Вопросы, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение многочлена.

2. Какие одночлены называются подобными членами?

3. Как вы понимаете смысл выражения «Приведите подобные члены многочлена»?

4. Что называется степенью многочлена?

5. Как привести многочлен к стандартному виду?

6. Сформулируйте правило сложения и правило вычитания многочленов.

1. Дайте определение многочлена. Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Например, в многочлене $7x^4 - 5x^2y^2 + 3xy - 1$ членами являются одночлены $7x^4$, $-5x^2y^2$, $3xy$ и $-1$. Важно отметить, что любой одночлен также можно считать многочленом, состоящим из одного члена.
Ответ: Многочлен — это сумма одночленов.

2. Какие одночлены называются подобными членами? Подобными членами (или просто подобными) называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть содержат одни и те же переменные, возведенные в одинаковые степени. Подобные члены могут отличаться только своими числовыми коэффициентами либо быть полностью одинаковыми. Например, одночлены $3a^2b$ и $-15a^2b$ являются подобными, так как их буквенная часть $a^2b$ совпадает. А одночлены $5xy^2$ и $5x^2y$ подобными не являются, так как степени переменных $x$ и $y$ у них различны.
Ответ: Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью.

3. Как вы понимаете смысл выражения «Приведите подобные члены многочлена»? Выражение «Приведите подобные члены многочлена» (или «упростите многочлен») означает выполнение действия сложения и вычитания всех подобных членов, входящих в состав многочлена. Эта операция называется приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Например, в многочлене $\underline{4x^2} - \underline{\underline{2xy}} + \underline{3x^2} + \underline{\underline{5xy}} - 7$ подобными являются члены $4x^2$ и $3x^2$, а также $-2xy$ и $5xy$. Приведение подобных членов дает: $(4+3)x^2 + (-2+5)xy - 7 = 7x^2 + 3xy - 7$.
Ответ: Это означает, что нужно сложить все подобные члены в многочлене, то есть сложить их коэффициенты, оставив общую буквенную часть неизменной.

4. Что называется степенью многочлена? Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в его состав. Степенью одночлена, в свою очередь, является сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если многочлен состоит из одного числа (отличного от нуля), его степень считается равной нулю. Чтобы найти степень многочлена, его сначала нужно привести к стандартному виду. Например, для многочлена $8x^3y^2 - 3x^6 + 5xy$ степени его членов равны $3+2=5$, $6$ и $1+1=2$. Наибольшая из них — 6, следовательно, степень всего многочлена равна 6.
Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней его членов.

5. Как привести многочлен к стандартному виду? Многочлен считается записанным в стандартном виде, если все его члены являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Каждый член многочлена представить в стандартном виде (то есть записать числовой коэффициент на первом месте, а переменные в алфавитном порядке).
2. Привести подобные члены (сложить или вычесть их).
Например, приведём к стандартному виду многочлен $3x \cdot 2y^2 - 5x^2y + 8y^2x$.
1. Приводим члены к стандартному виду: $6xy^2 - 5x^2y + 8xy^2$.
2. Приводим подобные члены ($6xy^2$ и $8xy^2$): $(6+8)xy^2 - 5x^2y = 14xy^2 - 5x^2y$.
Часто члены многочлена стандартного вида располагают в порядке убывания их степеней.
Ответ: Нужно каждый член многочлена записать в стандартном виде, а затем сложить все подобные члены.

6. Сформулируйте правило сложения и правило вычитания многочленов. Правило сложения: чтобы сложить два многочлена, нужно составить новый многочлен, членами которого являются все члены исходных многочленов, а затем привести подобные члены в полученном многочлене. На практике это означает, что нужно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+» (не меняя знаков слагаемых в скобках), и привести подобные слагаемые.
Пример: $(2x^2 + 5y) + (4x^2 - 3y) = 2x^2 + 5y + 4x^2 - 3y = 6x^2 + 2y$.
Правило вычитания: чтобы вычесть один многочлен из другого, нужно составить новый многочлен, членами которого являются все члены первого многочлена и все члены второго многочлена, взятые с противоположными знаками, а затем привести подобные члены. На практике это означает, что нужно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–» (изменив знак каждого слагаемого в скобках на противоположный), и привести подобные слагаемые.
Пример: $(5a^2 + b) - (2a^2 - 4b) = 5a^2 + b - 2a^2 + 4b = 3a^2 + 5b$.
Ответ: При сложении многочленов нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При вычитании нужно раскрыть скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и привести подобные члены.