Вопросы, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

2. Что вы понимаете под разложением многочлена на множители?

3. Объясните, как правильно вынести общий множитель за скобки.

1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Это правило является следствием распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания. В общем виде его можно записать так:
$a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$
Пример: Умножим одночлен $5x^2$ на многочлен $(2x^3 - 4xy + 3y^2)$.
$5x^2 \cdot (2x^3 - 4xy + 3y^2) = (5x^2 \cdot 2x^3) + (5x^2 \cdot (-4xy)) + (5x^2 \cdot 3y^2)$
Выполним умножение одночленов, перемножая их коэффициенты и складывая показатели степеней одинаковых переменных:
$= 10x^{2+3} - 20x^{2+1}y + 15x^2y^2$
$= 10x^5 - 20x^3y + 15x^2y^2$
В результате умножения одночлена на многочлен получается новый многочлен.
Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

2. Что вы понимаете под разложением многочлена на множители?

Разложение многочлена на множители — это тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения двух или нескольких сомножителей (одночленов или многочленов).
Этот процесс является обратным по отношению к умножению многочленов. Например, если мы умножим одночлен $3a$ на многочлен $(2b - c)$, то получим многочлен $6ab - 3ac$.
$3a \cdot (2b - c) = 6ab - 3ac$
Следовательно, представление многочлена $6ab - 3ac$ в виде произведения $3a(2b - c)$ и есть его разложение на множители.
Разложение на множители — это ключевой приём в алгебре, который используется для упрощения выражений, решения уравнений, сокращения дробей и других преобразований.
Ответ: Разложение многочлена на множители — это его представление в виде произведения нескольких одночленов и/или многочленов.

3. Объясните, как правильно вынести общий множитель за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — это один из основных методов разложения многочлена на множители. Чтобы правильно выполнить это действие, нужно следовать алгоритму:

Шаг 1. Найти общий множитель.
Общий множитель для всех членов многочлена ищется как произведение:
- Наибольшего общего делителя (НОД) модулей всех числовых коэффициентов.
- Каждой переменной, которая входит во все члены многочлена, взятой с наименьшим из имеющихся у неё показателей степени.

Шаг 2. Вынести общий множитель за скобки.
Записываем найденный на первом шаге общий множитель, а затем ставим открывающуюся скобку.

Шаг 3. Определить выражение в скобках.
Чтобы найти, какой многочлен останется в скобках, нужно каждый член исходного многочлена разделить на вынесенный общий множитель. Результаты деления записываются в скобках с сохранением их знаков.

Пример: Разложим на множители многочлен $12x^4y^2 - 18x^3y^3 + 30x^2y$.
1. Находим общий множитель:
- Коэффициенты: 12, -18, 30. Их НОД равен 6.
- Переменная $x$: входит со степенями 4, 3, 2. Наименьшая степень — 2, значит, берём $x^2$.
- Переменная $y$: входит со степенями 2, 3, 1. Наименьшая степень — 1, значит, берём $y$.
Общий множитель равен $6x^2y$.
2. Делим каждый член на $6x^2y$:
- $(12x^4y^2) : (6x^2y) = 2x^2y$
- $(-18x^3y^3) : (6x^2y) = -3xy^2$
- $(30x^2y) : (6x^2y) = 5$
3. Записываем итоговое выражение:
$12x^4y^2 - 18x^3y^3 + 30x^2y = 6x^2y(2x^2y - 3xy^2 + 5)$
Ответ: Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно найти общий множитель для всех членов многочлена (НОД коэффициентов и переменные в наименьших степенях), записать его перед скобкой, а в скобках записать результат деления каждого члена исходного многочлена на этот общий множитель.