Номер 2.22, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна 84.

Чтобы доказать, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна 84, необходимо показать, что эту сумму можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 84.
Пусть $n$ — произвольное натуральное число (то есть $n \ge 1$). Тогда три последовательные натуральные степени числа 4 можно записать как $4^n$, $4^{n+1}$ и $4^{n+2}$.
Найдем их сумму, обозначив ее $S$:
$S = 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2}$
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $4^n$:
$S = 4^n(1 + 4^1 + 4^2)$
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$1 + 4 + 16 = 21$
Таким образом, выражение для суммы принимает вид:
$S = 4^n \cdot 21$
Нам нужно доказать, что это выражение кратно 84. Разложим 84 на удобные для нас множители: $84 = 4 \cdot 21$.
Преобразуем выражение для суммы $S$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и мы можем представить $4^n$ как $4 \cdot 4^{n-1}$:
$S = (4 \cdot 4^{n-1}) \cdot 21$
Сгруппируем множители так, чтобы получить 84:
$S = (4 \cdot 21) \cdot 4^{n-1} = 84 \cdot 4^{n-1}$
Мы получили, что сумма $S$ равна произведению числа 84 и числа $4^{n-1}$. Поскольку $n \ge 1$, показатель $n-1 \ge 0$, и, следовательно, $4^{n-1}$ является целым числом.
Таким образом, сумма $S$ всегда является произведением 84 и некоторого целого числа, что по определению означает, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 4 кратна 84. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $S = 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2}$ для любого натурального $n$ может быть представлена в виде $S = 84 \cdot 4^{n-1}$. Так как $4^{n-1}$ является целым числом при $n \ge 1$, сумма всегда кратна 84.