Номер 2.74, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.74. Разложите на множители:

1) $a^3 + 5a^2 + a$;

2) $8b^2 - 4b^3 + 10b^4$;

3) $x^2 - 3x^3 - 4x^4$;

4) $15y^3 - 27y^2 + 9y$;

5) $6a^5 - 72a^4 - 48a^2$;

6) $-5mn^2 - 15m^2n - 20m^2n^2$.

1) Исходное выражение: $a^3 + 5a^2 + a$.
Чтобы разложить многочлен на множители, найдем общий множитель для всех его членов. Все члены многочлена ($a^3$, $5a^2$ и $a$) содержат переменную $a$. Наименьшая степень переменной в выражении – первая ($a^1 = a$). Вынесем этот общий множитель $a$ за скобки:
$a^3 + 5a^2 + a = a \cdot a^2 + a \cdot 5a + a \cdot 1 = a(a^2 + 5a + 1)$.
Квадратный трехчлен в скобках $a^2 + 5a + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$ не является полным квадратом.
Ответ: $a(a^2 + 5a + 1)$.

2) Исходное выражение: $8b^2 - 4b^3 + 10b^4$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 8, -4 и 10. НОД(8, 4, 10) = 2.
Найдем общую переменную часть. Все члены содержат $b$ в степенях $b^2$, $b^3$, $b^4$. Наименьшая степень – $b^2$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения – это $2b^2$.
Вынесем $2b^2$ за скобки:
$8b^2 - 4b^3 + 10b^4 = 2b^2 \cdot 4 - 2b^2 \cdot 2b + 2b^2 \cdot 5b^2 = 2b^2(4 - 2b + 5b^2)$.
Для стандартной записи расположим члены в скобках по убыванию степеней:
$2b^2(5b^2 - 2b + 4)$.
Ответ: $2b^2(5b^2 - 2b + 4)$.

3) Исходное выражение: $x^2 - 3x^3 - 4x^4$.
Найдем общий множитель. Коэффициенты 1, -3, -4 не имеют общего делителя, кроме 1. Все члены содержат переменную $x$, наименьшая степень которой $x^2$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2 - 3x^3 - 4x^4 = x^2(1 - 3x - 4x^2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $1 - 3x - 4x^2$. Для этого решим уравнение $1 - 3x - 4x^2 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $4x^2 + 3x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
По формуле разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ имеем:
$-4x^2 - 3x + 1 = -4(x - \frac{1}{4})(x - (-1)) = - (4x-1)(x+1) = (1-4x)(x+1)$.
Подставляем обратно в исходное разложение:
$x^2(1 - 4x)(x + 1)$.
Ответ: $x^2(1 - 4x)(x + 1)$.

4) Исходное выражение: $15y^3 - 27y^2 + 9y$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15, 27 и 9. НОД(15, 27, 9) = 3.
Все члены содержат переменную $y$, наименьшая степень которой $y$.
Общий множитель для всего выражения – $3y$.
Вынесем $3y$ за скобки:
$15y^3 - 27y^2 + 9y = 3y \cdot 5y^2 - 3y \cdot 9y + 3y \cdot 3 = 3y(5y^2 - 9y + 3)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $5y^2 - 9y + 3$ равен $D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 81 - 60 = 21$. Так как $D$ не является полным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $3y(5y^2 - 9y + 3)$.

5) Исходное выражение: $6a^5 - 72a^4 - 48a^2$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, 72 и 48. НОД(6, 72, 48) = 6.
Все члены содержат переменную $a$, наименьшая степень которой $a^2$.
Общий множитель для всего выражения – $6a^2$.
Вынесем $6a^2$ за скобки:
$6a^5 - 72a^4 - 48a^2 = 6a^2 \cdot a^3 - 6a^2 \cdot 12a^2 - 6a^2 \cdot 8 = 6a^2(a^3 - 12a^2 - 8)$.
Кубический многочлен $a^3 - 12a^2 - 8$ не имеет простых целых корней, поэтому дальнейшее разложение в рамках школьной программы не предполагается.
Ответ: $6a^2(a^3 - 12a^2 - 8)$.

6) Исходное выражение: $-5mn^2 - 15m^2n - 20m^2n^2$.
Найдем общий множитель для всех членов. Для коэффициентов -5, -15, -20 общим делителем является 5. Так как все члены отрицательные, удобно вынести за скобки -5.
Для переменной $m$ наименьшая степень – $m^1 = m$.
Для переменной $n$ наименьшая степень – $n^1 = n$.
Таким образом, общий множитель – $-5mn$.
Вынесем $-5mn$ за скобки, разделив каждый член на $-5mn$:
$(-5mn^2) : (-5mn) = n$
$(-15m^2n) : (-5mn) = 3m$
$(-20m^2n^2) : (-5mn) = 4mn$
Получаем: $-5mn(n + 3m + 4mn)$.
Ответ: $-5mn(n + 3m + 4mn)$.