Номер 2.20, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 2, содержащие такие переменные $x$ и $y$, что степень каждого одночлена равна:

1) 2;

2) 3;

3) 4.

1) По условию задачи, нам нужно найти все одночлены стандартного вида с коэффициентом 2, которые содержат переменные $x$ и $y$, и имеют степень 2. Общий вид такого одночлена: $2x^a y^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В нашем случае, степень равна $a+b$. Нам дано, что степень равна 2, следовательно, $a+b=2$. Переберем все возможные пары неотрицательных целых чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 2:
- Если $a=2$, то $b=0$. Одночлен имеет вид $2x^2y^0$, что в стандартном виде записывается как $2x^2$.
- Если $a=1$, то $b=1$. Одночлен имеет вид $2x^1y^1$, что в стандартном виде записывается как $2xy$.
- Если $a=0$, то $b=2$. Одночлен имеет вид $2x^0y^2$, что в стандартном виде записывается как $2y^2$.
Таким образом, мы получили три возможных одночлена.

Ответ: $2x^2$, $2xy$, $2y^2$.

2) Теперь найдем все одночлены с теми же условиями, но со степенью 3. Общий вид одночлена остается $2x^a y^b$, но теперь $a+b=3$. Переберем все возможные пары неотрицательных целых чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 3:
- Если $a=3$, то $b=0$. Одночлен: $2x^3$.
- Если $a=2$, то $b=1$. Одночлен: $2x^2y$.
- Если $a=1$, то $b=2$. Одночлен: $2xy^2$.
- Если $a=0$, то $b=3$. Одночлен: $2y^3$.
Таким образом, мы получили четыре возможных одночлена.

Ответ: $2x^3$, $2x^2y$, $2xy^2$, $2y^3$.

3) Наконец, найдем все одночлены с теми же условиями, но со степенью 4. Общий вид одночлена $2x^a y^b$, где $a+b=4$. Переберем все возможные пары неотрицательных целых чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 4:
- Если $a=4$, то $b=0$. Одночлен: $2x^4$.
- Если $a=3$, то $b=1$. Одночлен: $2x^3y$.
- Если $a=2$, то $b=2$. Одночлен: $2x^2y^2$.
- Если $a=1$, то $b=3$. Одночлен: $2xy^3$.
- Если $a=0$, то $b=4$. Одночлен: $2y^4$.
Таким образом, мы получили пять возможных одночленов.

Ответ: $2x^4$, $2x^3y$, $2x^2y^2$, $2xy^3$, $2y^4$.