Номер 2.18, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Представьте одночлен в стандартном виде:

1) $ (-8a^m \cdot x^{n+1}y^n) \cdot (-\frac{1}{2}a^{2-m}x^{n-1}y^2); $

2) $ (3x^n y^m)^2 \cdot (-2x^n y^m)^3; $

3) $ 0,64a^2b^3c \cdot 1\frac{9}{16}a^2b^7c^3 \cdot (-0,25a^2bc^4); $

4) $ \frac{(2ab)^3 \cdot (a^4b^2c)^2}{4a^2b^3c}. $

1) $(-8a^m \cdot x^{n+1} y^n) \cdot (-\frac{1}{2}a^{2-m}x^{n-1}y^2)$

Чтобы представить одночлен в стандартном виде, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Для этого сгруппируем множители:

$(-8 \cdot (-\frac{1}{2})) \cdot (a^m \cdot a^{2-m}) \cdot (x^{n+1} \cdot x^{n-1}) \cdot (y^n \cdot y^2)$

1. Умножим числовые коэффициенты:
$(-8) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4$

2. Умножим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:
$a^m \cdot a^{2-m} = a^{m + (2-m)} = a^{m+2-m} = a^2$
$x^{n+1} \cdot x^{n-1} = x^{(n+1) + (n-1)} = x^{n+1+n-1} = x^{2n}$
$y^n \cdot y^2 = y^{n+2}$

3. Запишем результат, объединив полученные части:
$4a^2x^{2n}y^{n+2}$

Ответ: $4a^2x^{2n}y^{n+2}$

2) $(3x^n y^m)^2 \cdot (-2x^n y^m)^3$

Сначала возведем каждый одночлен в соответствующую степень, используя правила $(ab)^k = a^k b^k$ и $(a^p)^k = a^{pk}$:

$(3x^n y^m)^2 = 3^2 \cdot (x^n)^2 \cdot (y^m)^2 = 9x^{2n}y^{2m}$

$(-2x^n y^m)^3 = (-2)^3 \cdot (x^n)^3 \cdot (y^m)^3 = -8x^{3n}y^{3m}$

Теперь перемножим полученные одночлены:

$(9x^{2n}y^{2m}) \cdot (-8x^{3n}y^{3m}) = (9 \cdot (-8)) \cdot (x^{2n} \cdot x^{3n}) \cdot (y^{2m} \cdot y^{3m})$

1. Умножим числовые коэффициенты:
$9 \cdot (-8) = -72$

2. Умножим степени с одинаковыми основаниями:
$x^{2n} \cdot x^{3n} = x^{2n+3n} = x^{5n}$
$y^{2m} \cdot y^{3m} = y^{2m+3m} = y^{5m}$

3. Запишем итоговый одночлен:
$-72x^{5n}y^{5m}$

Ответ: $-72x^{5n}y^{5m}$

3) $0,64a^2b^3c \cdot 1\frac{9}{16}a^2b^7c^3 \cdot (-0,25a^2bc^4)$

Для приведения к стандартному виду сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

1. Умножим числовые коэффициенты. Для удобства преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные дроби:
$0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$
$1\frac{9}{16} = \frac{16 \cdot 1 + 9}{16} = \frac{25}{16}$
$-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$

Теперь перемножим их:
$\frac{16}{25} \cdot \frac{25}{16} \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} = -0,25$

2. Умножим степени с одинаковыми основаниями:
$a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2} = a^6$
$b^3 \cdot b^7 \cdot b = b^{3+7+1} = b^{11}$
$c \cdot c^3 \cdot c^4 = c^{1+3+4} = c^8$

3. Объединим результаты:
$-0,25a^6b^{11}c^8$

Ответ: $-0,25a^6b^{11}c^8$

4) $\frac{(2ab)^3 \cdot (a^4b^2c)^2}{4a^2b^3c}$

Сначала упростим выражение в числителе. Возведем каждый множитель в степень:

$(2ab)^3 = 2^3 a^3 b^3 = 8a^3b^3$

$(a^4b^2c)^2 = (a^4)^2 (b^2)^2 c^2 = a^{8} b^{4} c^2$

Теперь перемножим полученные выражения в числителе:
$(8a^3b^3) \cdot (a^8b^4c^2) = 8 a^{3+8} b^{3+4} c^2 = 8a^{11}b^7c^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{8a^{11}b^7c^2}{4a^2b^3c}$

Теперь разделим числитель на знаменатель. Для этого разделим коэффициенты и вычтем показатели степеней с одинаковыми основаниями (используя правило $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$):

$\frac{8}{4} \cdot \frac{a^{11}}{a^2} \cdot \frac{b^7}{b^3} \cdot \frac{c^2}{c} = 2 \cdot a^{11-2} \cdot b^{7-3} \cdot c^{2-1} = 2a^9b^4c$

Ответ: $2a^9b^4c$