Номер 2.48, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.48. Представьте выражение $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы двух многочленов так, чтобы одно из слагаемых было равно:

1) $x^3+4$;

2) $2x^3-x^2-x$.

Чтобы представить исходный многочлен $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы двух многочленов, один из которых задан, необходимо найти второй многочлен. Для этого из исходного многочлена нужно вычесть заданный многочлен.

1)

Требуется представить многочлен $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы, где одно из слагаемых равно $x^3+4$. Обозначим искомый второй многочлен как $P(x)$. Тогда должно выполняться равенство:

$(x^3+4) + P(x) = 3x^3-2x^2-x+4$

Чтобы найти $P(x)$, вычтем из исходного многочлена заданное слагаемое:

$P(x) = (3x^3-2x^2-x+4) - (x^3+4)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$P(x) = 3x^3-2x^2-x+4 - x^3 - 4 = (3x^3 - x^3) - 2x^2 - x + (4 - 4) = 2x^3 - 2x^2 - x$

Таким образом, искомое представление в виде суммы двух многочленов выглядит так:

$(x^3+4) + (2x^3-2x^2-x)$

Ответ: $(x^3+4) + (2x^3-2x^2-x)$.

2)

Требуется представить многочлен $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы, где одно из слагаемых равно $2x^3-x^2-x$. Обозначим искомый второй многочлен как $Q(x)$. Тогда должно выполняться равенство:

$(2x^3-x^2-x) + Q(x) = 3x^3-2x^2-x+4$

Чтобы найти $Q(x)$, вычтем из исходного многочлена заданное слагаемое:

$Q(x) = (3x^3-2x^2-x+4) - (2x^3-x^2-x)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$Q(x) = 3x^3-2x^2-x+4 - 2x^3 + x^2 + x = (3x^3 - 2x^3) + (-2x^2 + x^2) + (-x + x) + 4 = x^3 - x^2 + 4$

Таким образом, искомое представление в виде суммы двух многочленов выглядит так:

$(2x^3-x^2-x) + (x^3-x^2+4)$

Ответ: $(2x^3-x^2-x) + (x^3-x^2+4)$.