Страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.70. Выполните умножение:

1) $4a^2b^2 \cdot (2a^3 - 3a^2 + 3a - 1)$;

2) $-2a^2b \cdot (8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3)$;

3) $-3x^2y \cdot (-2xy^3 + 5x^2y^2 - 5x^3y + 3x^4)$;

4) $-5abc \cdot (4ab^2c - 7a^2bc^2 + 3a^2bc)$.

1) Для выполнения умножения используем распределительное свойство: умножим одночлен $4a^2b^2$ на каждый член многочлена $(2a^3 - 3a^2 + 3a - 1)$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$4a^2b^2 \cdot (2a^3 - 3a^2 + 3a - 1) = (4a^2b^2)(2a^3) + (4a^2b^2)(-3a^2) + (4a^2b^2)(3a) + (4a^2b^2)(-1)$

$= (4 \cdot 2)a^{2+3}b^2 - (4 \cdot 3)a^{2+2}b^2 + (4 \cdot 3)a^{2+1}b^2 - 4a^2b^2$

$= 8a^5b^2 - 12a^4b^2 + 12a^3b^2 - 4a^2b^2$

Ответ: $8a^5b^2 - 12a^4b^2 + 12a^3b^2 - 4a^2b^2$.

2) Умножим одночлен $-2a^2b$ на каждый член многочлена $(8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3)$.

$-2a^2b \cdot (8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3) = (-2a^2b)(8a^3) + (-2a^2b)(-4a^2b^2) + (-2a^2b)(-3ab^2) + (-2a^2b)(5b^3)$

$= (-2 \cdot 8)a^{2+3}b^{1} + (-2 \cdot -4)a^{2+2}b^{1+2} + (-2 \cdot -3)a^{2+1}b^{1+2} + (-2 \cdot 5)a^2b^{1+3}$

$= -16a^5b + 8a^4b^3 + 6a^3b^3 - 10a^2b^4$

Ответ: $-16a^5b + 8a^4b^3 + 6a^3b^3 - 10a^2b^4$.

3) Применим распределительное свойство умножения, умножив одночлен $-3x^2y$ на каждый член многочлена в скобках.

$-3x^2y \cdot (-2xy^3 + 5x^2y^2 - 5x^3y + 3x^4) = (-3x^2y)(-2xy^3) + (-3x^2y)(5x^2y^2) + (-3x^2y)(-5x^3y) + (-3x^2y)(3x^4)$

$= (-3 \cdot -2)x^{2+1}y^{1+3} + (-3 \cdot 5)x^{2+2}y^{1+2} + (-3 \cdot -5)x^{2+3}y^{1+1} + (-3 \cdot 3)x^{2+4}y$

$= 6x^3y^4 - 15x^4y^3 + 15x^5y^2 - 9x^6y$

Ответ: $6x^3y^4 - 15x^4y^3 + 15x^5y^2 - 9x^6y$.

4) Выполним умножение, последовательно умножая одночлен $-5abc$ на каждый член многочлена.

$-5abc \cdot (4ab^2c - 7a^2bc^2 + 3a^2bc) = (-5abc)(4ab^2c) + (-5abc)(-7a^2bc^2) + (-5abc)(3a^2bc)$

$= (-5 \cdot 4)a^{1+1}b^{1+2}c^{1+1} + (-5 \cdot -7)a^{1+2}b^{1+1}c^{1+2} + (-5 \cdot 3)a^{1+2}b^{1+1}c^{1+1}$

$= -20a^2b^3c^2 + 35a^3b^2c^3 - 15a^3b^2c^2$

Ответ: $-20a^2b^3c^2 + 35a^3b^2c^3 - 15a^3b^2c^2$.

2.71. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $a(a+b)-b(a-b)+2(b-a);$

2) $2x^2-x(2x-5y)-y(2x-y);$

3) $2xy(2x^2-5xy)-3xy(7xy-y^2);$

4) $6m^2-5m(2n-m)-4m(3m+2,5n).$

1) Чтобы представить выражение $a(a + b) - b(a - b) + 2(b - a)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем каждую скобку, используя распределительный закон умножения:
$a(a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$
$-b(a - b) = -b \cdot a - b \cdot (-b) = -ab + b^2$
$2(b - a) = 2 \cdot b + 2 \cdot (-a) = 2b - 2a$
Теперь сложим полученные выражения:
$a^2 + ab - ab + b^2 + 2b - 2a$
Приведем подобные слагаемые. Члены $ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются ($ab - ab = 0$).
$a^2 + (ab - ab) + b^2 + 2b - 2a = a^2 + 0 + b^2 + 2b - 2a$
Запишем итоговый многочлен, расположив члены в стандартном виде:
$a^2 - 2a + b^2 + 2b$
Ответ: $a^2 - 2a + b^2 + 2b$

2) Чтобы представить выражение $2x^2 - x(2x - 5y) - y(2x - y)$ в виде многочлена, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Раскрываем скобки, умножая одночлены на многочлены в них:
$-x(2x - 5y) = -x \cdot 2x - x \cdot (-5y) = -2x^2 + 5xy$
$-y(2x - y) = -y \cdot 2x - y \cdot (-y) = -2xy + y^2$
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$2x^2 + (-2x^2 + 5xy) - (2xy - y^2) = 2x^2 - 2x^2 + 5xy - 2xy + y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 2x^2) + (5xy - 2xy) + y^2 = 0 + 3xy + y^2$
Итоговый многочлен:
$3xy + y^2$
Ответ: $3xy + y^2$

3) Чтобы представить выражение $2xy(2x^2 - 5xy) - 3xy(7xy - y^2)$ в виде многочлена, выполним умножение и приведем подобные члены.
Раскроем первую скобку:
$2xy(2x^2 - 5xy) = 2xy \cdot 2x^2 - 2xy \cdot 5xy = 4x^3y - 10x^2y^2$
Раскроем вторую скобку:
$-3xy(7xy - y^2) = -3xy \cdot 7xy - (-3xy) \cdot y^2 = -21x^2y^2 + 3xy^3$
Сложим результаты:
$4x^3y - 10x^2y^2 - 21x^2y^2 + 3xy^3$
Приведем подобные слагаемые (члены с $x^2y^2$):
$4x^3y + (-10x^2y^2 - 21x^2y^2) + 3xy^3 = 4x^3y - 31x^2y^2 + 3xy^3$
Ответ: $4x^3y - 31x^2y^2 + 3xy^3$

4) Чтобы представить выражение $6m^2 - 5m(2n - m) - 4m(3m + 2,5n)$ в виде многочлена, раскроем скобки и упростим.
Раскроем скобки, умножая одночлены на многочлены:
$-5m(2n - m) = -5m \cdot 2n - 5m \cdot (-m) = -10mn + 5m^2$
$-4m(3m + 2,5n) = -4m \cdot 3m - 4m \cdot 2,5n = -12m^2 - 10mn$
Теперь подставим эти выражения в исходное:
$6m^2 - 10mn + 5m^2 - 12m^2 - 10mn$
Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $m^2$ и члены с $mn$.
$(6m^2 + 5m^2 - 12m^2) + (-10mn - 10mn) = (11m^2 - 12m^2) - 20mn = -m^2 - 20mn$
Ответ: $-m^2 - 20mn$

2.72. Упростите выражение:

1) $6x(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) - 12y(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y);$

2) $10a(5a^2 - 7b) - 6a(5b + 7a^2) - 3ab;$

3) $-2b(a^3 - 2b) - b(a^3 + 4b^2);$

4) $1,4x(0,5x + 0,3y) - 5(0,4y^2 - 4xy) + 0,2(8y - 5x);$

5) $5x(6x + 3y) + 3y(2x - 4y) - 6x(5y - 2x);$

6) $4y - 2(y - 3) - 3(y - 3(4 - 2y) + 8).$

1) Чтобы упростить выражение $6x(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) - 12y(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)$, раскроем скобки, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри скобок.

Сначала раскроем первую скобку:
$6x \cdot \frac{1}{2}x = \frac{6}{2}x^2 = 3x^2$
$6x \cdot (-\frac{1}{3}y) = -\frac{6}{3}xy = -2xy$
Получаем: $3x^2 - 2xy$

Теперь раскроем вторую скобку:
$-12y \cdot \frac{1}{2}x = -\frac{12}{2}xy = -6xy$
$-12y \cdot \frac{1}{3}y = -\frac{12}{3}y^2 = -4y^2$
Получаем: $-6xy - 4y^2$

Соберем все члены вместе:
$3x^2 - 2xy - 6xy - 4y^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):
$-2xy - 6xy = -8xy$
Итоговое выражение:
$3x^2 - 8xy - 4y^2$
Ответ: $3x^2 - 8xy - 4y^2$

2) Упростим выражение $10a(5a^2 - 7b) - 6a(5b + 7a^2) - 3ab$.
Раскроем скобки:
$10a \cdot 5a^2 - 10a \cdot 7b - 6a \cdot 5b - 6a \cdot 7a^2 - 3ab$
$50a^3 - 70ab - 30ab - 42a^3 - 3ab$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(50a^3 - 42a^3) + (-70ab - 30ab - 3ab)$
$8a^3 - 103ab$
Ответ: $8a^3 - 103ab$

3) Упростим выражение $-2b(a^3 - 2b) - b(a^3 + 4b^2)$.
Раскроем скобки:
$-2b \cdot a^3 - 2b \cdot (-2b) - b \cdot a^3 - b \cdot 4b^2$
$-2a^3b + 4b^2 - a^3b - 4b^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-2a^3b - a^3b) + 4b^2 - 4b^3$
$-3a^3b + 4b^2 - 4b^3$
Ответ: $-3a^3b + 4b^2 - 4b^3$

4) Упростим выражение $1,4x(0,5x + 0,3y) - 5(0,4y^2 - 4xy) + 0,2(8y - 5x)$.
Раскроем каждую из скобок:
$1,4x \cdot 0,5x + 1,4x \cdot 0,3y - 5 \cdot 0,4y^2 - 5 \cdot (-4xy) + 0,2 \cdot 8y + 0,2 \cdot (-5x)$
$0,7x^2 + 0,42xy - 2y^2 + 20xy + 1,6y - x$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$0,7x^2 - 2y^2 + (0,42xy + 20xy) - x + 1,6y$
$0,7x^2 - 2y^2 + 20,42xy - x + 1,6y$
Ответ: $0,7x^2 - 2y^2 + 20,42xy - x + 1,6y$

5) Упростим выражение $5x(6x + 3y) + 3y(2x - 4y) - 6x(5y - 2x)$.
Раскроем скобки:
$5x \cdot 6x + 5x \cdot 3y + 3y \cdot 2x + 3y \cdot (-4y) - 6x \cdot 5y - 6x \cdot (-2x)$
$30x^2 + 15xy + 6xy - 12y^2 - 30xy + 12x^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(30x^2 + 12x^2) + (15xy + 6xy - 30xy) - 12y^2$
$42x^2 + (21xy - 30xy) - 12y^2$
$42x^2 - 9xy - 12y^2$
Ответ: $42x^2 - 9xy - 12y^2$

6) Упростим выражение $4y - 2(y - 3) - 3(y - 3(4 - 2y) + 8)$.
Начнем с упрощения выражения в самых внутренних скобках:
$3(4 - 2y) = 12 - 6y$
Подставим это обратно в выражение в больших скобках:
$y - (12 - 6y) + 8 = y - 12 + 6y + 8 = (y+6y) + (-12+8) = 7y - 4$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$4y - 2(y - 3) - 3(7y - 4)$
Раскроем оставшиеся скобки:
$4y - 2y - 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 7y - 3 \cdot (-4)$
$4y - 2y + 6 - 21y + 12$
Приведем подобные слагаемые:
$(4y - 2y - 21y) + (6 + 12)$
$(2y - 21y) + 18$
$-19y + 18$
Ответ: $18 - 19y$

2.73. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2;$

2) $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3;$

3) $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4;$

4) $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3;$

5) $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q;$

6) $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2.$

1) Для многочлена $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2$ необходимо найти общий множитель для всех его членов.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 3, 9 и 6. НОД(3, 9, 6) = 3.
Далее определим общие переменные и их наименьшие степени. Переменная $x$ присутствует во всех членах, ее наименьшая степень - 1 ($x^1=x$). Переменная $y$ отсутствует в первом члене, поэтому не является общим множителем для всего выражения.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3x$.
Разделим каждый член многочлена на $3x$:
$3x^2 \div (3x) = x$
$-9x^2y \div (3x) = -3xy$
$6xy^2 \div (3x) = 2y^2$
Запишем выражение в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках.
Ответ: $3x(x - 3xy + 2y^2)$.

2) В выражении $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 15, 25, 10 равен 5.
Общая переменная для всех членов - $a$. Ее наименьшая степень в выражении - 2 ($a^2$). Переменная $b$ входит не во все члены.
Следовательно, общий множитель - $5a^2$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $5a^2$:
$15a^2 \div (5a^2) = 3$
$-25a^2b^2 \div (5a^2) = -5b^2$
$-10a^3 \div (5a^2) = -2a$
В результате получаем.
Ответ: $5a^2(3 - 5b^2 - 2a)$.

3) В выражении $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 6, 9, 12 равен 3.
Переменная $a$ есть только в первом члене. Переменная $b$ есть во всех членах, ее наименьшая степень - 2 ($b^2$).
Общий множитель - $3b^2$.
Выполним деление каждого члена на $3b^2$:
$6ab^2 \div (3b^2) = 2a$
$-9b^3 \div (3b^2) = -3b$
$12b^4 \div (3b^2) = 4b^2$
Запишем итоговое выражение.
Ответ: $3b^2(2a - 3b + 4b^2)$.

4) В выражении $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 14, 21, 35 равен 7.
Переменная $m$ присутствует во всех членах, наименьшая степень - 1 ($m$). Переменная $n$ также присутствует во всех членах, наименьшая степень - 1 ($n$).
Общий множитель - $7mn$.
Вынесем его за скобки:
$14m^2n \div (7mn) = 2m$
$-21mn^2 \div (7mn) = -3n$
$-35mn^3 \div (7mn) = -5n^2$
Результат разложения на множители.
Ответ: $7mn(2m - 3n - 5n^2)$.

5) В выражении $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 30, 18, 12 равен 6.
Переменная $p$ входит во все члены с наименьшей степенью 1 ($p$). Переменная $q$ входит во все члены с наименьшей степенью 1 ($q$).
Общий множитель - $6pq$.
Вынесем $6pq$ за скобки:
$30pq^3 \div (6pq) = 5q^2$
$18p^2q^2 \div (6pq) = 3pq$
$-12p^3q \div (6pq) = -2p^2$
Получаем следующее выражение.
Ответ: $6pq(5q^2 + 3pq - 2p^2)$.

6) В выражении $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 8, 12, 16 равен 4.
Переменная $x$ входит во все члены, наименьшая степень - 2 ($x^2$). Переменная $y$ входит во все члены, наименьшая степень - 2 ($y^2$).
Общий множитель - $4x^2y^2$.
Вынесем его за скобки:
$8x^4y^3 \div (4x^2y^2) = 2x^2y$
$-12x^2y^2 \div (4x^2y^2) = -3$
$16x^3y^2 \div (4x^2y^2) = 4x$
Запишем выражение в разложенном виде.
Ответ: $4x^2y^2(2x^2y - 3 + 4x)$.

2.74. Разложите на множители:

1) $a^3 + 5a^2 + a$;

2) $8b^2 - 4b^3 + 10b^4$;

3) $x^2 - 3x^3 - 4x^4$;

4) $15y^3 - 27y^2 + 9y$;

5) $6a^5 - 72a^4 - 48a^2$;

6) $-5mn^2 - 15m^2n - 20m^2n^2$.

1) Исходное выражение: $a^3 + 5a^2 + a$.
Чтобы разложить многочлен на множители, найдем общий множитель для всех его членов. Все члены многочлена ($a^3$, $5a^2$ и $a$) содержат переменную $a$. Наименьшая степень переменной в выражении – первая ($a^1 = a$). Вынесем этот общий множитель $a$ за скобки:
$a^3 + 5a^2 + a = a \cdot a^2 + a \cdot 5a + a \cdot 1 = a(a^2 + 5a + 1)$.
Квадратный трехчлен в скобках $a^2 + 5a + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$ не является полным квадратом.
Ответ: $a(a^2 + 5a + 1)$.

2) Исходное выражение: $8b^2 - 4b^3 + 10b^4$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 8, -4 и 10. НОД(8, 4, 10) = 2.
Найдем общую переменную часть. Все члены содержат $b$ в степенях $b^2$, $b^3$, $b^4$. Наименьшая степень – $b^2$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения – это $2b^2$.
Вынесем $2b^2$ за скобки:
$8b^2 - 4b^3 + 10b^4 = 2b^2 \cdot 4 - 2b^2 \cdot 2b + 2b^2 \cdot 5b^2 = 2b^2(4 - 2b + 5b^2)$.
Для стандартной записи расположим члены в скобках по убыванию степеней:
$2b^2(5b^2 - 2b + 4)$.
Ответ: $2b^2(5b^2 - 2b + 4)$.

3) Исходное выражение: $x^2 - 3x^3 - 4x^4$.
Найдем общий множитель. Коэффициенты 1, -3, -4 не имеют общего делителя, кроме 1. Все члены содержат переменную $x$, наименьшая степень которой $x^2$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2 - 3x^3 - 4x^4 = x^2(1 - 3x - 4x^2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $1 - 3x - 4x^2$. Для этого решим уравнение $1 - 3x - 4x^2 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $4x^2 + 3x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
По формуле разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ имеем:
$-4x^2 - 3x + 1 = -4(x - \frac{1}{4})(x - (-1)) = - (4x-1)(x+1) = (1-4x)(x+1)$.
Подставляем обратно в исходное разложение:
$x^2(1 - 4x)(x + 1)$.
Ответ: $x^2(1 - 4x)(x + 1)$.

4) Исходное выражение: $15y^3 - 27y^2 + 9y$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15, 27 и 9. НОД(15, 27, 9) = 3.
Все члены содержат переменную $y$, наименьшая степень которой $y$.
Общий множитель для всего выражения – $3y$.
Вынесем $3y$ за скобки:
$15y^3 - 27y^2 + 9y = 3y \cdot 5y^2 - 3y \cdot 9y + 3y \cdot 3 = 3y(5y^2 - 9y + 3)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $5y^2 - 9y + 3$ равен $D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 81 - 60 = 21$. Так как $D$ не является полным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $3y(5y^2 - 9y + 3)$.

5) Исходное выражение: $6a^5 - 72a^4 - 48a^2$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, 72 и 48. НОД(6, 72, 48) = 6.
Все члены содержат переменную $a$, наименьшая степень которой $a^2$.
Общий множитель для всего выражения – $6a^2$.
Вынесем $6a^2$ за скобки:
$6a^5 - 72a^4 - 48a^2 = 6a^2 \cdot a^3 - 6a^2 \cdot 12a^2 - 6a^2 \cdot 8 = 6a^2(a^3 - 12a^2 - 8)$.
Кубический многочлен $a^3 - 12a^2 - 8$ не имеет простых целых корней, поэтому дальнейшее разложение в рамках школьной программы не предполагается.
Ответ: $6a^2(a^3 - 12a^2 - 8)$.

6) Исходное выражение: $-5mn^2 - 15m^2n - 20m^2n^2$.
Найдем общий множитель для всех членов. Для коэффициентов -5, -15, -20 общим делителем является 5. Так как все члены отрицательные, удобно вынести за скобки -5.
Для переменной $m$ наименьшая степень – $m^1 = m$.
Для переменной $n$ наименьшая степень – $n^1 = n$.
Таким образом, общий множитель – $-5mn$.
Вынесем $-5mn$ за скобки, разделив каждый член на $-5mn$:
$(-5mn^2) : (-5mn) = n$
$(-15m^2n) : (-5mn) = 3m$
$(-20m^2n^2) : (-5mn) = 4mn$
Получаем: $-5mn(n + 3m + 4mn)$.
Ответ: $-5mn(n + 3m + 4mn)$.