Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) $xy \cdot (-7xy^2) \cdot 4x^2y;$

2) $10a^2b \cdot (-ab^2) \cdot 0,6a^3;$

3) $0,3m^2 \left(-\frac{1}{3}n^4m^6\right);$

4) $a^2b \cdot (-ab) \cdot (-ab^2).$

1) Чтобы упростить выражение $xy \cdot (-7xy^2) \cdot 4x^2y$, необходимо перемножить все числовые коэффициенты и степени переменных с одинаковыми основаниями.
Сгруппируем множители: $(1 \cdot (-7) \cdot 4) \cdot (x \cdot x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^2 \cdot y)$.
1. Перемножим числовые коэффициенты: $1 \cdot (-7) \cdot 4 = -28$.
2. Перемножим переменные $x$, используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$: $x^1 \cdot x^1 \cdot x^2 = x^{1+1+2} = x^4$.
3. Перемножим переменные $y$: $y^1 \cdot y^2 \cdot y^1 = y^{1+2+1} = y^4$.
4. Объединим полученные результаты в один одночлен: $-28x^4y^4$.
Ответ: $-28x^4y^4$

2) Упростим выражение $10a^2b \cdot (-ab^2) \cdot 0,6a^3$.
Сгруппируем множители: $(10 \cdot (-1) \cdot 0,6) \cdot (a^2 \cdot a \cdot a^3) \cdot (b \cdot b^2)$.
1. Перемножим коэффициенты: $10 \cdot (-1) \cdot 0,6 = -10 \cdot 0,6 = -6$.
2. Перемножим степени переменной $a$: $a^2 \cdot a^1 \cdot a^3 = a^{2+1+3} = a^6$.
3. Перемножим степени переменной $b$: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.
4. Соединим все части: $-6a^6b^3$.
Ответ: $-6a^6b^3$

3) Упростим выражение $0,3m^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}n^4m^6\right)$.
Сгруппируем множители: $\left(0,3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right) \cdot n^4 \cdot (m^2 \cdot m^6)$.
1. Перемножим коэффициенты. Для удобства представим $0,3$ как обыкновенную дробь $\frac{3}{10}$: $\frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 3} = -\frac{1}{10} = -0,1$.
2. Перемножим степени переменной $m$: $m^2 \cdot m^6 = m^{2+6} = m^8$.
3. Степень переменной $n$ остается без изменений, так как она встречается только один раз: $n^4$.
4. Объединим результаты: $-0,1n^4m^8$.
Ответ: $-0,1n^4m^8$

4) Упростим выражение $a^2b \cdot (-ab) \cdot (-ab^2)$.
Сгруппируем множители: $(1 \cdot (-1) \cdot (-1)) \cdot (a^2 \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b \cdot b^2)$.
1. Перемножим коэффициенты: $1 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$. Так как коэффициент равен 1, его можно не записывать в итоговом выражении.
2. Перемножим степени переменной $a$: $a^2 \cdot a^1 \cdot a^1 = a^{2+1+1} = a^4$.
3. Перемножим степени переменной $b$: $b^1 \cdot b^1 \cdot b^2 = b^{1+1+2} = b^4$.
4. Соединим все части: $a^4b^4$.
Ответ: $a^4b^4$

2.7. Выполните возведение в степень:

$1) (3a^2)^3;$ $3) (-m^2nk^3)^5;$ $5) (-3a^2b)^4;$

$2) (-2x^4y^2)^3;$ $4) (2ab^2)^2;$ $6) (-a^3b^3c)^2.$

1) Для возведения одночлена в степень используется правило: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень, т.е. $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. Также применяется правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В выражении $(3a^2)^3$ множители — это 3 и $a^2$, а показатель степени — 3.

Выполним вычисления поэтапно:
$(3a^2)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 = 27 \cdot a^{2 \cdot 3} = 27a^6$.

Ответ: $27a^6$.

2) Возводим в куб одночлен $(-2x^4y^2)$. Каждый множитель (коэффициент -2, переменная $x^4$ и переменная $y^2$) возводится в степень 3. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат сохраняет знак минус.

$(-2x^4y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^2)^3 = -8 \cdot x^{4 \cdot 3} \cdot y^{2 \cdot 3} = -8x^{12}y^6$.

Ответ: $-8x^{12}y^6$.

3) Возводим в пятую степень одночлен $(-m^2nk^3)$. Множители здесь: -1, $m^2$, $n$ (в первой степени, $n=n^1$) и $k^3$. Показатель степени — 5, это нечетное число, поэтому знак минус у итогового выражения сохранится, так как $(-1)^5 = -1$.

$(-m^2nk^3)^5 = (-1)^5 \cdot (m^2)^5 \cdot n^5 \cdot (k^3)^5 = -1 \cdot m^{2 \cdot 5} \cdot n^{1 \cdot 5} \cdot k^{3 \cdot 5} = -m^{10}n^5k^{15}$.

Ответ: $-m^{10}n^5k^{15}$.

4) Возводим в квадрат (во вторую степень) одночлен $(2ab^2)$. Множители 2, $a$ (в первой степени, $a=a^1$) и $b^2$ возводятся в квадрат.

$(2ab^2)^2 = 2^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot a^2 \cdot b^{2 \cdot 2} = 4a^2b^4$.

Ответ: $4a^2b^4$.

5) Возводим одночлен $(-3a^2b)$ в четвертую степень. Показатель степени — 4, это четное число. При возведении отрицательного коэффициента (-3) в четную степень результат будет положительным, так как $(-3)^4 = 81$.

$(-3a^2b)^4 = (-3)^4 \cdot (a^2)^4 \cdot b^4 = 81 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b^{1 \cdot 4} = 81a^8b^4$.

Ответ: $81a^8b^4$.

6) Возводим в квадрат одночлен $(-a^3b^3c)$. Показатель степени — 2, это четное число. Поэтому знак минус при возведении в степень исчезнет, так как неявный коэффициент (-1) в квадрате дает 1: $(-1)^2 = 1$.

$(-a^3b^3c)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot c^2 = 1 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \cdot c^{1 \cdot 2} = a^6b^6c^2$.

Ответ: $a^6b^6c^2$.

2.8. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

1) $16a^4$;

2) $169x^6$;

3) $0,04b^{12}$;

4) $\frac{9}{4}m^6$.

1) Чтобы представить выражение $16a^4$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого извлечем квадратный корень из каждого множителя выражения.

Коэффициент равен $16$. Квадратный корень из $16$ равен $4$, так как $4^2 = 16$.

Переменная часть равна $a^4$. Чтобы найти ее квадратный корень, используем свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такое выражение, чтобы $(a^k)^2 = a^{2k} = a^4$. Отсюда $2k=4$, значит $k=2$. Следовательно, $(a^2)^2 = a^4$.

Объединяя результаты, получаем: $16a^4 = 4^2 \cdot (a^2)^2 = (4a^2)^2$.

Ответ: $(4a^2)^2$.

2) Для выражения $169x^6$ найдем одночлен, квадрат которого равен данному выражению. Для этого извлечем квадратный корень из коэффициента и переменной части.

Квадратный корень из коэффициента $169$ равен $13$, так как $13^2 = 169$.

Для переменной $x^6$ найдем основание, квадрат которого равен $x^6$. Используя свойство степени $(x^k)^2 = x^{2k}$, получаем $2k=6$, откуда $k=3$. Таким образом, $(x^3)^2 = x^6$.

Собираем вместе: $169x^6 = 13^2 \cdot (x^3)^2 = (13x^3)^2$.

Ответ: $(13x^3)^2$.

3) Представим выражение $0,04b^{12}$ в виде квадрата одночлена. Найдем квадратные корни из числового коэффициента и переменной.

Квадратный корень из $0,04$ равен $0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$.

Для переменной $b^{12}$ ищем основание, которое в квадрате даст $b^{12}$. По свойству степени $(b^k)^2 = b^{2k}$, имеем $2k=12$, откуда $k=6$. Значит, $(b^6)^2 = b^{12}$.

Объединяем: $0,04b^{12} = (0,2)^2 \cdot (b^6)^2 = (0,2b^6)^2$.

Ответ: $(0,2b^6)^2$.

4) Для выражения $\frac{9}{4}m^6$ найдем одночлен, квадрат которого равен этому выражению. Извлечем квадратный корень из коэффициента и переменной.

Коэффициент является дробью $\frac{9}{4}$. Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.

Для переменной $m^6$ найдем основание, которое при возведении в квадрат дает $m^6$. Используя свойство степени $(m^k)^2 = m^{2k}$, получаем $2k=6$, откуда $k=3$. Таким образом, $(m^3)^2 = m^6$.

Собираем вместе: $\frac{9}{4}m^6 = (\frac{3}{2})^2 \cdot (m^3)^2 = (\frac{3}{2}m^3)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{2}m^3)^2$.

2.9. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида:

1) $(-2a^4b^2)^3$;

2) $(-a^2bd^3)^5$;

3) $(-2xy^3)^4$;

4) $(-3x^2y)^3$.

1) Чтобы представить выражение $ (-2a^4b^2)^3 $ в виде одночлена стандартного вида, необходимо возвести в степень 3 каждый множитель, находящийся в скобках. Для этого используется свойство возведения произведения в степень $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $.
$ (-2a^4b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^2)^3 $.
Вычислим значение каждого множителя по отдельности:
$ (-2)^3 = -8 $
$ (a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12} $
$ (b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6 $
Теперь объединим полученные результаты в одночлен стандартного вида, где на первом месте стоит числовой коэффициент, а за ним переменные в алфавитном порядке:
$ -8a^{12}b^6 $.
Ответ: $ -8a^{12}b^6 $

2) В выражении $ (-a^2ba^3)^5 $ сначала необходимо упростить основание степени, перемножив степени с одинаковым основанием 'a': $ a^2 \cdot b \cdot a^3 = a^{2+3} \cdot b = a^5b $. Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду $ (-a^5b)^5 $.
Теперь возведем полученный одночлен в пятую степень. Учтем, что $ -a^5b $ эквивалентно $ -1 \cdot a^5b $.
$ (-a^5b)^5 = (-1)^5 \cdot (a^5)^5 \cdot b^5 $.
Вычисляем каждый множитель:
$ (-1)^5 = -1 $ (нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом).
$ (a^5)^5 = a^{5 \cdot 5} = a^{25} $
$ b^5 $ остается без изменений.
Собираем итоговый одночлен:
$ -1 \cdot a^{25} \cdot b^5 = -a^{25}b^5 $.
Ответ: $ -a^{25}b^5 $

3) Для выражения $ (-2xy^3)^4 $ воспользуемся теми же правилами. Возводим каждый множитель в скобках в четвертую степень.
$ (-2xy^3)^4 = (-2)^4 \cdot x^4 \cdot (y^3)^4 $.
Вычисляем каждый множитель:
$ (-2)^4 = 16 $ (четная степень отрицательного числа является положительным числом).
$ x^4 $ остается без изменений.
$ (y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12} $
Составляем одночлен стандартного вида:
$ 16x^4y^{12} $.
Ответ: $ 16x^4y^{12} $

4) В выражении $ (-3x^2y)^3 $ возводим в куб (третью степень) каждый множитель.
$ (-3x^2y)^3 = (-3)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 $.
Вычисляем каждый множитель:
$ (-3)^3 = -27 $
$ (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6 $
$ y^3 $ остается без изменений.
Записываем результат в виде одночлена стандартного вида:
$ -27x^6y^3 $.
Ответ: $ -27x^6y^3 $

2.10. Упростите выражение:

1) $10ab^3 \cdot (-a^2b) \cdot 0,5b^3$;

2) $0,3y^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}x^4y^6\right)$;

3) $xy \cdot (-x^5y^3) \cdot (-x^3y^8)$;

4) $1\frac{1}{6}pq \cdot \left(-\frac{6}{7}p^9q^7\right)$.

1) Чтобы упростить выражение $10ab^3 \cdot (-a^2b) \cdot 0,5b^3$, нужно перемножить все числовые коэффициенты, а затем перемножить переменные с одинаковыми основаниями, складывая их показатели степеней.

Сгруппируем множители: $(10 \cdot (-1) \cdot 0,5) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b \cdot b^3)$.

Вычислим произведение числовых коэффициентов: $10 \cdot (-1) \cdot 0,5 = -10 \cdot 0,5 = -5$.

Вычислим произведение переменных:

$a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$

$b^3 \cdot b^1 \cdot b^3 = b^{3+1+3} = b^7$

Объединим результаты: $-5a^3b^7$.

Ответ: $-5a^3b^7$.

2) Чтобы упростить выражение $0,3y^2 \cdot (-\frac{1}{3}x^4y^6)$, перемножим числовые коэффициенты и переменные.

Сначала перемножим коэффициенты. Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$ для удобства вычислений:

$0,3 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{10} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 3} = -\frac{1}{10} = -0,1$.

Теперь перемножим переменные:

Переменная $x$ встречается только один раз: $x^4$.

Перемножим степени переменной $y$: $y^2 \cdot y^6 = y^{2+6} = y^8$.

Объединим результаты: $-0,1x^4y^8$.

Ответ: $-0,1x^4y^8$.

3) Чтобы упростить выражение $xy \cdot (-x^5y^3) \cdot (-x^3y^8)$, перемножим все множители. Произведение двух отрицательных множителей даст положительный результат.

Сгруппируем множители: $ ((-1) \cdot (-1)) \cdot (x \cdot x^5 \cdot x^3) \cdot (y \cdot y^3 \cdot y^8)$.

Произведение коэффициентов: $(-1) \cdot (-1) = 1$.

Перемножим степени переменной $x$: $x^1 \cdot x^5 \cdot x^3 = x^{1+5+3} = x^9$.

Перемножим степени переменной $y$: $y^1 \cdot y^3 \cdot y^8 = y^{1+3+8} = y^{12}$.

Объединим результаты: $1 \cdot x^9y^{12} = x^9y^{12}$.

Ответ: $x^9y^{12}$.

4) Чтобы упростить выражение $1\frac{1}{6}pq \cdot (-\frac{6}{7}p^9q^7)$, сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{7}{6}pq \cdot (-\frac{6}{7}p^9q^7)$.

Перемножим числовые коэффициенты:

$\frac{7}{6} \cdot (-\frac{6}{7}) = -1$.

Перемножим переменные:

$p \cdot p^9 = p^{1+9} = p^{10}$

$q \cdot q^7 = q^{1+7} = q^8$

Объединим результаты: $-1 \cdot p^{10}q^8 = -p^{10}q^8$.

Ответ: $-p^{10}q^8$.

2.11. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

1) $0,01a^6b^4$;

2) $9b^4c^8$;

3) $100p^2q^6$.

1) Чтобы представить выражение $0,01a^6b^4$ в виде квадрата одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого воспользуемся свойством степени $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$ в обратном порядке, то есть извлечем квадратный корень из каждого множителя.

Извлекаем корень из числового коэффициента: $\sqrt{0,01} = 0,1$.

Извлекаем корень из переменных, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$, откуда $\sqrt{x^m} = x^{m/2}$:

$\sqrt{a^6} = a^{6/2} = a^3$

$\sqrt{b^4} = b^{4/2} = b^2$

Собираем полученные множители в одночлен: $0,1a^3b^2$. Таким образом, исходное выражение является квадратом этого одночлена.

Проверка: $(0,1a^3b^2)^2 = (0,1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 0,01 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = 0,01a^6b^4$.

Ответ: $(0,1a^3b^2)^2$.

2) Аналогично представим в виде квадрата выражение $9b^4c^8$. Извлечем квадратный корень из каждого множителя.

Извлекаем корень из числового коэффициента: $\sqrt{9} = 3$.

Извлекаем корень из переменных:

$\sqrt{b^4} = b^{4/2} = b^2$

$\sqrt{c^8} = c^{8/2} = c^4$

Полученный одночлен: $3b^2c^4$.

Проверка: $(3b^2c^4)^2 = 3^2 \cdot (b^2)^2 \cdot (c^4)^2 = 9 \cdot b^{2 \cdot 2} \cdot c^{4 \cdot 2} = 9b^4c^8$.

Ответ: $(3b^2c^4)^2$.

3) Представим в виде квадрата выражение $100p^2q^6$. Извлечем квадратный корень из каждого множителя.

Извлекаем корень из числового коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.

Извлекаем корень из переменных:

$\sqrt{p^2} = p^{2/2} = p^1 = p$

$\sqrt{q^6} = q^{6/2} = q^3$

Полученный одночлен: $10pq^3$.

Проверка: $(10pq^3)^2 = 10^2 \cdot p^2 \cdot (q^3)^2 = 100 \cdot p^2 \cdot q^{3 \cdot 2} = 100p^2q^6$.

Ответ: $(10pq^3)^2$.

2.12. Представьте выражение в виде куба одночлена:

1) $64a^9$;

2) $0,001x^{12}$;

3) $-\frac{27}{8}c^{15}$;

4) $-27a^6y^9$;

5) $1000a^3b^6$;

6) $-0,008b^6y^9$.

1) Чтобы представить выражение $64a^9$ в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь кубический корень из каждого множителя в выражении.

Находим кубический корень из числового коэффициента 64: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Для переменной в степени используем свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Чтобы найти основание степени, нужно показатель разделить на 3: $a^{9/3} = a^3$.

Соединяем результаты: $4a^3$. Проверяем, возведя в куб: $(4a^3)^3 = 4^3 \cdot (a^3)^3 = 64a^9$.

Ответ: $(4a^3)^3$

2) Представим выражение $0,001x^{12}$ в виде куба одночлена. Для этого извлечем кубический корень из коэффициента и из переменной.

Кубический корень из 0,001: $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$, так как $0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.

Кубический корень из $x^{12}$: $\sqrt[3]{x^{12}} = x^{12/3} = x^4$.

Таким образом, искомый одночлен — это $0,1x^4$. Проверка: $(0,1x^4)^3 = (0,1)^3 \cdot (x^4)^3 = 0,001x^{12}$.

Ответ: $(0,1x^4)^3$

3) Представим выражение $-\frac{27}{8}c^{15}$ в виде куба одночлена.

Извлекаем кубический корень из коэффициента $-\frac{27}{8}$. Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом. $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3}{2}$.

Извлекаем кубический корень из переменной $c^{15}$: $\sqrt[3]{c^{15}} = c^{15/3} = c^5$.

Объединяем результаты и получаем одночлен $-\frac{3}{2}c^5$. Проверка: $(-\frac{3}{2}c^5)^3 = (-\frac{3}{2})^3 \cdot (c^5)^3 = -\frac{3^3}{2^3}c^{5 \cdot 3} = -\frac{27}{8}c^{15}$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}c^5)^3$

4) Представим выражение $-27a^6y^9$ в виде куба одночлена.

Находим кубический корень из коэффициента -27: $\sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Находим кубический корень из $a^6$: $\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2$.

Находим кубический корень из $y^9$: $\sqrt[3]{y^9} = y^{9/3} = y^3$.

Искомый одночлен — это $-3a^2y^3$. Проверка: $(-3a^2y^3)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (y^3)^3 = -27a^{2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = -27a^6y^9$.

Ответ: $(-3a^2y^3)^3$

5) Представим выражение $1000a^3b^6$ в виде куба одночлена.

Находим кубический корень из коэффициента 1000: $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Находим кубический корень из $a^3$: $\sqrt[3]{a^3} = a^{3/3} = a^1 = a$.

Находим кубический корень из $b^6$: $\sqrt[3]{b^6} = b^{6/3} = b^2$.

Одночлен, который мы ищем, это $10ab^2$. Проверка: $(10ab^2)^3 = 10^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 1000a^3b^{2 \cdot 3} = 1000a^3b^6$.

Ответ: $(10ab^2)^3$

6) Представим выражение $-0,008b^6y^9$ в виде куба одночлена.

Находим кубический корень из коэффициента -0,008: $\sqrt[3]{-0,008} = -0,2$, так как $(-0,2)^3 = -0,008$.

Находим кубический корень из $b^6$: $\sqrt[3]{b^6} = b^{6/3} = b^2$.

Находим кубический корень из $y^9$: $\sqrt[3]{y^9} = y^{9/3} = y^3$.

Собираем одночлен: $-0,2b^2y^3$. Проверка: $(-0,2b^2y^3)^3 = (-0,2)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (y^3)^3 = -0,008b^{2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = -0,008b^6y^9$.

Ответ: $(-0,2b^2y^3)^3$

2.13. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, ширина которого равна $2m$ см, длина – в 3 раза больше ширины, а высота – в 2 раза меньше длины?

Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить произведение его длины, ширины и высоты. Формула для вычисления объема ($V$) выглядит следующим образом: $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$.

Найдем все три измерения параллелепипеда, исходя из условий задачи.

1. Ширина. По условию, ширина равна $2m$ см.

2. Длина. Длина в 3 раза больше ширины. Чтобы найти длину, умножим ширину на 3:

Длина = $3 \times (2m) = 6m$ см.

3. Высота. Высота в 2 раза меньше длины. Чтобы найти высоту, разделим длину на 2:

Высота = $(6m) \div 2 = 3m$ см.

Теперь, когда известны все три измерения, мы можем вычислить объем прямоугольного параллелепипеда:

$V = (6m) \times (2m) \times (3m)$

Чтобы перемножить эти выражения, мы отдельно перемножаем числовые коэффициенты и отдельно переменные:

$V = (6 \times 2 \times 3) \times (m \times m \times m) = 36m^3$ см³.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен $36m^3$ см³.