)) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^4 \cdot y^2) \cdot z = -15 \cdot x^{2+1} \cdot y^{4+2} \cdot z = -15x^3y^6z$.
Ответ: Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и отдельно перемножить степени одинаковых переменных, а затем записать результат в стандартном виде.

6. Как возвести одночлен в степень?
Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый его множитель: и коэффициент, и каждую переменную. При возведении степени переменной в новую степень показатели перемножаются. Это правило основано на свойствах степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Например, возведем одночлен $(-2a^3b^5)$ в четвертую степень:
$(-2a^3b^5)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^5)^4 = 16 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^{5 \cdot 4} = 16a^{12}b^{20}$.
Ответ: Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень его коэффициент и каждую переменную, умножив ее показатель на показатель новой степени.

2.1. Вычислите наиболее рациональным способом:

1) $4 \cdot 37 \cdot (-25);$

2) $8 \cdot (-21) \cdot 125;$

3) $2 \cdot 4 \cdot (-87) \cdot 125;$

4) $\left(-\frac{3}{19}\right) \cdot (-90) \cdot 19;$

5) $25 \cdot (-0,43) \cdot (-4);$

6) $1,25 \cdot (-1,47) \cdot (-8).$

1) $4 \cdot 37 \cdot (-25)$

Для рационального вычисления воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения и сгруппируем множители 4 и -25, так как их произведение равно удобному для дальнейших расчетов числу -100.

$4 \cdot 37 \cdot (-25) = (4 \cdot (-25)) \cdot 37$

Сначала вычислим произведение в скобках:

$4 \cdot (-25) = -100$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$-100 \cdot 37 = -3700$

Ответ: -3700

2) $8 \cdot (-21) \cdot 125$

Сгруппируем множители 8 и 125, так как их произведение дает круглое число 1000, что упрощает вычисления.

$8 \cdot (-21) \cdot 125 = (8 \cdot 125) \cdot (-21)$

Вычислим произведение в скобках:

$8 \cdot 125 = 1000$

Теперь умножим результат на -21:

$1000 \cdot (-21) = -21000$

Ответ: -21000

3) $2 \cdot 4 \cdot (-87) \cdot 125$

Сгруппируем множители 2, 4 и 125, чтобы получить в произведении круглое число.

$2 \cdot 4 \cdot (-87) \cdot 125 = (2 \cdot 4 \cdot 125) \cdot (-87)$

Вычислим произведение в скобках. Удобно сначала $2 \cdot 4 = 8$, а затем $8 \cdot 125 = 1000$.

$(8 \cdot 125) \cdot (-87) = 1000 \cdot (-87)$

Умножим полученный результат на -87:

$1000 \cdot (-87) = -87000$

Ответ: -87000

4) $(-\frac{3}{19}) \cdot (-90) \cdot 19$

Воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем дробь $-\frac{3}{19}$ с множителем 19. Это позволит сократить числитель и знаменатель.

$(-\frac{3}{19}) \cdot (-90) \cdot 19 = (-\frac{3}{19} \cdot 19) \cdot (-90)$

Вычислим произведение в скобках:

$-\frac{3}{19} \cdot 19 = -3$

Теперь умножим результат на -90. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$-3 \cdot (-90) = 270$

Ответ: 270

5) $25 \cdot (-0,43) \cdot (-4)$

Сгруппируем множители 25 и -4, так как их произведение равно круглому числу -100.

$25 \cdot (-0,43) \cdot (-4) = (25 \cdot (-4)) \cdot (-0,43)$

Вычислим произведение в скобках:

$25 \cdot (-4) = -100$

Теперь умножим результат на -0,43. Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$-100 \cdot (-0,43) = 100 \cdot 0,43 = 43$

Ответ: 43

6) $1,25 \cdot (-1,47) \cdot (-8)$

Сгруппируем множители 1,25 и -8, так как их произведение является целым числом, что упростит дальнейшие вычисления.

$1,25 \cdot (-1,47) \cdot (-8) = (1,25 \cdot (-8)) \cdot (-1,47)$

Вычислим произведение в скобках:

$1,25 \cdot (-8) = -10$

Теперь умножим результат на -1,47. Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$-10 \cdot (-1,47) = 10 \cdot 1,47 = 14,7$

Ответ: 14,7

2.2. Выполните действия:

1) $2b \cdot (-3c)$;

2) $(-4a) \cdot (-5b)$;

3) $8x \cdot \left(-\frac{1}{2}y\right)$;

4) $\frac{3}{4}a \cdot \left(-\frac{2}{3}x\right)$;

5) $(-0,3m) \cdot (-5n)$;

6) $(-3a) \cdot 2b \cdot (-c)$.

1) Чтобы выполнить умножение одночленов $2b$ и $-3c$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и затем перемножить их переменные части.
$2b \cdot (-3c) = (2 \cdot (-3)) \cdot (b \cdot c)$
Произведение коэффициентов: $2 \cdot (-3) = -6$.
Произведение переменных: $b \cdot c = bc$.
Результат: $-6bc$.
Ответ: $-6bc$

2) Для умножения одночленов $(-4a)$ и $(-5b)$ перемножаем их коэффициенты и переменные.
$(-4a) \cdot (-5b) = ((-4) \cdot (-5)) \cdot (a \cdot b)$
Произведение коэффициентов: $(-4) \cdot (-5) = 20$ (произведение двух отрицательных чисел положительно).
Произведение переменных: $a \cdot b = ab$.
Результат: $20ab$.
Ответ: $20ab$

3) Выполним умножение одночленов $8x$ и $(-\frac{1}{2}y)$.
$8x \cdot (-\frac{1}{2}y) = (8 \cdot (-\frac{1}{2})) \cdot (x \cdot y)$
Произведение коэффициентов: $8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{8}{2} = -4$.
Произведение переменных: $x \cdot y = xy$.
Результат: $-4xy$.
Ответ: $-4xy$

4) Чтобы перемножить $\frac{3}{4}a$ и $(-\frac{2}{3}x)$, умножим их коэффициенты-дроби и переменные.
$\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{2}{3}x) = (\frac{3}{4} \cdot (-\frac{2}{3})) \cdot (a \cdot x)$
Произведение коэффициентов: $\frac{3}{4} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Произведение переменных: $a \cdot x = ax$.
Результат: $-\frac{1}{2}ax$.
Ответ: $-\frac{1}{2}ax$

5) Для умножения $(-0,3m)$ и $(-5n)$ перемножим их десятичные коэффициенты и переменные.
$(-0,3m) \cdot (-5n) = ((-0,3) \cdot (-5)) \cdot (m \cdot n)$
Произведение коэффициентов: $(-0,3) \cdot (-5) = 1,5$.
Произведение переменных: $m \cdot n = mn$.
Результат: $1,5mn$.
Ответ: $1,5mn$

6) Выполним умножение трех одночленов: $(-3a)$, $2b$ и $(-c)$. Учтем, что коэффициент одночлена $(-c)$ равен $-1$.
$(-3a) \cdot 2b \cdot (-c) = (-3 \cdot 2 \cdot (-1)) \cdot (a \cdot b \cdot c)$
Произведение коэффициентов: $(-3) \cdot 2 \cdot (-1) = (-6) \cdot (-1) = 6$.
Произведение переменных: $a \cdot b \cdot c = abc$.
Результат: $6abc$.
Ответ: $6abc$

2.3. Выполните возведение в степень:

1) $(a^3)^2$;

2) $(-3x^2)^2$;

3) $(4m^3)^2$;

4) $(-3y^2)^4$;

5) $(-1\frac{1}{2}b^3)^2$;

6) $(2\frac{1}{2}xy^2)^2$;

7) $(-1,2c^4b^3)^2$;

8) $(3a^2x)^3$.

1) Для возведения степени в степень используется правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, согласно которому показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним.

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Ответ: $a^6$.

2) Для возведения произведения в степень необходимо каждый множитель возвести в эту степень, используя правило $(ab)^n = a^n b^n$. Также применим правило возведения степени в степень.

$(-3x^2)^2 = (-3)^2 \cdot (x^2)^2 = 9 \cdot x^{2 \cdot 2} = 9x^4$.

Ответ: $9x^4$.

3) Используем правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(4m^3)^2 = 4^2 \cdot (m^3)^2 = 16 \cdot m^{3 \cdot 2} = 16m^6$.

Ответ: $16m^6$.

4) Возводим каждый множитель в четвертую степень. Следует помнить, что отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат.

$(-3y^2)^4 = (-3)^4 \cdot (y^2)^4 = 81 \cdot y^{2 \cdot 4} = 81y^8$.

Ответ: $81y^8$.

5) Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь возводим полученное выражение в квадрат: $(-\frac{3}{2}b^3)^2 = (-\frac{3}{2})^2 \cdot (b^3)^2 = \frac{9}{4} \cdot b^{3 \cdot 2} = \frac{9}{4}b^6$.

Ответ: $\frac{9}{4}b^6$.

6) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.

Возводим каждый множитель в квадрат: $(\frac{5}{2}xy^2)^2 = (\frac{5}{2})^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{25}{4}x^2y^4$.

Ответ: $\frac{25}{4}x^2y^4$.

7) Возводим в квадрат каждый множитель, находящийся в скобках.

$(-1.2c^4b^3)^2 = (-1.2)^2 \cdot (c^4)^2 \cdot (b^3)^2 = 1.44 \cdot c^{4 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} = 1.44c^8b^6$.

Для стандартного вида одночлена запишем переменные в алфавитном порядке: $1.44b^6c^8$.

Ответ: $1.44b^6c^8$.

8) Возводим произведение в третью степень (в куб).

$(3a^2x)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot x^3 = 27 \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot x^3 = 27a^6x^3$.

Ответ: $27a^6x^3$.

2.4. Представьте одночлены в стандартном виде и назовите их коэффициент:

1) $0,5m \cdot 2x;$

2) $-2aba;$

3) $8b^2b;$

4) $3ab(-2)b;$

5) $-\frac{4}{3}x^2y \cdot 4,5x^3;$

6) $1,2xyz \cdot 5x;$

7) $6p^2(-0,8)q;$

8) $-5m^2n^32m.$

Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно перемножить все числовые множители и для каждой переменной сложить показатели степеней.

1) Исходный одночлен: $0,5m \cdot 2x$.
Чтобы привести его к стандартному виду, перемножим числовые множители и сгруппируем переменные в алфавитном порядке.
Произведение числовых множителей: $0,5 \cdot 2 = 1$.
Переменные части: $m$ и $x$. В алфавитном порядке: $mx$.
Записываем одночлен в стандартном виде: $1 \cdot mx = mx$.
Коэффициент этого одночлена — это числовой множитель в его стандартной записи. В данном случае он равен $1$.
Ответ: стандартный вид $mx$, коэффициент $1$.

2) Исходный одночлен: $-2aba$.
Числовой множитель здесь $-2$.
Перемножим одинаковые переменные: $a \cdot a = a^2$.
Стандартный вид одночлена (переменные в алфавитном порядке): $-2a^2b$.
Коэффициент равен $-2$.
Ответ: стандартный вид $-2a^2b$, коэффициент $-2$.

3) Исходный одночлен: $8b^2b$.
Числовой множитель равен $8$.
Перемножим переменные, используя свойство степеней $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$: $b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$.
Стандартный вид: $8b^3$.
Коэффициент равен $8$.
Ответ: стандартный вид $8b^3$, коэффициент $8$.

4) Исходный одночлен: $3ab(-2)b$.
Перемножим числовые множители: $3 \cdot (-2) = -6$.
Перемножим переменные, сгруппировав одинаковые: $a \cdot b \cdot b = a \cdot b^2 = ab^2$.
Стандартный вид: $-6ab^2$.
Коэффициент равен $-6$.
Ответ: стандартный вид $-6ab^2$, коэффициент $-6$.

5) Исходный одночлен: $-\frac{4}{3}x^2y \cdot 4,5x^3$.
Перемножим числовые множители. Представим десятичную дробь $4,5$ в виде обыкновенной: $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.
$-\frac{4}{3} \cdot 4,5 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 2} = -2 \cdot 3 = -6$.
Перемножим переменные: $x^2 \cdot y \cdot x^3 = (x^2 \cdot x^3) \cdot y = x^{2+3}y = x^5y$.
Стандартный вид: $-6x^5y$.
Коэффициент равен $-6$.
Ответ: стандартный вид $-6x^5y$, коэффициент $-6$.

6) Исходный одночлен: $1,2xyz \cdot 5x$.
Перемножим числовые множители: $1,2 \cdot 5 = 6$.
Перемножим переменные: $x \cdot y \cdot z \cdot x = (x \cdot x) \cdot y \cdot z = x^2yz$.
Стандартный вид: $6x^2yz$.
Коэффициент равен $6$.
Ответ: стандартный вид $6x^2yz$, коэффициент $6$.

7) Исходный одночлен: $6p^2(-0,8)q$.
Перемножим числовые множители: $6 \cdot (-0,8) = -4,8$.
Переменные $p^2$ и $q$ уже записаны в алфавитном порядке.
Стандартный вид: $-4,8p^2q$.
Коэффициент равен $-4,8$.
Ответ: стандартный вид $-4,8p^2q$, коэффициент $-4,8$.

8) Исходный одночлен: $-5m^2n^3 \cdot 2m$.
Перемножим числовые множители: $-5 \cdot 2 = -10$.
Перемножим переменные: $m^2 \cdot n^3 \cdot m = (m^2 \cdot m) \cdot n^3 = m^{2+1}n^3 = m^3n^3$.
Стандартный вид: $-10m^3n^3$.
Коэффициент равен $-10$.
Ответ: стандартный вид $-10m^3n^3$, коэффициент $-10$.

2.5. Выполните умножение:

1) $-11a^2b \cdot 0.3a^2b^2$;

2) $\frac{4}{9}xy^3 \cdot \frac{2}{3}xy$;

3) $-0.6m^2n \cdot (-10mn^2)$;

4) $x^5y \cdot xy^3z$;

5) $-4ab \cdot (-a^2) \cdot (-b^3)$;

6) $-\frac{1}{5}p^3q^4 \cdot 5p^2q^3$.

1) Чтобы выполнить умножение одночленов $-11a^2b \cdot 0,3a^2b^2$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и степени переменных с одинаковыми основаниями. Сначала умножаем коэффициенты: $-11 \cdot 0,3 = -3,3$. Затем умножаем степени переменной $a$: $a^2 \cdot a^2 = a^{2+2} = a^4$. Далее умножаем степени переменной $b$: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$. Объединяя результаты, получаем итоговый одночлен.
Ответ: $-3,3a^4b^3$.

2) Для умножения $\frac{4}{9}xy^3 \cdot \frac{2}{3}xy$ перемножим дроби-коэффициенты и степени соответствующих переменных. Умножение коэффициентов: $\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{8}{27}$. Умножение переменных $x$: $x \cdot x = x^{1+1} = x^2$. Умножение переменных $y$: $y^3 \cdot y = y^{3+1} = y^4$. Собираем все вместе.
Ответ: $\frac{8}{27}x^2y^4$.

3) В выражении $-0,6m^2n \cdot (-10mn^2)$ сначала перемножаем числовые коэффициенты: $-0,6 \cdot (-10) = 6$. Затем перемножаем степени переменной $m$: $m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$. И наконец, степени переменной $n$: $n \cdot n^2 = n^{1+2} = n^3$. Результатом является произведение полученных частей.
Ответ: $6m^3n^3$.

4) Для выражения $x^5y \cdot xy^3z$ коэффициенты обоих одночленов равны 1, поэтому их произведение также равно 1. Умножаем степени переменной $x$: $x^5 \cdot x = x^{5+1} = x^6$. Умножаем степени переменной $y$: $y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$. Переменная $z$ присутствует только во втором множителе, поэтому она остается в той же степени.
Ответ: $x^6y^4z$.

5) В выражении $-4ab \cdot (-a^2) \cdot (-b^3)$ мы имеем произведение трех одночленов. Перемножаем их коэффициенты: $-4 \cdot (-1) \cdot (-1) = -4$. Затем перемножаем степени переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$. И степени переменной $b$: $b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4$. Соединяем все части вместе.
Ответ: $-4a^3b^4$.

6) В выражении $-\frac{1}{5}p^3q^4 \cdot 5p^2q^3$ умножаем коэффициенты: $-\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$. Затем умножаем степени переменной $p$: $p^3 \cdot p^2 = p^{3+2} = p^5$. И степени переменной $q$: $q^4 \cdot q^3 = q^{4+3} = q^7$. Результат умножения $-1$ на переменные части обычно записывается без единицы.
Ответ: $-p^5q^7$.