Номер 2.38, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.38. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

1) $3aa^4+3aa^3-5a^2a^3-5a^2a$;

2) $5a \cdot 2b^2-5a \cdot 3ab-a^2b+6ab^2$;

3) $3x \cdot 4y^2-0,8y \cdot 4y^2-2xy \cdot 3y+y \cdot 3y^2-1$;

4) $2m^2n^3-mn^3-m^4-m^2n^3+mn^3+2m^4$.

1) $3aa^4+3aa^3-5a^2a^3-5a^2a$

Для преобразования выражения в многочлен стандартного вида сначала упростим каждый его член (одночлен), перемножив числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3aa^4 = 3a^{1+4} = 3a^5$

$3aa^3 = 3a^{1+3} = 3a^4$

$5a^2a^3 = 5a^{2+3} = 5a^5$

$5a^2a = 5a^{2+1} = 5a^3$

Теперь подставим полученные одночлены обратно в выражение:

$3a^5+3a^4-5a^5-5a^3$

Далее приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $3a^5$ и $-5a^5$.

$(3a^5-5a^5)+3a^4-5a^3 = (3-5)a^5+3a^4-5a^3 = -2a^5+3a^4-5a^3$

Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $a$, что соответствует стандартному виду.

Ответ: $-2a^5+3a^4-5a^3$

2) $5a \cdot 2b^2 - 5a \cdot 3ab - a^2b + 6ab^2$

Сначала приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

$5a \cdot 2b^2 = (5 \cdot 2)ab^2 = 10ab^2$

$5a \cdot 3ab = (5 \cdot 3)(a \cdot a)b = 15a^2b$

Подставим упрощенные одночлены в исходное выражение:

$10ab^2 - 15a^2b - a^2b + 6ab^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются $10ab^2$ и $6ab^2$, а также $-15a^2b$ и $-a^2b$.

$(10ab^2 + 6ab^2) + (-15a^2b - a^2b) = (10+6)ab^2 + (-15-1)a^2b = 16ab^2 - 16a^2b$

Для стандартного вида многочлена принято располагать его члены в определенном порядке, например, в лексикографическом (по убыванию степени переменной $a$, затем $b$).

$-16a^2b + 16ab^2$

Ответ: $-16a^2b + 16ab^2$

3) $3x \cdot 4y^2 - 0,8y \cdot 4y^2 - 2xy \cdot 3y + y \cdot 3y^2 - 1$

Приведем к стандартному виду каждый член многочлена:

$3x \cdot 4y^2 = (3 \cdot 4)xy^2 = 12xy^2$

$0,8y \cdot 4y^2 = (0,8 \cdot 4)y^{1+2} = 3,2y^3$

$2xy \cdot 3y = (2 \cdot 3)xy^{1+1} = 6xy^2$

$y \cdot 3y^2 = 3y^{1+2} = 3y^3$

Подставим упрощенные одночлены в выражение:

$12xy^2 - 3,2y^3 - 6xy^2 + 3y^3 - 1$

Приведем подобные слагаемые: $12xy^2$ и $-6xy^2$; $-3,2y^3$ и $3y^3$.

$(12xy^2 - 6xy^2) + (-3,2y^3 + 3y^3) - 1 = (12-6)xy^2 + (-3,2+3)y^3 - 1 = 6xy^2 - 0,2y^3 - 1$

Расположим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $y$.

$-0,2y^3 + 6xy^2 - 1$

Ответ: $-0,2y^3 + 6xy^2 - 1$

4) $2m^2n^3 - mn^3 - m^4 - m^2n^3 + mn^3 + 2m^4$

В этом выражении все одночлены уже представлены в стандартном виде. Перейдем сразу к приведению подобных слагаемых. Сгруппируем их:

$(2m^2n^3 - m^2n^3) + (-mn^3 + mn^3) + (-m^4 + 2m^4)$

Выполним действия в каждой группе:

$(2-1)m^2n^3 = m^2n^3$

$(-1+1)mn^3 = 0 \cdot mn^3 = 0$

$(-1+2)m^4 = m^4$

Сложим полученные результаты:

$m^2n^3 + 0 + m^4 = m^4 + m^2n^3$

Многочлен записан в стандартном виде, члены расположены в порядке убывания степени переменной $m$.

Ответ: $m^4 + m^2n^3$