Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение многочлена.

2. Какие одночлены называются подобными членами?

3. Как вы понимаете смысл выражения «Приведите подобные члены многочлена»?

4. Что называется степенью многочлена?

5. Как привести многочлен к стандартному виду?

6. Сформулируйте правило сложения и правило вычитания многочленов.

1. Дайте определение многочлена. Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Например, в многочлене $7x^4 - 5x^2y^2 + 3xy - 1$ членами являются одночлены $7x^4$, $-5x^2y^2$, $3xy$ и $-1$. Важно отметить, что любой одночлен также можно считать многочленом, состоящим из одного члена.
Ответ: Многочлен — это сумма одночленов.

2. Какие одночлены называются подобными членами? Подобными членами (или просто подобными) называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть содержат одни и те же переменные, возведенные в одинаковые степени. Подобные члены могут отличаться только своими числовыми коэффициентами либо быть полностью одинаковыми. Например, одночлены $3a^2b$ и $-15a^2b$ являются подобными, так как их буквенная часть $a^2b$ совпадает. А одночлены $5xy^2$ и $5x^2y$ подобными не являются, так как степени переменных $x$ и $y$ у них различны.
Ответ: Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью.

3. Как вы понимаете смысл выражения «Приведите подобные члены многочлена»? Выражение «Приведите подобные члены многочлена» (или «упростите многочлен») означает выполнение действия сложения и вычитания всех подобных членов, входящих в состав многочлена. Эта операция называется приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Например, в многочлене $\underline{4x^2} - \underline{\underline{2xy}} + \underline{3x^2} + \underline{\underline{5xy}} - 7$ подобными являются члены $4x^2$ и $3x^2$, а также $-2xy$ и $5xy$. Приведение подобных членов дает: $(4+3)x^2 + (-2+5)xy - 7 = 7x^2 + 3xy - 7$.
Ответ: Это означает, что нужно сложить все подобные члены в многочлене, то есть сложить их коэффициенты, оставив общую буквенную часть неизменной.

4. Что называется степенью многочлена? Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в его состав. Степенью одночлена, в свою очередь, является сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если многочлен состоит из одного числа (отличного от нуля), его степень считается равной нулю. Чтобы найти степень многочлена, его сначала нужно привести к стандартному виду. Например, для многочлена $8x^3y^2 - 3x^6 + 5xy$ степени его членов равны $3+2=5$, $6$ и $1+1=2$. Наибольшая из них — 6, следовательно, степень всего многочлена равна 6.
Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней его членов.

5. Как привести многочлен к стандартному виду? Многочлен считается записанным в стандартном виде, если все его члены являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Каждый член многочлена представить в стандартном виде (то есть записать числовой коэффициент на первом месте, а переменные в алфавитном порядке).
2. Привести подобные члены (сложить или вычесть их).
Например, приведём к стандартному виду многочлен $3x \cdot 2y^2 - 5x^2y + 8y^2x$.
1. Приводим члены к стандартному виду: $6xy^2 - 5x^2y + 8xy^2$.
2. Приводим подобные члены ($6xy^2$ и $8xy^2$): $(6+8)xy^2 - 5x^2y = 14xy^2 - 5x^2y$.
Часто члены многочлена стандартного вида располагают в порядке убывания их степеней.
Ответ: Нужно каждый член многочлена записать в стандартном виде, а затем сложить все подобные члены.

6. Сформулируйте правило сложения и правило вычитания многочленов. Правило сложения: чтобы сложить два многочлена, нужно составить новый многочлен, членами которого являются все члены исходных многочленов, а затем привести подобные члены в полученном многочлене. На практике это означает, что нужно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+» (не меняя знаков слагаемых в скобках), и привести подобные слагаемые.
Пример: $(2x^2 + 5y) + (4x^2 - 3y) = 2x^2 + 5y + 4x^2 - 3y = 6x^2 + 2y$.
Правило вычитания: чтобы вычесть один многочлен из другого, нужно составить новый многочлен, членами которого являются все члены первого многочлена и все члены второго многочлена, взятые с противоположными знаками, а затем привести подобные члены. На практике это означает, что нужно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–» (изменив знак каждого слагаемого в скобках на противоположный), и привести подобные слагаемые.
Пример: $(5a^2 + b) - (2a^2 - 4b) = 5a^2 + b - 2a^2 + 4b = 3a^2 + 5b$.
Ответ: При сложении многочленов нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При вычитании нужно раскрыть скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и привести подобные члены.

2.29. Приведите подобные члены многочлена:

1) $5x-7xy+4xy;$

2) $2xy-7xy+6y^2;$

3) $2x^4-3x+4x^2-x^4+4x;$

4) $2ax-x^2+3ax-y^2+2x^2;$

5) $4mn-n^2+m^2-2mn;$

6) $8px+p^2-x^2+4p^2.$

1) В многочлене $5x-7xy+4xy$ подобными членами, то есть членами с одинаковой буквенной частью, являются $-7xy$ и $4xy$. Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты и умножить на общую буквенную часть. Член $5x$ не имеет подобных.
$5x-7xy+4xy = 5x + (-7+4)xy = 5x - 3xy$.
Ответ: $5x-3xy$

2) В многочлене $2xy-7xy+6y^2$ подобными членами являются $2xy$ и $-7xy$. Сложим их, выполнив действие с коэффициентами: $2-7=-5$. Член $6y^2$ не имеет подобных.
$2xy-7xy+6y^2 = (2-7)xy + 6y^2 = -5xy+6y^2$.
Ответ: $-5xy+6y^2$

3) В многочлене $2x^4-3x+4x^2-x^4+4x$ есть две группы подобных членов: члены со степенью $x^4$ ($2x^4$ и $-x^4$) и члены со степенью $x$ ($-3x$ и $4x$). Сгруппируем и приведем их.
$2x^4-3x+4x^2-x^4+4x = (2x^4-x^4) + (4x-3x) + 4x^2 = (2-1)x^4 + (4-3)x + 4x^2 = x^4 + x + 4x^2$.
Для стандартного вида многочлена расположим члены в порядке убывания степеней переменной.
Ответ: $x^4+4x^2+x$

4) В многочлене $2ax-x^2+3ax-y^2+2x^2$ есть две группы подобных членов: члены с буквенной частью $ax$ ($2ax$ и $3ax$) и члены с буквенной частью $x^2$ ($-x^2$ и $2x^2$).
Сгруппируем их и выполним сложение:
$2ax-x^2+3ax-y^2+2x^2 = (2ax+3ax) + (2x^2-x^2) - y^2 = (2+3)ax + (2-1)x^2 - y^2 = 5ax+x^2-y^2$.
Ответ: $5ax+x^2-y^2$

5) В многочлене $4mn-n^2+m^2-2mn$ подобными являются члены $4mn$ и $-2mn$. Члены $-n^2$ и $m^2$ не имеют подобных.
Приведем подобные члены:
$4mn-n^2+m^2-2mn = (4mn-2mn) + m^2 - n^2 = (4-2)mn + m^2 - n^2 = 2mn+m^2-n^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены: $m^2+2mn-n^2$.
Ответ: $m^2+2mn-n^2$

6) В многочлене $8px+p^2-x^2+4p^2$ подобными являются члены $p^2$ и $4p^2$. Члены $8px$ и $-x^2$ не имеют подобных.
Приведем подобные члены:
$8px+p^2-x^2+4p^2 = 8px + (p^2+4p^2) - x^2 = 8px + (1+4)p^2 - x^2 = 8px+5p^2-x^2$.
Расположим члены в удобном порядке, например, по убыванию степеней переменной $p$: $5p^2+8px-x^2$.
Ответ: $5p^2+8px-x^2$

2.30. Приведите подобные члены многочлена:

1) $-x^4+3x^3-4x^4-2x^2-3x^2;$

2) $2m^4-3m^5+m^6+1-m^4+4m^5-m^6;$

3) $5a^2b-5ab^2-ab-2a^2b+10ab^2;$

4) $3mn^3-n^3m-5mn^3-n^3+m.$

1)
Чтобы привести подобные члены многочлена $-x^4+3x^3-4x^4-2x^2-3x^2$, нужно найти члены с одинаковой переменной частью и сложить их коэффициенты.
Сгруппируем подобные члены:
$(-x^4 - 4x^4) + 3x^3 + (-2x^2 - 3x^2)$
Теперь выполним действия в скобках:
$(-1 - 4)x^4 + 3x^3 + (-2 - 3)x^2 = -5x^4 + 3x^3 - 5x^2$
Ответ: $-5x^4 + 3x^3 - 5x^2$

2)
В многочлене $2m^4-3m^5+m^6+1-m^4+4m^5-m^6$ найдем и сгруппируем подобные члены. Для удобства расположим их по убыванию степеней.
$(m^6 - m^6) + (-3m^5 + 4m^5) + (2m^4 - m^4) + 1$
Сложим коэффициенты у подобных членов:
$(1 - 1)m^6 + (-3 + 4)m^5 + (2 - 1)m^4 + 1 = 0 \cdot m^6 + 1 \cdot m^5 + 1 \cdot m^4 + 1$
Так как член с коэффициентом 0 равен нулю, мы его не записываем.
Ответ: $m^5 + m^4 + 1$

3)
В многочлене $5a^2b-5ab^2-ab-2a^2b+10ab^2$ подобными являются члены с одинаковыми буквенными множителями и их степенями.
Сгруппируем подобные члены:
$(5a^2b - 2a^2b) + (-5ab^2 + 10ab^2) - ab$
Теперь сложим их коэффициенты:
$(5 - 2)a^2b + (-5 + 10)ab^2 - ab = 3a^2b + 5ab^2 - ab$
Ответ: $3a^2b + 5ab^2 - ab$

4)
В многочлене $3mn^3-n^3m-5mn^3-n^3+m$ учтем, что от перестановки множителей произведение не меняется, поэтому $n^3m$ и $mn^3$ являются подобными членами.
Сгруппируем подобные члены:
$(3mn^3 - n^3m - 5mn^3) - n^3 + m = (3mn^3 - 1mn^3 - 5mn^3) - n^3 + m$
Выполним действия с коэффициентами:
$(3 - 1 - 5)mn^3 - n^3 + m = -3mn^3 - n^3 + m$
Ответ: $-3mn^3 - n^3 + m$

2.31. Составьте сумму многочленов и упростите:

1) $5x$ и $3x+7$;

2) $8a$ и $1-3a$;

3) $-y$ и $y-1$;

4) $-5m$ и $-m-n$;

5) $2x-3y$ и $-y-x$;

6) $1.5a^2+2b^2$ и $2a^2-b^2$.

1) Чтобы составить сумму многочленов $5x$ и $3x+7$, нужно сложить их:
$5x + (3x+7)$
Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются:
$5x + 3x + 7$
Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сложим члены с одинаковой переменной:
$(5+3)x + 7 = 8x + 7$
Ответ: $8x+7$

2) Составляем сумму многочленов $8a$ и $1-3a$:
$8a + (1-3a)$
Раскрываем скобки:
$8a + 1 - 3a$
Группируем и складываем подобные слагаемые:
$(8a - 3a) + 1 = 5a + 1$
Ответ: $5a+1$

3) Составляем сумму многочленов $-y$ и $y-1$:
$-y + (y-1)$
Раскрываем скобки:
$-y + y - 1$
Приводим подобные слагаемые:
$(-1+1)y - 1 = 0 \cdot y - 1 = -1$
Ответ: $-1$

4) Составляем сумму многочленов $-5m$ и $-m-n$:
$-5m + (-m-n)$
Раскрываем скобки. Знак плюс перед скобкой не меняет знаки слагаемых внутри:
$-5m - m - n$
Приводим подобные слагаемые:
$(-5-1)m - n = -6m - n$
Ответ: $-6m-n$

5) Составляем сумму многочленов $2x-3y$ и $-y-x$:
$(2x-3y) + (-y-x)$
Раскрываем скобки:
$2x - 3y - y - x$
Группируем подобные слагаемые по переменным $x$ и $y$:
$(2x - x) + (-3y - y)$
Упрощаем каждую группу:
$x - 4y$
Ответ: $x-4y$

6) Составляем сумму многочленов $1,5a^2+2b^2$ и $2a^2-b^2$:
$(1,5a^2+2b^2) + (2a^2-b^2)$
Раскрываем скобки:
$1,5a^2+2b^2 + 2a^2-b^2$
Группируем подобные слагаемые (члены с $a^2$ и члены с $b^2$):
$(1,5a^2 + 2a^2) + (2b^2 - b^2)$
Упрощаем каждую группу:
$3,5a^2 + b^2$
Ответ: $3,5a^2+b^2$

2.32. Выполните сложение:

1) $8y + (3x + 5y)$;

2) $(4a + 2) + (-a - 1)$;

3) $(\frac{1}{2}m + \frac{3}{4}) + (2\frac{1}{2} - m)$;

4) $0.4b + (1.2b - 0.1)$;

5) $(15x + 2y) + (4x - 3y)$;

6) $(4p^2q - 3pq^2) + (-p^2q + 2pq^2)$.

1) Чтобы выполнить сложение $8y + (3x + 5y)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Поскольку перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются: $8y + 3x + 5y$. Подобными слагаемыми являются $8y$ и $5y$. Сгруппируем и сложим их: $(8y + 5y) + 3x = 13y + 3x$. Для стандартного вида многочлена запишем его в алфавитном порядке переменных: $3x + 13y$.
Ответ: $3x + 13y$

2) В выражении $(4a + 2) + (-a - 1)$ раскрываем скобки. Знаки слагаемых во второй скобке не меняются, так как перед ней стоит знак «+»: $4a + 2 - a - 1$. Группируем подобные слагаемые: $(4a - a) + (2 - 1)$. Выполняем действия: $3a + 1$.
Ответ: $3a + 1$

3) Для сложения $(\frac{1}{2}m + \frac{3}{4}) + (2\frac{1}{2} - m)$ раскроем скобки: $\frac{1}{2}m + \frac{3}{4} + 2\frac{1}{2} - m$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{1}{2}m - m) + (\frac{3}{4} + 2\frac{1}{2})$. Вычислим коэффициент при $m$: $\frac{1}{2}m - 1m = (\frac{1}{2} - 1)m = -\frac{1}{2}m$. Сложим свободные члены, предварительно представив смешанное число $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби $\frac{5}{2}$: $\frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{3}{4} + \frac{10}{4} = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$. Результат сложения: $-\frac{1}{2}m + 3\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}m + 3\frac{1}{4}$

4) В выражении $0,4b + (1,2b - 0,1)$ раскроем скобки: $0,4b + 1,2b - 0,1$. Приведем подобные слагаемые: $(0,4 + 1,2)b - 0,1 = 1,6b - 0,1$.
Ответ: $1,6b - 0,1$

5) Для сложения $(15x + 2y) + (4x - 3y)$ раскроем скобки: $15x + 2y + 4x - 3y$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(15x + 4x) + (2y - 3y)$. Выполняем действия: $19x - y$.
Ответ: $19x - y$

6) В выражении $(4p^2q - 3pq^2) + (-p^2q + 2pq^2)$ раскроем скобки: $4p^2q - 3pq^2 - p^2q + 2pq^2$. Сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью. Группируем слагаемые с $p^2q$ и с $pq^2$: $(4p^2q - p^2q) + (-3pq^2 + 2pq^2)$. Выполняем вычисления в каждой группе: $(4-1)p^2q + (-3+2)pq^2 = 3p^2q - 1pq^2 = 3p^2q - pq^2$.
Ответ: $3p^2q - pq^2$