Номер 2.73, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.73. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2;$

2) $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3;$

3) $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4;$

4) $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3;$

5) $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q;$

6) $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2.$

1) Для многочлена $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2$ необходимо найти общий множитель для всех его членов.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 3, 9 и 6. НОД(3, 9, 6) = 3.
Далее определим общие переменные и их наименьшие степени. Переменная $x$ присутствует во всех членах, ее наименьшая степень - 1 ($x^1=x$). Переменная $y$ отсутствует в первом члене, поэтому не является общим множителем для всего выражения.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3x$.
Разделим каждый член многочлена на $3x$:
$3x^2 \div (3x) = x$
$-9x^2y \div (3x) = -3xy$
$6xy^2 \div (3x) = 2y^2$
Запишем выражение в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках.
Ответ: $3x(x - 3xy + 2y^2)$.

2) В выражении $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 15, 25, 10 равен 5.
Общая переменная для всех членов - $a$. Ее наименьшая степень в выражении - 2 ($a^2$). Переменная $b$ входит не во все члены.
Следовательно, общий множитель - $5a^2$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $5a^2$:
$15a^2 \div (5a^2) = 3$
$-25a^2b^2 \div (5a^2) = -5b^2$
$-10a^3 \div (5a^2) = -2a$
В результате получаем.
Ответ: $5a^2(3 - 5b^2 - 2a)$.

3) В выражении $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 6, 9, 12 равен 3.
Переменная $a$ есть только в первом члене. Переменная $b$ есть во всех членах, ее наименьшая степень - 2 ($b^2$).
Общий множитель - $3b^2$.
Выполним деление каждого члена на $3b^2$:
$6ab^2 \div (3b^2) = 2a$
$-9b^3 \div (3b^2) = -3b$
$12b^4 \div (3b^2) = 4b^2$
Запишем итоговое выражение.
Ответ: $3b^2(2a - 3b + 4b^2)$.

4) В выражении $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 14, 21, 35 равен 7.
Переменная $m$ присутствует во всех членах, наименьшая степень - 1 ($m$). Переменная $n$ также присутствует во всех членах, наименьшая степень - 1 ($n$).
Общий множитель - $7mn$.
Вынесем его за скобки:
$14m^2n \div (7mn) = 2m$
$-21mn^2 \div (7mn) = -3n$
$-35mn^3 \div (7mn) = -5n^2$
Результат разложения на множители.
Ответ: $7mn(2m - 3n - 5n^2)$.

5) В выражении $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 30, 18, 12 равен 6.
Переменная $p$ входит во все члены с наименьшей степенью 1 ($p$). Переменная $q$ входит во все члены с наименьшей степенью 1 ($q$).
Общий множитель - $6pq$.
Вынесем $6pq$ за скобки:
$30pq^3 \div (6pq) = 5q^2$
$18p^2q^2 \div (6pq) = 3pq$
$-12p^3q \div (6pq) = -2p^2$
Получаем следующее выражение.
Ответ: $6pq(5q^2 + 3pq - 2p^2)$.

6) В выражении $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 8, 12, 16 равен 4.
Переменная $x$ входит во все члены, наименьшая степень - 2 ($x^2$). Переменная $y$ входит во все члены, наименьшая степень - 2 ($y^2$).
Общий множитель - $4x^2y^2$.
Вынесем его за скобки:
$8x^4y^3 \div (4x^2y^2) = 2x^2y$
$-12x^2y^2 \div (4x^2y^2) = -3$
$16x^3y^2 \div (4x^2y^2) = 4x$
Запишем выражение в разложенном виде.
Ответ: $4x^2y^2(2x^2y - 3 + 4x)$.