Номер 1.182, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.182. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Если поменять местами цифры данного числа и цифру единичного разряда полученного двузначного числа увеличить на 1, то полученное число будет вдвое больше исходного числа. Найдите данное двузначное число.

Пусть исходное двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно первому условию, сумма цифр этого числа равна 10. Составим первое уравнение:$a + b = 10$

Далее, поменяем местами цифры исходного числа, получив число $10b + a$. В этом новом числе цифрой единичного разряда является $a$. Увеличим эту цифру на 1, как сказано в условии. Полученное в результате этой операции число будет $10b + (a + 1)$.

Согласно второму условию, это число вдвое больше исходного. Составим второе уравнение:$10b + a + 1 = 2 \cdot (10a + b)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$ \begin{cases} a + b = 10 \\ 10b + a + 1 = 2(10a + b) \end{cases} $

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 10 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $a$:$10(10 - a) + a + 1 = 2(10a + (10 - a))$

Раскроем скобки и упростим выражение:$100 - 10a + a + 1 = 2(9a + 10)$$101 - 9a = 18a + 20$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а константы — в другую:$101 - 20 = 18a + 9a$$81 = 27a$$a = \frac{81}{27}$$a = 3$

Теперь, зная $a$, найдем $b$:$b = 10 - a = 10 - 3 = 7$

Таким образом, искомое число состоит из цифры десятков $a=3$ и цифры единиц $b=7$. Это число 37.

Проверим:
1. Сумма цифр: $3 + 7 = 10$. Условие выполнено.
2. Меняем цифры местами: 73. Увеличиваем цифру единиц (3) на 1, получаем 74. Сравниваем с удвоенным исходным числом: $2 \cdot 37 = 74$. Условие выполнено.

Ответ: 37.