Номер 2.45, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Составьте сумму многочленов и приведите подобные члены:

1) $5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3$, $3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3$ и $-6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3$;

2) $-\frac{5}{6}a^2+4\frac{2}{3}ab+\frac{3}{4}b^2$, $-\frac{5}{12}a^2-\frac{4}{3}ab-\frac{7}{4}b^2$ и $2\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{4}ab-b^2$;

3) $5\frac{1}{4}m^3+2\frac{1}{6}m^2n+3\frac{1}{2}mn^2-8\frac{2}{3}n^3$ и $13m^2n-1\frac{1}{4}mn^2-3\frac{5}{6}m^3+n^3$.

1) Чтобы составить сумму многочленов, сложим их, раскроем скобки и запишем все члены подряд:

$(5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3) + (3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3) + (-6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3) = 5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3 + 3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3 - 6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3$.

Далее сгруппируем подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$(5x^4+3x^4-6x^4) + (3x^3y-8x^3y+x^3y) + (-2x^2y^2+9x^2y^2+5x^2y^2) + (-4xy^3+xy^3-9xy^3)$.

Теперь сложим коэффициенты в каждой группе:

$(5+3-6)x^4 + (3-8+1)x^3y + (-2+9+5)x^2y^2 + (-4+1-9)xy^3 = 2x^4 - 4x^3y + 12x^2y^2 - 12xy^3$.

Ответ: $2x^4 - 4x^3y + 12x^2y^2 - 12xy^3$.

2) Составим сумму данных многочленов:

$(-\frac{5}{6}a^2 + 4\frac{2}{3}ab + \frac{3}{4}b^2) + (\frac{5}{12}a^2 - \frac{4}{3}ab - \frac{7}{4}b^2) + (2\frac{1}{2}a^2 + \frac{5}{4}ab - b^2)$.

Сгруппируем подобные члены. Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби: $4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$, $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

$(-\frac{5}{6}a^2 + \frac{5}{12}a^2 + \frac{5}{2}a^2) + (\frac{14}{3}ab - \frac{4}{3}ab + \frac{5}{4}ab) + (\frac{3}{4}b^2 - \frac{7}{4}b^2 - b^2)$.

Приведем коэффициенты в каждой группе к общему знаменателю и выполним действия:

Для $a^2$: $(-\frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{5}{12} + \frac{5 \cdot 6}{12})a^2 = (\frac{-10+5+30}{12})a^2 = \frac{25}{12}a^2 = 2\frac{1}{12}a^2$.

Для $ab$: $(\frac{14 \cdot 4}{12} - \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{5 \cdot 3}{12})ab = (\frac{56-16+15}{12})ab = \frac{55}{12}ab = 4\frac{7}{12}ab$.

Для $b^2$: $(\frac{3}{4} - \frac{7}{4} - \frac{4}{4})b^2 = (\frac{3-7-4}{4})b^2 = \frac{-8}{4}b^2 = -2b^2$.

Соберем полученные члены в итоговый многочлен:

Ответ: $2\frac{1}{12}a^2 + 4\frac{7}{12}ab - 2b^2$.

3) Составим сумму двух многочленов:

$(5\frac{1}{4}m^3 + 2\frac{1}{6}m^2n + 3\frac{1}{2}mn^2 - 8\frac{2}{3}n^3) + (13m^2n - 1\frac{1}{4}mn^2 - 3\frac{5}{6}m^3 + n^3)$.

Для удобства вычислений переведем все смешанные числа в неправильные дроби:

$5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$; $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$; $8\frac{2}{3} = \frac{26}{3}$; $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $3\frac{5}{6} = \frac{23}{6}$.

Сгруппируем подобные члены:

$(\frac{21}{4}m^3 - \frac{23}{6}m^3) + (\frac{13}{6}m^2n + 13m^2n) + (\frac{7}{2}mn^2 - \frac{5}{4}mn^2) + (-\frac{26}{3}n^3 + n^3)$.

Приведем коэффициенты в каждой группе к общему знаменателю и выполним действия:

Для $m^3$: $(\frac{21 \cdot 3}{12} - \frac{23 \cdot 2}{12})m^3 = (\frac{63-46}{12})m^3 = \frac{17}{12}m^3 = 1\frac{5}{12}m^3$.

Для $m^2n$: $(\frac{13}{6} + \frac{13 \cdot 6}{6})m^2n = (\frac{13+78}{6})m^2n = \frac{91}{6}m^2n = 15\frac{1}{6}m^2n$.

Для $mn^2$: $(\frac{7 \cdot 2}{4} - \frac{5}{4})mn^2 = (\frac{14-5}{4})mn^2 = \frac{9}{4}mn^2 = 2\frac{1}{4}mn^2$.

Для $n^3$: $(-\frac{26}{3} + \frac{3}{3})n^3 = (\frac{-26+3}{3})n^3 = -\frac{23}{3}n^3 = -7\frac{2}{3}n^3$.

Запишем итоговый многочлен, используя смешанные числа:

Ответ: $1\frac{5}{12}m^3 + 15\frac{1}{6}m^2n + 2\frac{1}{4}mn^2 - 7\frac{2}{3}n^3$.