Номер 2.24, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. Упростите выражение:

1) $\frac{5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}$;

2) $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$, $n, m \in N$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней.

Исходное выражение: $\frac{5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1}}{25^{2n+1}}$

Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{2n+3} \cdot 5^{2n-1} = 5^{(2n+3) + (2n-1)} = 5^{4n+2}$

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что $25 = 5^2$. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^{2n+1} = (5^2)^{2n+1} = 5^{2(2n+1)} = 5^{4n+2}$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{4n+2}}{5^{4n+2}} = 5^{(4n+2) - (4n+2)} = 5^0 = 1$

Ответ: $1$

2) Упростим выражение, разделив числитель почленно на знаменатель. Условие $n, m \in N$ означает, что n и m являются натуральными числами.

Исходное выражение: $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$

Разделим дробь на разность двух дробей:

$\frac{2^m \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} - \frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$

Теперь упростим каждую дробь по отдельности, используя свойство степеней $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.

Упрощаем первую дробь: $\frac{2^m \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^m}{2^m} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = 1 \cdot 3^{(n-1)-n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Упрощаем вторую дробь: $\frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1}}{2^m} \cdot \frac{3^n}{3^n} = 2^{(m-1)-m} \cdot 1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним вычитание полученных результатов:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$