Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.33. Составьте разность многочленов и упростите:

1) $3a$ и $7+2a$;

2) $5b^2-9$ и $4b^2-b+5$;

3) $4x+2$ и $x+1$;

4) $3m^2+m$ и $1-m+3m^2$;

5) $2a-3b$ и $-b-a$;

6) $a^2+a+1$ и $a^2-a+1$.

1) Чтобы найти разность многочленов $3a$ и $7+2a$, вычтем второй многочлен из первого. Для этого запишем разность в скобках и раскроем их, изменив знаки каждого члена второго многочлена на противоположные.
$3a - (7+2a) = 3a - 7 - 2a$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3a - 2a) - 7 = a - 7$
Ответ: $a-7$

2) Составим разность многочленов $5b^2-9$ и $4b^2-b+5$ и упростим ее.
$(5b^2-9) - (4b^2-b+5) = 5b^2 - 9 - 4b^2 + b - 5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5b^2 - 4b^2) + b + (-9 - 5) = b^2 + b - 14$
Ответ: $b^2+b-14$

3) Составим разность многочленов $4x+2$ и $x+1$.
$(4x+2) - (x+1) = 4x + 2 - x - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x - x) + (2 - 1) = 3x + 1$
Ответ: $3x+1$

4) Найдем разность многочленов $3m^2+m$ и $1-m+3m^2$.
$(3m^2+m) - (1-m+3m^2) = 3m^2 + m - 1 + m - 3m^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены с $m^2$ взаимно уничтожаются.
$(3m^2 - 3m^2) + (m + m) - 1 = 0 + 2m - 1 = 2m - 1$
Ответ: $2m-1$

5) Составим разность многочленов $2a-3b$ и $-b-a$.
$(2a-3b) - (-b-a) = 2a - 3b + b + a$
Приведем подобные слагаемые:
$(2a + a) + (-3b + b) = 3a - 2b$
Ответ: $3a-2b$

6) Найдем разность многочленов $a^2+a+1$ и $a^2-a+1$.
$(a^2+a+1) - (a^2-a+1) = a^2 + a + 1 - a^2 + a - 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены $a^2$ и свободные члены $1$ взаимно уничтожаются.
$(a^2 - a^2) + (a + a) + (1 - 1) = 0 + 2a + 0 = 2a$
Ответ: $2a$

2.34. Даны два многочлена: $3x^3-4x+5$ и $x^3-4x-3$. Составьте:

1) сумму этих многочленов;

2) разность первого и второго многочленов;

3) разность второго и первого многочленов. Упростите получившиеся выражения.

Обозначим данные многочлены: первый многочлен $P_1(x) = 3x^3 - 4x + 5$ и второй многочлен $P_2(x) = x^3 - 4x - 3$.

1) сумму этих многочленов

Для нахождения суммы сложим многочлены $P_1(x)$ и $P_2(x)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(3x^3 - 4x + 5) + (x^3 - 4x - 3) = 3x^3 - 4x + 5 + x^3 - 4x - 3$
Сгруппируем члены с одинаковой степенью $x$:
$(3x^3 + x^3) + (-4x - 4x) + (5 - 3) = 4x^3 - 8x + 2$

Ответ: $4x^3 - 8x + 2$

2) разность первого и второго многочленов

Для нахождения разности вычтем второй многочлен из первого $P_1(x) - P_2(x)$, раскроем скобки (меняя знаки второго многочлена на противоположные) и упростим выражение:
$(3x^3 - 4x + 5) - (x^3 - 4x - 3) = 3x^3 - 4x + 5 - x^3 + 4x + 3$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(3x^3 - x^3) + (-4x + 4x) + (5 + 3) = 2x^3 + 0 + 8 = 2x^3 + 8$

Ответ: $2x^3 + 8$

3) разность второго и первого многочленов

Для нахождения разности вычтем первый многочлен из второго $P_2(x) - P_1(x)$, раскроем скобки и упростим:
$(x^3 - 4x - 3) - (3x^3 - 4x + 5) = x^3 - 4x - 3 - 3x^3 + 4x - 5$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(x^3 - 3x^3) + (-4x + 4x) + (-3 - 5) = -2x^3 + 0 - 8 = -2x^3 - 8$

Ответ: $-2x^3 - 8$

2.35. Составьте сумму и разность многочленов и упростите:

1) $x+y$ и $x-y$;

2) $x^2-y^2$ и $x^2+y^2$;

3) $a^2-a+4$ и $-a^2-a-4$;

4) $b^3-8$ и $-b^3-8$.

1) Для многочленов $x+y$ и $x-y$.
Сначала найдем их сумму и упростим выражение. Для этого сложим многочлены и приведем подобные слагаемые:
Сумма: $(x+y) + (x-y) = x + y + x - y = (x+x) + (y-y) = 2x$.
Теперь найдем их разность. Для этого из первого многочлена вычтем второй, раскроем скобки (изменив знаки во втором многочлене на противоположные) и приведем подобные слагаемые:
Разность: $(x+y) - (x-y) = x + y - x + y = (x-x) + (y+y) = 2y$.
Ответ: сумма равна $2x$, разность равна $2y$.

2) Для многочленов $x^2-y^2$ и $x^2+y^2$.
Найдем их сумму:
Сумма: $(x^2-y^2) + (x^2+y^2) = x^2 - y^2 + x^2 + y^2 = (x^2+x^2) + (-y^2+y^2) = 2x^2$.
Найдем их разность:
Разность: $(x^2-y^2) - (x^2+y^2) = x^2 - y^2 - x^2 - y^2 = (x^2-x^2) + (-y^2-y^2) = -2y^2$.
Ответ: сумма равна $2x^2$, разность равна $-2y^2$.

3) Для многочленов $a^2-a+4$ и $-a^2-a-4$.
Найдем их сумму:
Сумма: $(a^2-a+4) + (-a^2-a-4) = a^2 - a + 4 - a^2 - a - 4 = (a^2-a^2) + (-a-a) + (4-4) = -2a$.
Найдем их разность:
Разность: $(a^2-a+4) - (-a^2-a-4) = a^2 - a + 4 + a^2 + a + 4 = (a^2+a^2) + (-a+a) + (4+4) = 2a^2+8$.
Ответ: сумма равна $-2a$, разность равна $2a^2+8$.

4) Для многочленов $b^3-8$ и $-b^3-8$.
Найдем их сумму:
Сумма: $(b^3-8) + (-b^3-8) = b^3 - 8 - b^3 - 8 = (b^3-b^3) + (-8-8) = -16$.
Найдем их разность:
Разность: $(b^3-8) - (-b^3-8) = b^3 - 8 + b^3 + 8 = (b^3+b^3) + (-8+8) = 2b^3$.
Ответ: сумма равна $-16$, разность равна $2b^3$.

2.36. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

1) $21a^2 - (12a - 5 + 21a^2);$

2) $(x^2 + x - 1) - (x^2 - x + 1);$

3) $-7x^2 + x + (x + 6x^2);$

4) $(12 - 5p^2) + (p^3 + 2p^2 - p + 15).$

1) Чтобы преобразовать выражение $21a^2 - (12a - 5 + 21a^2)$ в многочлен стандартного вида, сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$21a^2 - (12a - 5 + 21a^2) = 21a^2 - 12a + 5 - 21a^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $a$:

$(21a^2 - 21a^2) - 12a + 5$

Выполним вычисления:

$0 - 12a + 5 = -12a + 5$

Полученный многочлен $-12a + 5$ записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $-12a + 5$

2) Чтобы преобразовать выражение $(x^2 + x - 1) - (x^2 - x + 1)$ в многочлен стандартного вида, раскроем скобки. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри них меняются на противоположные:

$(x^2 + x - 1) - (x^2 - x + 1) = x^2 + x - 1 - x^2 + x - 1$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(x^2 - x^2) + (x + x) + (-1 - 1)$

Выполним вычисления:

$0 + 2x - 2 = 2x - 2$

Многочлен $2x - 2$ записан в стандартном виде.

Ответ: $2x - 2$

3) Чтобы преобразовать выражение $-7x^2 + x + (x + 6x^2)$ в многочлен стандартного вида, раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются:

$-7x^2 + x + x + 6x^2$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням переменной $x$:

$(-7x^2 + 6x^2) + (x + x)$

Выполним вычисления:

$-x^2 + 2x$

Полученный многочлен $-x^2 + 2x$ записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $-x^2 + 2x$

4) Чтобы преобразовать выражение $(12 - 5p^2) + (p^3 + 2p^2 - p + 15)$ в многочлен стандартного вида, раскроем скобки. Так как между скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:

$12 - 5p^2 + p^3 + 2p^2 - p + 15$

Теперь приведем подобные слагаемые и расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $p$:

$p^3 + (-5p^2 + 2p^2) - p + (12 + 15)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$p^3 - 3p^2 - p + 27$

Полученный многочлен $p^3 - 3p^2 - p + 27$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $p^3 - 3p^2 - p + 27$

2.37. Найдите значение многочлена:

1) $6a^5-3a^2+7-2a^5-4a^5+4a^2$ при $a=-5$;

2) $5x^2y-xy^2-4x^2y+xy^2-xy+7$ при $x=-1, y=2$.

1) Для нахождения значения многочлена $6a^5-3a^2+7-2a^5-4a^5+4a^2$ при $a=-5$, сначала упростим его, приведя подобные слагаемые.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной a:

$(6a^5 - 2a^5 - 4a^5) + (-3a^2 + 4a^2) + 7$

Выполним действия в скобках:

$(6 - 2 - 4)a^5 + (-3 + 4)a^2 + 7 = 0 \cdot a^5 + 1 \cdot a^2 + 7 = a^2 + 7$

Теперь подставим значение $a = -5$ в упрощенное выражение:

$(-5)^2 + 7 = 25 + 7 = 32$

Ответ: 32

2) Для нахождения значения многочлена $5x^2y-xy^2-4x^2y+xy^2-xy+7$ при $x=-1, y=2$, также сначала упростим его, приведя подобные слагаемые.

Сгруппируем члены с одинаковыми переменными в одинаковых степенях:

$(5x^2y - 4x^2y) + (-xy^2 + xy^2) - xy + 7$

Выполним действия в скобках:

$(5 - 4)x^2y + (-1 + 1)xy^2 - xy + 7 = 1 \cdot x^2y + 0 \cdot xy^2 - xy + 7 = x^2y - xy + 7$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $x = -1$ и $y = 2$:

$(-1)^2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 + 7$

Выполним вычисления по порядку:

$1 \cdot 2 - (-2) + 7 = 2 + 2 + 7 = 11$

Ответ: 11

2.38. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

1) $3aa^4+3aa^3-5a^2a^3-5a^2a$;

2) $5a \cdot 2b^2-5a \cdot 3ab-a^2b+6ab^2$;

3) $3x \cdot 4y^2-0,8y \cdot 4y^2-2xy \cdot 3y+y \cdot 3y^2-1$;

4) $2m^2n^3-mn^3-m^4-m^2n^3+mn^3+2m^4$.

1) $3aa^4+3aa^3-5a^2a^3-5a^2a$

Для преобразования выражения в многочлен стандартного вида сначала упростим каждый его член (одночлен), перемножив числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3aa^4 = 3a^{1+4} = 3a^5$

$3aa^3 = 3a^{1+3} = 3a^4$

$5a^2a^3 = 5a^{2+3} = 5a^5$

$5a^2a = 5a^{2+1} = 5a^3$

Теперь подставим полученные одночлены обратно в выражение:

$3a^5+3a^4-5a^5-5a^3$

Далее приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $3a^5$ и $-5a^5$.

$(3a^5-5a^5)+3a^4-5a^3 = (3-5)a^5+3a^4-5a^3 = -2a^5+3a^4-5a^3$

Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $a$, что соответствует стандартному виду.

Ответ: $-2a^5+3a^4-5a^3$

2) $5a \cdot 2b^2 - 5a \cdot 3ab - a^2b + 6ab^2$

Сначала приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

$5a \cdot 2b^2 = (5 \cdot 2)ab^2 = 10ab^2$

$5a \cdot 3ab = (5 \cdot 3)(a \cdot a)b = 15a^2b$

Подставим упрощенные одночлены в исходное выражение:

$10ab^2 - 15a^2b - a^2b + 6ab^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются $10ab^2$ и $6ab^2$, а также $-15a^2b$ и $-a^2b$.

$(10ab^2 + 6ab^2) + (-15a^2b - a^2b) = (10+6)ab^2 + (-15-1)a^2b = 16ab^2 - 16a^2b$

Для стандартного вида многочлена принято располагать его члены в определенном порядке, например, в лексикографическом (по убыванию степени переменной $a$, затем $b$).

$-16a^2b + 16ab^2$

Ответ: $-16a^2b + 16ab^2$

3) $3x \cdot 4y^2 - 0,8y \cdot 4y^2 - 2xy \cdot 3y + y \cdot 3y^2 - 1$

Приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

$3x \cdot 4y^2 = (3 \cdot 4)xy^2 = 12xy^2$

$0,8y \cdot 4y^2 = (0,8 \cdot 4)y^{1+2} = 3,2y^3$

$2xy \cdot 3y = (2 \cdot 3)xy^{1+1} = 6xy^2$

$y \cdot 3y^2 = 3y^{1+2} = 3y^3$

Подставим упрощенные одночлены в выражение:

$12xy^2 - 3,2y^3 - 6xy^2 + 3y^3 - 1$

Приведем подобные слагаемые: $12xy^2$ и $-6xy^2$; $-3,2y^3$ и $3y^3$.

$(12xy^2 - 6xy^2) + (-3,2y^3 + 3y^3) - 1 = (12-6)xy^2 + (-3,2+3)y^3 - 1 = 6xy^2 - 0,2y^3 - 1$

Расположим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $y$.

$-0,2y^3 + 6xy^2 - 1$

Ответ: $-0,2y^3 + 6xy^2 - 1$

4) $2m^2n^3 - mn^3 - m^4 - m^2n^3 + mn^3 + 2m^4$

В этом выражении все одночлены уже представлены в стандартном виде. Перейдем сразу к приведению подобных слагаемых. Сгруппируем их:

$(2m^2n^3 - m^2n^3) + (-mn^3 + mn^3) + (-m^4 + 2m^4)$

Выполним действия в каждой группе:

$(2-1)m^2n^3 = m^2n^3$

$(-1+1)mn^3 = 0 \cdot mn^3 = 0$

$(-1+2)m^4 = m^4$

Сложим полученные результаты:

$m^2n^3 + 0 + m^4 = m^4 + m^2n^3$

Многочлен записан в стандартном виде, члены расположены в порядке убывания степени переменной $m$.

Ответ: $m^4 + m^2n^3$

2.39. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

1) $(1+3x)+(x^2-2x)-(2x^2-x);$

2) $(7,3c-c^2+4)+0,5c^2-(8,7c-2,4c^2);$

3) $(-12a^2+5a)+(a+11a^2)-(a^2-1);$

4) $(b^2-5b)+(5b-2b^2)-(4-2b^2).$

1) Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен стандартного вида, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$(1 + 3x) + (x^2 - 2x) - (2x^2 - x) = 1 + 3x + x^2 - 2x - 2x^2 + x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 2x^2) + (3x - 2x + x) + 1 = -x^2 + 2x + 1$

Многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены являются одночленами стандартного вида и расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $-x^2 + 2x + 1$

2) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание на знак «-» перед последней скобкой.

$(7,3c - c^2 + 4) + 0,5c^2 - (8,7c - 2,4c^2) = 7,3c - c^2 + 4 + 0,5c^2 - 8,7c + 2,4c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-c^2 + 0,5c^2 + 2,4c^2) + (7,3c - 8,7c) + 4 = (-1 + 0,5 + 2,4)c^2 + (7,3 - 8,7)c + 4 = 1,9c^2 - 1,4c + 4$

Многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $1,9c^2 - 1,4c + 4$

3) Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними, и приведем подобные слагаемые.

$(-12a^2 + 5a) + (a + 11a^2) - (a^2 - 1) = -12a^2 + 5a + a + 11a^2 - a^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-12a^2 + 11a^2 - a^2) + (5a + a) + 1 = (-12 + 11 - 1)a^2 + (5 + 1)a + 1 = -2a^2 + 6a + 1$

Многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-2a^2 + 6a + 1$

4) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(b^2 - 5b) + (5b - 2b^2) - (4 - 2b^2) = b^2 - 5b + 5b - 2b^2 - 4 + 2b^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - 2b^2 + 2b^2) + (-5b + 5b) - 4 = (1 - 2 + 2)b^2 + 0 - 4 = b^2 - 4$

Многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $b^2 - 4$