Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Приведите одночлен к стандартному виду:

1) $(2a^2) \cdot \frac{1}{4} a^2;$

2) $(-3b^4)^5 \cdot \frac{1}{27} b^3;$

3) $(-5a^3b^2)^2 \cdot (-0,2a^2b^3)^{-1}.$

1) Чтобы привести одночлен $(2a^2) \cdot \frac{1}{4}a^2$ к стандартному виду, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Перемножим числовые коэффициенты:

$2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Перемножим степени с основанием $a$, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^2 \cdot a^2 = a^{2+2} = a^4$

Объединим полученные результаты, чтобы получить одночлен в стандартном виде.

Ответ: $\frac{1}{2}a^4$.

2) Рассмотрим выражение $(-3b^4)^5 \cdot \frac{1}{27}b^3$.

Сначала возведем в степень первый множитель, используя свойства степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(-3b^4)^5 = (-3)^5 \cdot (b^4)^5 = -243 \cdot b^{4 \cdot 5} = -243b^{20}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель: $(-243b^{20}) \cdot (\frac{1}{27}b^3)$.

Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

Коэффициенты: $-243 \cdot \frac{1}{27} = -\frac{243}{27} = -9$.

Степени: $b^{20} \cdot b^3 = b^{20+3} = b^{23}$.

Объединим результаты.

Ответ: $-9b^{23}$.

3) Рассмотрим выражение $(-5a^3b^2)^2 \cdot (-0,2a^2b^3)^{-1}$.

Сначала упростим каждый множитель по отдельности.

Упростим первый множитель, возведя его в квадрат:

$(-5a^3b^2)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25a^{3 \cdot 2}b^{2 \cdot 2} = 25a^6b^4$.

Упростим второй множитель. Степень $-1$ означает обратное число, то есть $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Представим десятичную дробь $-0,2$ в виде обыкновенной: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$(-0,2a^2b^3)^{-1} = \frac{1}{-0,2a^2b^3} = \frac{1}{-\frac{1}{5}a^2b^3} = -5 \cdot \frac{1}{a^2b^3}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(25a^6b^4) \cdot (-5 \cdot \frac{1}{a^2b^3}) = (25 \cdot -5) \cdot (\frac{a^6}{a^2}) \cdot (\frac{b^4}{b^3})$

Перемножим коэффициенты: $25 \cdot (-5) = -125$.

Разделим степени с основанием $a$, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^6}{a^2} = a^{6-2} = a^4$.

Разделим степени с основанием $b$:

$\frac{b^4}{b^3} = b^{4-3} = b^1 = b$.

Объединим все части.

Ответ: $-125a^4b$.

2.57. Докажите, что произведение двух последовательных четных чисел кратно 4.

Для доказательства данного утверждения представим два последовательных четных числа в общем алгебраическом виде.

Любое четное число по определению делится на 2, поэтому его можно записать в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Пусть первое из двух последовательных четных чисел равно $2k$. Тогда следующее за ним четное число будет на 2 больше, то есть его можно записать как $2k + 2$.

Найдем произведение этих двух чисел:

$P = (2k) \cdot (2k + 2)$

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$P = 2k \cdot 2(k + 1)$

Перемножим коэффициенты:

$P = 4k(k + 1)$

Полученное выражение $4k(k+1)$ содержит множитель 4. Так как $k$ является целым числом, то $k+1$ также является целым числом. Произведение $k(k+1)$ — это целое число. Обозначим это произведение как $m$, то есть $m = k(k+1)$.

Тогда произведение двух последовательных четных чисел можно записать как $P = 4m$, где $m$ — целое число. Это означает, что произведение всегда делится на 4 без остатка, то есть кратно 4.

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

$\left( \frac{3\frac{1}{3}+2,5}{2,5-1\frac{1}{3}} \cdot \frac{4,6-2\frac{1}{3}}{4,6+2\frac{1}{3}} \right) \cdot 5,2 : \left( \frac{0,5}{\frac{1}{7}-0,125} - 19,5 \right)$

Для решения данного примера выполним его по действиям, предварительно преобразовав все смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные.

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$4,6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$5,2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}$
$0,5 = \frac{1}{2}$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
$19,5 = \frac{195}{10} = \frac{39}{2}$

1) Сначала выполним действия в первых скобках. Вычислим значение каждой дроби, а затем перемножим их.

Первая дробь:

$\frac{3\frac{1}{3}+2,5}{2,5-1\frac{1}{3}} = \frac{\frac{10}{3}+\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}} = \frac{\frac{10 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6}}{\frac{5 \cdot 3 - 4 \cdot 2}{6}} = \frac{\frac{20+15}{6}}{\frac{15-8}{6}} = \frac{\frac{35}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{35}{6} \cdot \frac{6}{7} = 5$

Вторая дробь:

$\frac{4,6-2\frac{1}{3}}{4,6+2\frac{1}{3}} = \frac{\frac{23}{5}-\frac{7}{3}}{\frac{23}{5}+\frac{7}{3}} = \frac{\frac{23 \cdot 3 - 7 \cdot 5}{15}}{\frac{23 \cdot 3 + 7 \cdot 5}{15}} = \frac{\frac{69-35}{15}}{\frac{69+35}{15}} = \frac{\frac{34}{15}}{\frac{104}{15}} = \frac{34}{104} = \frac{17}{52}$

Произведение дробей:

$5 \cdot \frac{17}{52} = \frac{85}{52}$

2) Теперь выполним умножение результата из первых скобок на 5,2.

$\frac{85}{52} \cdot 5,2 = \frac{85}{52} \cdot \frac{52}{10} = \frac{85}{10} = \frac{17}{2}$

3) Далее вычислим значение выражения во вторых скобках.

$\frac{0,5}{\frac{1}{7}-0,125}-19,5 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{7}-\frac{1}{8}} - 19,5 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{8-7}{56}} - 19,5 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{56}} - 19,5 = (\frac{1}{2} \cdot 56) - 19,5 = 28 - 19,5 = 8,5 = \frac{17}{2}$

4) В последнем действии выполним деление.

$\frac{17}{2} : \frac{17}{2} = 1$

Ответ: $1$

2.59. В школе с целью поощрения 12 ученикам младшего звена решили купить наборы акварельных красок и цветных карандашей. В магазине набор акварельных красок стоит 210 тенге, а набор карандашей – 120 тенге. Какое наибольшее количество наборов красок можно купить, чтобы суммарная цена покупки не превышала 1960 тенге?

Для решения этой задачи необходимо определить, какое максимальное количество наборов красок можно приобрести, соблюдая два основных условия: общее количество подарков и общий бюджет.

Пусть $x$ — количество наборов акварельных красок, а $y$ — количество наборов цветных карандашей. Подарки предназначены для 12 учеников. Наиболее логичное предположение заключается в том, что каждый ученик получает по одному набору, то есть общее количество наборов равно 12. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 12$

Из этого уравнения мы можем выразить количество наборов карандашей через количество наборов красок:

$y = 12 - x$

Стоимость одного набора красок составляет 210 тенге, а одного набора карандашей — 120 тенге. Общая стоимость покупки не должна превышать 1960 тенге. Составим неравенство, отражающее это условие:

$210x + 120y \le 1960$

Теперь подставим выражение для $y$ в это неравенство, чтобы получить зависимость только от $x$:

$210x + 120(12 - x) \le 1960$

Решим полученное неравенство, чтобы найти максимально возможное значение $x$:

$210x + 120 \times 12 - 120x \le 1960$

$210x + 1440 - 120x \le 1960$

Сгруппируем члены с $x$:

$(210 - 120)x + 1440 \le 1960$

$90x \le 1960 - 1440$

$90x \le 520$

Теперь найдем $x$:

$x \le \frac{520}{90}$

$x \le \frac{52}{9}$

$x \le 5.777...$

Поскольку количество наборов ($x$) может быть только целым числом, то наибольшее возможное значение для $x$ — это 5.

Проверим: если купить 5 наборов красок ($x=5$), то наборов карандашей будет $y = 12 - 5 = 7$. Суммарная стоимость составит: $5 \times 210 + 7 \times 120 = 1050 + 840 = 1890$ тенге. Эта сумма ($1890$ тенге) не превышает бюджет в $1960$ тенге. Если же попытаться купить 6 наборов красок, то стоимость составит $6 \times 210 + 6 \times 120 = 1260 + 720 = 1980$ тенге, что больше выделенного бюджета.

Таким образом, наибольшее количество наборов красок, которое можно купить, равно 5.

Ответ: 5.

2.60. Может ли у уравнения $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 2 = 0$ быть отрицательный корень? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы ответить на вопрос, может ли уравнение $x⁴ - 3x³ + 4x² - x + 2 = 0$ иметь отрицательный корень, проанализируем левую часть уравнения при $x < 0$.

Предположим, что у уравнения есть отрицательный корень $x$. Это означает, что $x < 0$.
Рассмотрим знаки каждого слагаемого в левой части уравнения для $x < 0$:

• $x⁴$: Так как $x$ - отрицательное число, а показатель степени 4 - четное число, то $x⁴$ будет положительным числом ($x⁴ > 0$).
• $-3x³$: Так как $x$ - отрицательное число, а показатель степени 3 - нечетное число, то $x³$ будет отрицательным числом ($x³ < 0$). При умножении на отрицательное число -3, результат становится положительным ($-3x³ > 0$).
• $4x²$: Так как $x$ - отрицательное число, а показатель степени 2 - четное число, то $x²$ будет положительным числом ($x² > 0$). При умножении на 4, результат также остается положительным ($4x² > 0$).
• $-x$: Так как $x$ - отрицательное число, то $-x$ будет положительным числом ($-x > 0$).
• $+2$: Это слагаемое является положительной константой.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых:

$\underbrace{x⁴}_{>0} \underbrace{-3x³}_{>0} + \underbrace{4x²}_{>0} \underbrace{-x}_{>0} + \underbrace{2}_{>0}$

Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. Это означает, что для любого $x < 0$ значение выражения $x⁴ - 3x³ + 4x² - x + 2$ будет строго больше нуля, и, следовательно, оно не может равняться нулю.

Вывод: Уравнение не имеет отрицательных корней.

Ответ: Нет, у уравнения $x⁴ - 3x³ + 4x² - x + 2 = 0$ не может быть отрицательных корней, так как при подстановке любого отрицательного числа в левую часть уравнения получается строго положительное значение.