Номер 2.71, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $a(a+b)-b(a-b)+2(b-a);$

2) $2x^2-x(2x-5y)-y(2x-y);$

3) $2xy(2x^2-5xy)-3xy(7xy-y^2);$

4) $6m^2-5m(2n-m)-4m(3m+2,5n).$

1) Чтобы представить выражение $a(a + b) - b(a - b) + 2(b - a)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем каждую скобку, используя распределительный закон умножения:
$a(a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$
$-b(a - b) = -b \cdot a - b \cdot (-b) = -ab + b^2$
$2(b - a) = 2 \cdot b + 2 \cdot (-a) = 2b - 2a$
Теперь сложим полученные выражения:
$a^2 + ab - ab + b^2 + 2b - 2a$
Приведем подобные слагаемые. Члены $ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются ($ab - ab = 0$).
$a^2 + (ab - ab) + b^2 + 2b - 2a = a^2 + 0 + b^2 + 2b - 2a$
Запишем итоговый многочлен, расположив члены в стандартном виде:
$a^2 - 2a + b^2 + 2b$
Ответ: $a^2 - 2a + b^2 + 2b$

2) Чтобы представить выражение $2x^2 - x(2x - 5y) - y(2x - y)$ в виде многочлена, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Раскрываем скобки, умножая одночлены на многочлены в них:
$-x(2x - 5y) = -x \cdot 2x - x \cdot (-5y) = -2x^2 + 5xy$
$-y(2x - y) = -y \cdot 2x - y \cdot (-y) = -2xy + y^2$
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$2x^2 + (-2x^2 + 5xy) - (2xy - y^2) = 2x^2 - 2x^2 + 5xy - 2xy + y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 2x^2) + (5xy - 2xy) + y^2 = 0 + 3xy + y^2$
Итоговый многочлен:
$3xy + y^2$
Ответ: $3xy + y^2$

3) Чтобы представить выражение $2xy(2x^2 - 5xy) - 3xy(7xy - y^2)$ в виде многочлена, выполним умножение и приведем подобные члены.
Раскроем первую скобку:
$2xy(2x^2 - 5xy) = 2xy \cdot 2x^2 - 2xy \cdot 5xy = 4x^3y - 10x^2y^2$
Раскроем вторую скобку:
$-3xy(7xy - y^2) = -3xy \cdot 7xy - (-3xy) \cdot y^2 = -21x^2y^2 + 3xy^3$
Сложим результаты:
$4x^3y - 10x^2y^2 - 21x^2y^2 + 3xy^3$
Приведем подобные слагаемые (члены с $x^2y^2$):
$4x^3y + (-10x^2y^2 - 21x^2y^2) + 3xy^3 = 4x^3y - 31x^2y^2 + 3xy^3$
Ответ: $4x^3y - 31x^2y^2 + 3xy^3$

4) Чтобы представить выражение $6m^2 - 5m(2n - m) - 4m(3m + 2,5n)$ в виде многочлена, раскроем скобки и упростим.
Раскроем скобки, умножая одночлены на многочлены:
$-5m(2n - m) = -5m \cdot 2n - 5m \cdot (-m) = -10mn + 5m^2$
$-4m(3m + 2,5n) = -4m \cdot 3m - 4m \cdot 2,5n = -12m^2 - 10mn$
Теперь подставим эти выражения в исходное:
$6m^2 - 10mn + 5m^2 - 12m^2 - 10mn$
Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $m^2$ и члены с $mn$.
$(6m^2 + 5m^2 - 12m^2) + (-10mn - 10mn) = (11m^2 - 12m^2) - 20mn = -m^2 - 20mn$
Ответ: $-m^2 - 20mn$