Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.178. При 0 < a < 1 часто используется формула $(1+a)^2 \approx 1+2a$. Какова абсолютная погрешность приближенного значения, найденного по этой формуле? С помощью этой формулы найдите приближенные значения данного выражения и, используя калькулятор, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

1) $(1+0,001)^2$;

2) $1,05^2$;

3) $1,002^2$;

4) $0,999^2$.

Для нахождения абсолютной погрешности приближенного значения, найденного по формуле $(1+a)^2 \approx 1+2a$, необходимо найти модуль разности между точным значением $(1+a)^2$ и приближенным значением $1+2a$.

Точное значение: $(1+a)^2$. Используя формулу квадрата суммы, получаем: $(1+a)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1+2a+a^2$.

Приближенное значение: $1+2a$.

Абсолютная погрешность ($\Delta$) вычисляется как:$\Delta = |\text{Точное значение} - \text{Приближенное значение}| = |(1+2a+a^2) - (1+2a)| = |a^2|$.Так как $a$ является действительным числом, $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$). Следовательно, $|a^2| = a^2$.Таким образом, абсолютная погрешность данной формулы равна $a^2$.

Теперь найдем приближенные значения для данных выражений и вычислим абсолютную и относительную погрешности.

1) (1+0,001)²

В данном выражении $a = 0,001$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$(1+0,001)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,001 = 1 + 0,002 = 1,002$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$(1,001)^2 = 1,002001$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |1,002001 - 1,002| = 0,000001$. (Что соответствует $a^2 = (0,001)^2 = 0,000001$).Относительная погрешность ($\delta$):$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,000001}{1,002001} \approx 0,000000998$.
Ответ: приближенное значение $1,002$; абсолютная погрешность $0,000001$; относительная погрешность $\approx 0,000000998$.

2) 1,05²

Представим выражение как $(1+a)^2$: $1,05^2 = (1+0,05)^2$. Следовательно, $a = 0,05$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$1,05^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,05 = 1 + 0,1 = 1,1$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$1,05^2 = 1,1025$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |1,1025 - 1,1| = 0,0025$. (Что соответствует $a^2 = (0,05)^2 = 0,0025$).Относительная погрешность:$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,0025}{1,1025} \approx 0,00226757... \approx 0,00227$.
Ответ: приближенное значение $1,1$; абсолютная погрешность $0,0025$; относительная погрешность $\approx 0,00227$.

3) 1,002²

Представим выражение как $(1+a)^2$: $1,002^2 = (1+0,002)^2$. Следовательно, $a = 0,002$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$1,002^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,002 = 1 + 0,004 = 1,004$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$1,002^2 = 1,004004$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |1,004004 - 1,004| = 0,000004$. (Что соответствует $a^2 = (0,002)^2 = 0,000004$).Относительная погрешность:$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,000004}{1,004004} \approx 0,000003984... \approx 0,00000398$.
Ответ: приближенное значение $1,004$; абсолютная погрешность $0,000004$; относительная погрешность $\approx 0,00000398$.

4) 0,999²

Представим выражение как $(1+a)^2$: $0,999^2 = (1-0,001)^2 = (1+(-0,001))^2$. Следовательно, $a = -0,001$.Приближенное значение по формуле $1+2a$:$0,999^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,001) = 1 - 0,002 = 0,998$.Точное значение, вычисленное на калькуляторе:$0,999^2 = 0,998001$.Абсолютная погрешность:$\Delta = |0,998001 - 0,998| = 0,000001$. (Что соответствует $a^2 = (-0,001)^2 = 0,000001$).Относительная погрешность:$\delta = \frac{\Delta}{|\text{Точное значение}|} = \frac{0,000001}{0,998001} \approx 0,000001002... \approx 0,000001002$.
Ответ: приближенное значение $0,998$; абсолютная погрешность $0,000001$; относительная погрешность $\approx 0,000001002$.

1.179. Найдите координаты точки, симметричной точке:

1) $A (-3; 4)$;

2) $B (5; -2)$, относительно начала координат.

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке относительно начала координат, необходимо изменить знаки обеих ее координат на противоположные. Если дана точка с координатами $(x; y)$, то симметричная ей точка $M'$ относительно начала координат будет иметь координаты $M'(-x; -y)$. Это следует из определения центральной симметрии: начало координат $O(0; 0)$ является серединой отрезка, соединяющего исходную точку и симметричную ей.

1) Дана точка $A(-3; 4)$. Обозначим симметричную ей точку как $A'(x'; y')$. Применяя вышеуказанное правило, находим ее координаты:
$x' = -(-3) = 3$
$y' = -(4) = -4$
Таким образом, координаты точки, симметричной точке $A$, равны $(3; -4)$.
Ответ: $(3; -4)$

2) Дана точка $B(5; -2)$. Обозначим симметричную ей точку как $B'(x'; y')$. Применяя то же правило, находим ее координаты:
$x' = -(5) = -5$
$y' = -(-2) = 2$
Следовательно, координаты точки, симметричной точке $B$, равны $(-5; 2)$.
Ответ: $(-5; 2)$

$\frac{(9\frac{1}{4} - 2\frac{1}{8}) \cdot \frac{2}{3}}{(5\frac{3}{8} - \frac{2}{3}) : 11.3} + \frac{\frac{3}{5} \cdot 1.35 : 0.9}{0.72 - \frac{3}{25}} + 0.1.$

Для решения данного примера выполним вычисления по действиям. Весь пример можно представить как сумму трех слагаемых: двух дробей и числа 0,1.

Вычисление первого слагаемого: $\frac{(9\frac{1}{4} - 2\frac{1}{8}) \cdot \frac{2}{3}}{(5\frac{3}{8} - \frac{2}{3}) : 11,3}$

1. Сначала выполним действия в числителе. Вычислим разность в скобках:

$9\frac{1}{4} - 2\frac{1}{8} = 9\frac{2}{8} - 2\frac{1}{8} = (9-2) + (\frac{2}{8} - \frac{1}{8}) = 7\frac{1}{8}$

2. Теперь умножим полученный результат на $\frac{2}{3}$. Для этого переведем $7\frac{1}{8}$ в неправильную дробь:

$7\frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{57}{8}$

$\frac{57}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{57 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{19 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{19}{4}$

3. Далее выполним действия в знаменателе. Вычислим разность в скобках:

$5\frac{3}{8} - \frac{2}{3} = \frac{43}{8} - \frac{2}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{43 \cdot 3}{24} - \frac{2 \cdot 8}{24} = \frac{129 - 16}{24} = \frac{113}{24}$

4. Теперь разделим результат на $11,3$. Переведем $11,3$ в неправильную дробь:

$11,3 = 11\frac{3}{10} = \frac{113}{10}$

$\frac{113}{24} : \frac{113}{10} = \frac{113}{24} \cdot \frac{10}{113} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

5. Найдем значение всей первой дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{19}{4} : \frac{5}{12} = \frac{19}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{19 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{57}{5} = 11,4$

Ответ: 11,4

Вычисление второго слагаемого: $\frac{\frac{3}{5} \cdot 1,35 : 0,9}{0,72 - \frac{3}{25}}$

1. Вычислим значение числителя. Для удобства переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$1,35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}$

$0,9 = \frac{9}{10}$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{27}{20} : \frac{9}{10} = \frac{3 \cdot 27}{5 \cdot 20} \cdot \frac{10}{9} = \frac{81}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{9 \cdot 1}{10 \cdot 1} = \frac{9}{10} = 0,9$

2. Вычислим значение знаменателя. Переведем $0,72$ в обыкновенную дробь:

$0,72 = \frac{72}{100} = \frac{18}{25}$

$\frac{18}{25} - \frac{3}{25} = \frac{18-3}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$

3. Найдем значение второй дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{0,9}{0,6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

Вычисление итогового значения выражения

Сложим полученные значения всех трех слагаемых:

$11,4 + 1,5 + 0,1 = 12,9 + 0,1 = 13$

Ответ: 13

1.181. Найдите значение выражения:

1) $1.2x + 4(1.7x - 2y)$, если $x - y = 2;

2) $1.6(5m + 3k) - 5.2m$, если $0.7m + 1.2k = 3.

1) Найдем значение выражения $1,2x + 4(1,7x - 2y)$, если $x - y = 2$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, умножив 4 на каждый член в скобках:

$1,2x + 4 \cdot 1,7x - 4 \cdot 2y = 1,2x + 6,8x - 8y$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$(1,2 + 6,8)x - 8y = 8x - 8y$

В полученном выражении вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8(x - y)$

По условию задачи известно, что $x - y = 2$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$8 \cdot (x - y) = 8 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16

2) Найдем значение выражения $1,6(5m + 3k) - 5,2m$, если $0,7m + 1,2k = 3$.

Сначала упростим данное выражение. Раскроем скобки:

$1,6 \cdot 5m + 1,6 \cdot 3k - 5,2m = 8m + 4,8k - 5,2m$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной $m$):

$(8 - 5,2)m + 4,8k = 2,8m + 4,8k$

Теперь сравним полученное выражение $2,8m + 4,8k$ с условием $0,7m + 1,2k = 3$. Можно заметить, что коэффициенты при переменных в нашем выражении пропорциональны коэффициентам в условии. Найдем коэффициент пропорциональности:

$2,8 \div 0,7 = 4$

$4,8 \div 1,2 = 4$

Это значит, что мы можем вынести общий множитель 4 за скобки в нашем выражении:

$2,8m + 4,8k = 4(0,7m + 1,2k)$

По условию задачи известно, что $0,7m + 1,2k = 3$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$4 \cdot (0,7m + 1,2k) = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: 12

1.182. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Если поменять местами цифры данного числа и цифру единичного разряда полученного двузначного числа увеличить на 1, то полученное число будет вдвое больше исходного числа. Найдите данное двузначное число.

Пусть исходное двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно первому условию, сумма цифр этого числа равна 10. Составим первое уравнение:$a + b = 10$

Далее, поменяем местами цифры исходного числа, получив число $10b + a$. В этом новом числе цифрой единичного разряда является $a$. Увеличим эту цифру на 1, как сказано в условии. Полученное в результате этой операции число будет $10b + (a + 1)$.

Согласно второму условию, это число вдвое больше исходного. Составим второе уравнение:$10b + a + 1 = 2 \cdot (10a + b)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$ \begin{cases} a + b = 10 \\ 10b + a + 1 = 2(10a + b) \end{cases} $

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 10 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $a$:$10(10 - a) + a + 1 = 2(10a + (10 - a))$

Раскроем скобки и упростим выражение:$100 - 10a + a + 1 = 2(9a + 10)$$101 - 9a = 18a + 20$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а константы — в другую:$101 - 20 = 18a + 9a$$81 = 27a$$a = \frac{81}{27}$$a = 3$

Теперь, зная $a$, найдем $b$:$b = 10 - a = 10 - 3 = 7$

Таким образом, искомое число состоит из цифры десятков $a=3$ и цифры единиц $b=7$. Это число 37.

Проверим:
1. Сумма цифр: $3 + 7 = 10$. Условие выполнено.
2. Меняем цифры местами: 73. Увеличиваем цифру единиц (3) на 1, получаем 74. Сравниваем с удвоенным исходным числом: $2 \cdot 37 = 74$. Условие выполнено.

Ответ: 37.