Номер 2.15, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.15. Какой одночлен надо возвести в квадрат, чтобы получить одночлен:

1) $a^6b^{12}$;

2) $100p^8q^6$?

Чтобы найти одночлен, который при возведении в квадрат даёт заданный одночлен, необходимо выполнить обратную операцию — извлечь квадратный корень из заданного одночлена. При извлечении квадратного корня из одночлена нужно извлечь квадратный корень из его числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2. Важно помнить, что квадрат как положительного, так и отрицательного одночлена будет одинаковым, поэтому существует два возможных ответа для каждого случая.

1) $a^6b^{12}$

Пусть искомый одночлен равен $X$. Тогда по условию $X^2 = a^6b^{12}$. Чтобы найти $X$, извлечём квадратный корень: $X = \sqrt{a^6b^{12}}$ Коэффициент равен 1, $\sqrt{1} = 1$. Показатель степени переменной $a$ равен 6, делим его на 2: $6 / 2 = 3$. Показатель степени переменной $b$ равен 12, делим его на 2: $12 / 2 = 6$. Таким образом, один из возможных одночленов — это $a^3b^6$. Так как $(-y)^2 = y^2$, то одночлен $-a^3b^6$ также является решением. Проверка: $(a^3b^6)^2 = (a^3)^2(b^6)^2 = a^{3 \cdot 2}b^{6 \cdot 2} = a^6b^{12}$. Проверка: $(-a^3b^6)^2 = (-1)^2(a^3b^6)^2 = a^6b^{12}$.

Ответ: $a^3b^6$ или $-a^3b^6$.

2) $100p^8q^6$

Пусть искомый одночлен равен $Y$. Тогда по условию $Y^2 = 100p^8q^6$. Чтобы найти $Y$, извлечём квадратный корень: $Y = \sqrt{100p^8q^6}$ Извлекаем корень из коэффициента: $\sqrt{100} = 10$. Показатель степени переменной $p$ равен 8, делим его на 2: $8 / 2 = 4$. Показатель степени переменной $q$ равен 6, делим его на 2: $6 / 2 = 3$. Следовательно, один из возможных одночленов — это $10p^4q^3$. Другим решением будет $-10p^4q^3$. Проверка: $(10p^4q^3)^2 = 10^2(p^4)^2(q^3)^2 = 100p^{4 \cdot 2}q^{3 \cdot 2} = 100p^8q^6$. Проверка: $(-10p^4q^3)^2 = (-10)^2(10p^4q^3)^2 = 100p^8q^6$.

Ответ: $10p^4q^3$ или $-10p^4q^3$.