Номер 2.60, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.60. Может ли у уравнения $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 2 = 0$ быть отрицательный корень? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы ответить на вопрос, может ли уравнение $x⁴ - 3x³ + 4x² - x + 2 = 0$ иметь отрицательный корень, проанализируем левую часть уравнения при $x < 0$.

Предположим, что у уравнения есть отрицательный корень $x$. Это означает, что $x < 0$.
Рассмотрим знаки каждого слагаемого в левой части уравнения для $x < 0$:

• $x⁴$: Так как $x$ - отрицательное число, а показатель степени 4 - четное число, то $x⁴$ будет положительным числом ($x⁴ > 0$).
• $-3x³$: Так как $x$ - отрицательное число, а показатель степени 3 - нечетное число, то $x³$ будет отрицательным числом ($x³ < 0$). При умножении на отрицательное число -3, результат становится положительным ($-3x³ > 0$).
• $4x²$: Так как $x$ - отрицательное число, а показатель степени 2 - четное число, то $x²$ будет положительным числом ($x² > 0$). При умножении на 4, результат также остается положительным ($4x² > 0$).
• $-x$: Так как $x$ - отрицательное число, то $-x$ будет положительным числом ($-x > 0$).
• $+2$: Это слагаемое является положительной константой.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых:

$\underbrace{x⁴}_{>0} \underbrace{-3x³}_{>0} + \underbrace{4x²}_{>0} \underbrace{-x}_{>0} + \underbrace{2}_{>0}$

Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. Это означает, что для любого $x < 0$ значение выражения $x⁴ - 3x³ + 4x² - x + 2$ будет строго больше нуля, и, следовательно, оно не может равняться нулю.

Вывод: Уравнение не имеет отрицательных корней.

Ответ: Нет, у уравнения $x⁴ - 3x³ + 4x² - x + 2 = 0$ не может быть отрицательных корней, так как при подстановке любого отрицательного числа в левую часть уравнения получается строго положительное значение.