Номер 2.52, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Какой многочлен в сумме с многочленом $5x^n - x^3 - x + 7$ тождественно равен:

1) $0$;

2) $5$;

3) $2x-6$;

4) $x^3-3x+2$;

5) $x^n+1$?

1) Пусть искомый многочлен равен $P_1(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна 0. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_1(x) = 0$
Чтобы найти $P_1(x)$, вычтем данный многочлен из 0:
$P_1(x) = 0 - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_1(x) = -5x^n + x^3 + x - 7$
Ответ: $-5x^n + x^3 + x - 7$.

2) Пусть искомый многочлен равен $P_2(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна 5. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_2(x) = 5$
Чтобы найти $P_2(x)$, вычтем данный многочлен из 5:
$P_2(x) = 5 - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_2(x) = 5 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_2(x) = -5x^n + x^3 + x + (5 - 7)$
$P_2(x) = -5x^n + x^3 + x - 2$
Ответ: $-5x^n + x^3 + x - 2$.

3) Пусть искомый многочлен равен $P_3(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна $2x - 6$. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_3(x) = 2x - 6$
Чтобы найти $P_3(x)$, вычтем данный многочлен из $2x - 6$:
$P_3(x) = (2x - 6) - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_3(x) = 2x - 6 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_3(x) = -5x^n + x^3 + (2x + x) + (-6 - 7)$
$P_3(x) = -5x^n + x^3 + 3x - 13$
Ответ: $-5x^n + x^3 + 3x - 13$.

4) Пусть искомый многочлен равен $P_4(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна $x^3 - 3x + 2$. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_4(x) = x^3 - 3x + 2$
Чтобы найти $P_4(x)$, вычтем данный многочлен из $x^3 - 3x + 2$:
$P_4(x) = (x^3 - 3x + 2) - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_4(x) = x^3 - 3x + 2 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_4(x) = -5x^n + (x^3 + x^3) + (-3x + x) + (2 - 7)$
$P_4(x) = -5x^n + 2x^3 - 2x - 5$
Ответ: $-5x^n + 2x^3 - 2x - 5$.

5) Пусть искомый многочлен равен $P_5(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна $x^n + 1$. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_5(x) = x^n + 1$
Чтобы найти $P_5(x)$, вычтем данный многочлен из $x^n + 1$:
$P_5(x) = (x^n + 1) - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_5(x) = x^n + 1 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_5(x) = (x^n - 5x^n) + x^3 + x + (1 - 7)$
$P_5(x) = -4x^n + x^3 + x - 6$
Ответ: $-4x^n + x^3 + x - 6$.