Номер 2.54, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. Многочлены. Раздел 2. Одночлены и многочлены - номер 2.54, страница 57.

Условие (рус).

2.54. Найдите наименьшее числовое значение суммы:

1) $1 + 2x^2 + (x^4 - x^2 + 1);$

2) $4a^2 - 4 - (5 + 3a^2) + (a^4 - a^2).$

Условие (КЗ).

Решение.

Решение 2.

1)

Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$1 + 2x^2 + (x^4 - x^2 + 1) = 1 + 2x^2 + x^4 - x^2 + 1 = x^4 + (2x^2 - x^2) + (1 + 1) = x^4 + x^2 + 2$.

Чтобы найти наименьшее числовое значение полученного выражения $x^4 + x^2 + 2$, заметим, что для любого действительного числа $x$ значения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными, то есть $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных чисел минимальна, когда каждое слагаемое минимально. Наименьшее значение для $x^4$ и $x^2$ достигается при $x = 0$. Таким образом, наименьшее значение всего выражения будет:

$0^4 + 0^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

Ответ: 2

2)

Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$4a^2 - 4 - (5 + 3a^2) + (a^4 - a^2) = 4a^2 - 4 - 5 - 3a^2 + a^4 - a^2$.

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$a^4 + (4a^2 - 3a^2 - a^2) + (-4 - 5) = a^4 + 0 \cdot a^2 - 9 = a^4 - 9$.

Чтобы найти наименьшее числовое значение выражения $a^4 - 9$, учтем, что для любого действительного числа $a$ значение $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$). Наименьшее значение $a^4$ равно 0 и достигается при $a = 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно:

$0 - 9 = -9$.

Ответ: -9