Номер 2.66, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.66. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $4a^3b-6a^2b^2;$

2) $5x^2y+10xy^2;$

3) $14m^3n-21m^2n^3;$

4) $5x^3-15x^2y+20xy^2;$

5) $2a^2y-6ay^2+8y;$

6) $6ax-9a^2+15ax^2.$

1) Чтобы представить многочлен $4a^3b - 6a^2b^2$ в виде произведения, нужно вынести за скобки общий множитель.
Найдём наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 4 и 6. НОД(4, 6) = 2.
Теперь найдём общий множитель для переменных. Для $a^3$ и $a^2$ общим множителем является $a^2$ (наименьшая степень). Для $b$ и $b^2$ общим множителем является $b$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения: $2a^2b$.
Вынесем его за скобки:
$4a^3b - 6a^2b^2 = 2a^2b \cdot (\frac{4a^3b}{2a^2b} - \frac{6a^2b^2}{2a^2b}) = 2a^2b(2a - 3b)$.
Ответ: $2a^2b(2a - 3b)$.

2) В многочлене $5x^2y + 10xy^2$ найдём общий множитель.
НОД для коэффициентов 5 и 10 равен 5.
Для переменных $x^2$ и $x$ общим множителем является $x$. Для $y$ и $y^2$ общим множителем является $y$.
Общий множитель для всего выражения: $5xy$.
Вынесем его за скобки:
$5x^2y + 10xy^2 = 5xy \cdot (\frac{5x^2y}{5xy} + \frac{10xy^2}{5xy}) = 5xy(x + 2y)$.
Ответ: $5xy(x + 2y)$.

3) В многочлене $14m^3n - 21m^2n^3$ найдём общий множитель.
НОД для коэффициентов 14 и 21 равен 7.
Для переменных $m^3$ и $m^2$ общим множителем является $m^2$. Для $n$ и $n^3$ общим множителем является $n$.
Общий множитель для всего выражения: $7m^2n$.
Вынесем его за скобки:
$14m^3n - 21m^2n^3 = 7m^2n \cdot (\frac{14m^3n}{7m^2n} - \frac{21m^2n^3}{7m^2n}) = 7m^2n(2m - 3n^2)$.
Ответ: $7m^2n(2m - 3n^2)$.

4) В многочлене $5x^3 - 15x^2y + 20xy^2$ найдём общий множитель.
НОД для коэффициентов 5, 15 и 20 равен 5.
Для переменных $x^3$, $x^2y$ и $xy^2$ общим множителем является только $x$, так как переменная $y$ отсутствует в первом члене.
Общий множитель для всего выражения: $5x$.
Вынесем его за скобки:
$5x^3 - 15x^2y + 20xy^2 = 5x \cdot (\frac{5x^3}{5x} - \frac{15x^2y}{5x} + \frac{20xy^2}{5x}) = 5x(x^2 - 3xy + 4y^2)$.
Ответ: $5x(x^2 - 3xy + 4y^2)$.

5) В многочлене $2a^2y - 6ay^2 + 8y$ найдём общий множитель.
НОД для коэффициентов 2, 6 и 8 равен 2.
Для переменных $a^2y$, $ay^2$ и $y$ общим множителем является только $y$, так как переменная $a$ отсутствует в третьем члене.
Общий множитель для всего выражения: $2y$.
Вынесем его за скобки:
$2a^2y - 6ay^2 + 8y = 2y \cdot (\frac{2a^2y}{2y} - \frac{6ay^2}{2y} + \frac{8y}{2y}) = 2y(a^2 - 3ay + 4)$.
Ответ: $2y(a^2 - 3ay + 4)$.

6) В многочлене $6ax - 9a^2 + 15ax^2$ найдём общий множитель.
НОД для коэффициентов 6, 9 и 15 равен 3.
Для переменных $ax$, $a^2$ и $ax^2$ общим множителем является только $a$, так как переменная $x$ отсутствует во втором члене.
Общий множитель для всего выражения: $3a$.
Вынесем его за скобки:
$6ax - 9a^2 + 15ax^2 = 3a \cdot (\frac{6ax}{3a} - \frac{9a^2}{3a} + \frac{15ax^2}{3a}) = 3a(2x - 3a + 5x^2)$.
Ответ: $3a(2x - 3a + 5x^2)$.