Страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.46. Одна сторона треугольника равна $a+b$, вторая сторона на $a-6$ больше первой, а третья сторона равна $2b+6$. Найдите периметр треугольника.

Для нахождения периметра треугольника необходимо сложить длины всех его сторон.

1. Определим длины сторон треугольника.

Первая сторона по условию равна: $a+b$.

Вторая сторона на $a-6$ больше первой. Чтобы найти ее длину, к длине первой стороны прибавим выражение $a-6$:
$(a+b) + (a-6) = a+b+a-6 = 2a+b-6$.

Третья сторона по условию равна: $2b+6$.

2. Найдем периметр треугольника.

Периметр $P$ — это сумма длин всех трех сторон. Сложим полученные выражения:

$P = (a+b) + (2a+b-6) + (2b+6)$

3. Упростим выражение для периметра.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P = a+b+2a+b-6+2b+6 = (a+2a) + (b+b+2b) + (-6+6) = 3a+4b$.

Ответ: $3a+4b$.

2.47. Найдите значение выражения:

$4.6x^2y - 2.2xy + 7y^2 - (7.8xy - 3.4x^2y + 7y^2)$ при:

1) $x=2, y=5$;

2) $x=-2, y=3$.

Для начала упростим данное алгебраическое выражение. Это позволит сделать вычисления проще.

Исходное выражение:

$4,6x^2y - 2,2xy + 7y^2 - (7,8xy - 3,4x^2y + 7y^2)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$4,6x^2y - 2,2xy + 7y^2 - 7,8xy + 3,4x^2y - 7y^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4,6x^2y + 3,4x^2y) + (-2,2xy - 7,8xy) + (7y^2 - 7y^2)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов при подобных членах:

$8x^2y - 10xy + 0$

Упрощенное выражение выглядит так:

$8x^2y - 10xy$

Теперь будем подставлять значения переменных в это упрощенное выражение.

1) при x=2, y=5;

Подставим $x=2$ и $y=5$ в выражение $8x^2y - 10xy$:

$8 \cdot (2)^2 \cdot 5 - 10 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 4 \cdot 5 - 100 = 32 \cdot 5 - 100 = 160 - 100 = 60$.

Ответ: 60

2) при x=-2, y=3.

Подставим $x=-2$ и $y=3$ в выражение $8x^2y - 10xy$:

$8 \cdot (-2)^2 \cdot 3 - 10 \cdot (-2) \cdot 3 = 8 \cdot 4 \cdot 3 - (-60) = 32 \cdot 3 + 60 = 96 + 60 = 156$.

Ответ: 156

2.48. Представьте выражение $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы двух многочленов так, чтобы одно из слагаемых было равно:

1) $x^3+4$;

2) $2x^3-x^2-x$.

Чтобы представить исходный многочлен $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы двух многочленов, один из которых задан, необходимо найти второй многочлен. Для этого из исходного многочлена нужно вычесть заданный многочлен.

1)

Требуется представить многочлен $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы, где одно из слагаемых равно $x^3+4$. Обозначим искомый второй многочлен как $P(x)$. Тогда должно выполняться равенство:

$(x^3+4) + P(x) = 3x^3-2x^2-x+4$

Чтобы найти $P(x)$, вычтем из исходного многочлена заданное слагаемое:

$P(x) = (3x^3-2x^2-x+4) - (x^3+4)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$P(x) = 3x^3-2x^2-x+4 - x^3 - 4 = (3x^3 - x^3) - 2x^2 - x + (4 - 4) = 2x^3 - 2x^2 - x$

Таким образом, искомое представление в виде суммы двух многочленов выглядит так:

$(x^3+4) + (2x^3-2x^2-x)$

Ответ: $(x^3+4) + (2x^3-2x^2-x)$.

2)

Требуется представить многочлен $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы, где одно из слагаемых равно $2x^3-x^2-x$. Обозначим искомый второй многочлен как $Q(x)$. Тогда должно выполняться равенство:

$(2x^3-x^2-x) + Q(x) = 3x^3-2x^2-x+4$

Чтобы найти $Q(x)$, вычтем из исходного многочлена заданное слагаемое:

$Q(x) = (3x^3-2x^2-x+4) - (2x^3-x^2-x)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$Q(x) = 3x^3-2x^2-x+4 - 2x^3 + x^2 + x = (3x^3 - 2x^3) + (-2x^2 + x^2) + (-x + x) + 4 = x^3 - x^2 + 4$

Таким образом, искомое представление в виде суммы двух многочленов выглядит так:

$(2x^3-x^2-x) + (x^3-x^2+4)$

Ответ: $(2x^3-x^2-x) + (x^3-x^2+4)$.

2.49. Пусть $x=2a^2-3ab-b^2$, $y=-a^2+2ab+b^2$, $z=4a^2+2ab$. Подставьте эти многочлены вместо x, y, и z в данное выражение и упростите его:

1) $x+y+z$;

2) $x-y-z$;

3) $-x-y+z$.

Даны многочлены:
$x = 2a^2 - 3ab - b^2$
$y = -a^2 + 2ab + b^2$
$z = 4a^2 + 2ab$

1) Подставим многочлены в выражение $x+y+z$ и упростим его.
$x+y+z = (2a^2 - 3ab - b^2) + (-a^2 + 2ab + b^2) + (4a^2 + 2ab)$
Раскроем скобки:
$2a^2 - 3ab - b^2 - a^2 + 2ab + b^2 + 4a^2 + 2ab$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 - a^2 + 4a^2) + (-3ab + 2ab + 2ab) + (-b^2 + b^2) = 5a^2 + ab + 0 = 5a^2 + ab$
Ответ: $5a^2+ab$.

2) Подставим многочлены в выражение $x-y-z$ и упростим его.
$x-y-z = (2a^2 - 3ab - b^2) - (-a^2 + 2ab + b^2) - (4a^2 + 2ab)$
Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй и третьей скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные:
$2a^2 - 3ab - b^2 + a^2 - 2ab - b^2 - 4a^2 - 2ab$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 + a^2 - 4a^2) + (-3ab - 2ab - 2ab) + (-b^2 - b^2) = -a^2 - 7ab - 2b^2$
Ответ: $-a^2-7ab-2b^2$.

3) Подставим многочлены в выражение $-x-y+z$ и упростим его.
$-x-y+z = -(2a^2 - 3ab - b^2) - (-a^2 + 2ab + b^2) + (4a^2 + 2ab)$
Раскроем скобки, меняя знаки там, где это необходимо:
$-2a^2 + 3ab + b^2 + a^2 - 2ab - b^2 + 4a^2 + 2ab$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-2a^2 + a^2 + 4a^2) + (3ab - 2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 3a^2 + 3ab + 0 = 3a^2 + 3ab$
Ответ: $3a^2+3ab$.

2.50. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

1) $a^3+2a^2-3a-5$;

2) $4x^4+2a^3+5a^2-4$.

1) Требуется представить выражение $a^3+2a^2-3a-5$ в виде разности двучлена и трехчлена. Это можно сделать различными способами. Рассмотрим один из них.

Сначала сгруппируем два любых члена исходного многочлена, чтобы сформировать будущий двучлен. Возьмем, к примеру, первые два члена: $a^3+2a^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать, выделив эту группу: $(a^3+2a^2) + (-3a-5)$.

Чтобы получить разность, как того требует условие, вынесем знак минус из второй скобки:

$(a^3+2a^2) - (3a+5)$

Теперь у нас есть разность двух двучленов: $(a^3+2a^2)$ и $(3a+5)$. Нам нужно, чтобы вычитаемое было трехчленом. Для этого представим двучлен $(3a+5)$ в виде трехчлена. Это можно сделать, разбив один из его членов на два. Например, можно представить $3a$ как $a+2a$, или $5$ как $1+4$. Воспользуемся вторым вариантом:

$3a+5 = 3a+1+4$

Теперь $(3a+1+4)$ является трехчленом. Подставим его в наше выражение:

$(a^3+2a^2) - (3a+1+4)$

Мы представили исходное выражение в виде разности двучлена $(a^3+2a^2)$ и трехчлена $(3a+1+4)$.

Проверим правильность преобразования: $(a^3+2a^2) - (3a+1+4) = a^3+2a^2 - (3a+5) = a^3+2a^2-3a-5$. Преобразование верное.

Ответ: $(a^3+2a^2) - (3a+1+4)$

2) Аналогично поступим с выражением $4x^4+2a^3+5a^2-4$.

Сначала сгруппируем два члена, чтобы получить двучлен. Например, возьмем $4x^4$ и $5a^2$.

Тогда исходное выражение можно записать так: $(4x^4+5a^2) + (2a^3-4)$.

Преобразуем сумму в разность:

$(4x^4+5a^2) - (-2a^3+4)$

Теперь нам нужно представить двучлен $(-2a^3+4)$ в виде трехчлена. Разобьем один из его членов, например, $4$ на $1+3$.

$-2a^3+4 = -2a^3+1+3$

Подставим получившийся трехчлен в наше выражение:

$(4x^4+5a^2) - (-2a^3+1+3)$

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде разности двучлена $(4x^4+5a^2)$ и трехчлена $(-2a^3+1+3)$.

Проверим правильность преобразования: $(4x^4+5a^2) - (-2a^3+1+3) = 4x^4+5a^2 - (-2a^3+4) = 4x^4+5a^2+2a^3-4$. Преобразование верное.

Ответ: $(4x^4+5a^2) - (-2a^3+1+3)$

2.51. Какой многочлен нужно подставить вместо А, чтобы следующее равенство оказалось тождеством:

1) $A+(6x^2-3xy)=8x^2+7xy-y^2$;

2) $A-(8a^n-2b^m+c)=4a^n+5b^m+c$;

3) $3x^{n+1}+10x^n-7x-A=5?$

1) Чтобы данное равенство было тождеством, нам нужно найти многочлен A. Это можно сделать, выразив A из уравнения. В данном случае A является одним из слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Исходное уравнение: $A + (6x^2 - 3xy) = 8x^2 + 7xy - y^2$

Выразим A:

$A = (8x^2 + 7xy - y^2) - (6x^2 - 3xy)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$A = 8x^2 + 7xy - y^2 - 6x^2 + 3xy$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$A = (8x^2 - 6x^2) + (7xy + 3xy) - y^2$

$A = 2x^2 + 10xy - y^2$

Ответ: $A = 2x^2 + 10xy - y^2$

2) В этом равенстве многочлен A является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Исходное уравнение: $A - (8a^n - 2b^m + c) = 4a^n + 5b^m + c$

Выразим A:

$A = (4a^n + 5b^m + c) + (8a^n - 2b^m + c)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки внутри нее не меняются:

$A = 4a^n + 5b^m + c + 8a^n - 2b^m + c$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$A = (4a^n + 8a^n) + (5b^m - 2b^m) + (c + c)$

$A = 12a^n + 3b^m + 2c$

Ответ: $A = 12a^n + 3b^m + 2c$

3) В данном уравнении A является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Исходное уравнение: $3x^{n+1} + 10x^n - 7x - A = 5$

Выразим A. Для этого можно перенести A в правую часть равенства (сменив знак на плюс), а число 5 перенести в левую часть (сменив знак на минус):

$3x^{n+1} + 10x^n - 7x - 5 = A$

Или, что то же самое:

$A = 3x^{n+1} + 10x^n - 7x - 5$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому он является окончательным ответом.

Ответ: $A = 3x^{n+1} + 10x^n - 7x - 5$

2.52. Какой многочлен в сумме с многочленом $5x^n - x^3 - x + 7$ тождественно равен:

1) $0$;

2) $5$;

3) $2x-6$;

4) $x^3-3x+2$;

5) $x^n+1$?

1) Пусть искомый многочлен равен $P_1(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна 0. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_1(x) = 0$
Чтобы найти $P_1(x)$, вычтем данный многочлен из 0:
$P_1(x) = 0 - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_1(x) = -5x^n + x^3 + x - 7$
Ответ: $-5x^n + x^3 + x - 7$.

2) Пусть искомый многочлен равен $P_2(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна 5. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_2(x) = 5$
Чтобы найти $P_2(x)$, вычтем данный многочлен из 5:
$P_2(x) = 5 - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_2(x) = 5 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_2(x) = -5x^n + x^3 + x + (5 - 7)$
$P_2(x) = -5x^n + x^3 + x - 2$
Ответ: $-5x^n + x^3 + x - 2$.

3) Пусть искомый многочлен равен $P_3(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна $2x - 6$. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_3(x) = 2x - 6$
Чтобы найти $P_3(x)$, вычтем данный многочлен из $2x - 6$:
$P_3(x) = (2x - 6) - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_3(x) = 2x - 6 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_3(x) = -5x^n + x^3 + (2x + x) + (-6 - 7)$
$P_3(x) = -5x^n + x^3 + 3x - 13$
Ответ: $-5x^n + x^3 + 3x - 13$.

4) Пусть искомый многочлен равен $P_4(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна $x^3 - 3x + 2$. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_4(x) = x^3 - 3x + 2$
Чтобы найти $P_4(x)$, вычтем данный многочлен из $x^3 - 3x + 2$:
$P_4(x) = (x^3 - 3x + 2) - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_4(x) = x^3 - 3x + 2 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_4(x) = -5x^n + (x^3 + x^3) + (-3x + x) + (2 - 7)$
$P_4(x) = -5x^n + 2x^3 - 2x - 5$
Ответ: $-5x^n + 2x^3 - 2x - 5$.

5) Пусть искомый многочлен равен $P_5(x)$. По условию, сумма многочленов должна быть тождественно равна $x^n + 1$. Составим уравнение:
$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_5(x) = x^n + 1$
Чтобы найти $P_5(x)$, вычтем данный многочлен из $x^n + 1$:
$P_5(x) = (x^n + 1) - (5x^n - x^3 - x + 7)$
$P_5(x) = x^n + 1 - 5x^n + x^3 + x - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$P_5(x) = (x^n - 5x^n) + x^3 + x + (1 - 7)$
$P_5(x) = -4x^n + x^3 + x - 6$
Ответ: $-4x^n + x^3 + x - 6$.

2.53. Докажите, что многочлен, содержащий только четные степени одной и той же переменной, не меняет своего значения при изменении знака этой переменной на противоположный.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный многочлен $P(x)$, который содержит только четные степени переменной $x$.

Общий вид такого многочлена можно записать следующим образом: $$ P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2} + \dots + a_2x^2 + a_0 $$ где $a_{2n}, a_{2n-2}, \dots, a_0$ — некоторые числовые коэффициенты, а $2n, 2n-2, \dots, 2, 0$ — четные степени переменной $x$. (Свободный член $a_0$ можно рассматривать как $a_0x^0$, где 0 — четное число).

Теперь найдем значение этого многочлена, если заменить переменную $x$ на $-x$. Для этого подставим $-x$ в выражение для $P(x)$: $$ P(-x) = a_{2n}(-x)^{2n} + a_{2n-2}(-x)^{2n-2} + \dots + a_2(-x)^2 + a_0 $$

Рассмотрим произвольный член этого многочлена вида $a_{2k}x^{2k}$ и посмотрим, как он изменится при замене $x$ на $-x$. Получим $a_{2k}(-x)^{2k}$. Используем свойство степеней: $(-a)^m = (-1)^m \cdot a^m$. В нашем случае $m=2k$ является четным числом. $$ (-x)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot x^{2k} $$ Поскольку любое целое число $k$, умноженное на 2, дает четное число $2k$, то $(-1)^{2k}$ всегда равно 1. Это можно показать так: $$ (-1)^{2k} = ((-1)^2)^k = 1^k = 1 $$ Следовательно, для любой четной степени $2k$: $$ (-x)^{2k} = x^{2k} $$

Это означает, что каждый член многочлена не меняет своего значения при замене $x$ на $-x$:

• $a_{2n}(-x)^{2n} = a_{2n}x^{2n}$
• $a_{2n-2}(-x)^{2n-2} = a_{2n-2}x^{2n-2}$
• ...
• $a_2(-x)^2 = a_2x^2$
• $a_0$ не изменяется.

Таким образом, выражение для $P(-x)$ будет выглядеть так: $$ P(-x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2} + \dots + a_2x^2 + a_0 $$ Сравнивая это выражение с исходным выражением для $P(x)$, мы видим, что они идентичны: $$ P(-x) = P(x) $$ Это доказывает, что значение многочлена, содержащего только четные степени переменной, не меняется при изменении знака этой переменной на противоположный. Такие функции называются четными.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку для любого члена вида $ax^{2k}$ выполняется равенство $a(-x)^{2k} = ax^{2k}$, то и для всего многочлена, являющегося суммой таких членов, выполняется равенство $P(-x) = P(x)$, что и требовалось доказать.

2.54. Найдите наименьшее числовое значение суммы:

1) $1 + 2x^2 + (x^4 - x^2 + 1);$

2) $4a^2 - 4 - (5 + 3a^2) + (a^4 - a^2).$

1)

Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$1 + 2x^2 + (x^4 - x^2 + 1) = 1 + 2x^2 + x^4 - x^2 + 1 = x^4 + (2x^2 - x^2) + (1 + 1) = x^4 + x^2 + 2$.

Чтобы найти наименьшее числовое значение полученного выражения $x^4 + x^2 + 2$, заметим, что для любого действительного числа $x$ значения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными, то есть $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных чисел минимальна, когда каждое слагаемое минимально. Наименьшее значение для $x^4$ и $x^2$ достигается при $x = 0$. Таким образом, наименьшее значение всего выражения будет:

$0^4 + 0^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

Ответ: 2

2)

Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$4a^2 - 4 - (5 + 3a^2) + (a^4 - a^2) = 4a^2 - 4 - 5 - 3a^2 + a^4 - a^2$.

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$a^4 + (4a^2 - 3a^2 - a^2) + (-4 - 5) = a^4 + 0 \cdot a^2 - 9 = a^4 - 9$.

Чтобы найти наименьшее числовое значение выражения $a^4 - 9$, учтем, что для любого действительного числа $a$ значение $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$). Наименьшее значение $a^4$ равно 0 и достигается при $a = 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно:

$0 - 9 = -9$.

Ответ: -9

2.55. Решите уравнение относительно переменной x:

1) $x^2 - (x + m) - (x^2 - 2x - 3m) = 0$;

2) $(6x - 4a) - (2x^2 + x) + (2x^2 - a) = 0$;

3) $(5x^2 + 2x - p) - (3p - 2x + 5x^2) = 0$;

4) $(x - a - b) + (2x + 3a + b) = (2a - b) - (2a - 5b)$.

1) Раскроем скобки в уравнении $x^2 - (x + m) - (x^2 - 2x - 3m) = 0$. Перед скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$x^2 - x - m - x^2 + 2x + 3m = 0$.
Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(x^2 - x^2) + (-x + 2x) + (-m + 3m) = 0$
$x + 2m = 0$
Перенесем $2m$ в правую часть уравнения, чтобы выразить $x$:
$x = -2m$
Ответ: $x = -2m$.

2) Раскроем скобки в уравнении $(6x - 4a) - (2x^2 + x) + (2x^2 - a) = 0$.
$6x - 4a - 2x^2 - x + 2x^2 - a = 0$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(-2x^2 + 2x^2) + (6x - x) + (-4a - a) = 0$
$5x - 5a = 0$
Перенесем $-5a$ в правую часть и разделим обе части на 5:
$5x = 5a$
$x = a$
Ответ: $x = a$.

3) Раскроем скобки в уравнении $(5x^2 + 2x - p) - (3p - 2x + 5x^2) = 0$.
$5x^2 + 2x - p - 3p + 2x - 5x^2 = 0$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $5x^2$ взаимно уничтожаются:
$(5x^2 - 5x^2) + (2x + 2x) + (-p - 3p) = 0$
$4x - 4p = 0$
Перенесем $-4p$ в правую часть и разделим обе части на 4:
$4x = 4p$
$x = p$
Ответ: $x = p$.

4) Раскроем скобки в обеих частях уравнения $(x - a - b) + (2x + 3a + b) = (2a - b) - (2a - 5b)$.
$x - a - b + 2x + 3a + b = 2a - b - 2a + 5b$.
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения по отдельности.
В левой части: $(x + 2x) + (-a + 3a) + (-b + b) = 3x + 2a$.
В правой части: $(2a - 2a) + (-b + 5b) = 4b$.
Получаем уравнение:
$3x + 2a = 4b$
Перенесем $2a$ в правую часть уравнения:
$3x = 4b - 2a$
Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{4b - 2a}{3}$
Ответ: $x = \frac{4b - 2a}{3}$.