Номер 2.53, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. Докажите, что многочлен, содержащий только четные степени одной и той же переменной, не меняет своего значения при изменении знака этой переменной на противоположный.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный многочлен $P(x)$, который содержит только четные степени переменной $x$.

Общий вид такого многочлена можно записать следующим образом: $$ P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2} + \dots + a_2x^2 + a_0 $$ где $a_{2n}, a_{2n-2}, \dots, a_0$ — некоторые числовые коэффициенты, а $2n, 2n-2, \dots, 2, 0$ — четные степени переменной $x$. (Свободный член $a_0$ можно рассматривать как $a_0x^0$, где 0 — четное число).

Теперь найдем значение этого многочлена, если заменить переменную $x$ на $-x$. Для этого подставим $-x$ в выражение для $P(x)$: $$ P(-x) = a_{2n}(-x)^{2n} + a_{2n-2}(-x)^{2n-2} + \dots + a_2(-x)^2 + a_0 $$

Рассмотрим произвольный член этого многочлена вида $a_{2k}x^{2k}$ и посмотрим, как он изменится при замене $x$ на $-x$. Получим $a_{2k}(-x)^{2k}$. Используем свойство степеней: $(-a)^m = (-1)^m \cdot a^m$. В нашем случае $m=2k$ является четным числом. $$ (-x)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot x^{2k} $$ Поскольку любое целое число $k$, умноженное на 2, дает четное число $2k$, то $(-1)^{2k}$ всегда равно 1. Это можно показать так: $$ (-1)^{2k} = ((-1)^2)^k = 1^k = 1 $$ Следовательно, для любой четной степени $2k$: $$ (-x)^{2k} = x^{2k} $$

Это означает, что каждый член многочлена не меняет своего значения при замене $x$ на $-x$:

• $a_{2n}(-x)^{2n} = a_{2n}x^{2n}$
• $a_{2n-2}(-x)^{2n-2} = a_{2n-2}x^{2n-2}$
• ...
• $a_2(-x)^2 = a_2x^2$
• $a_0$ не изменяется.

Таким образом, выражение для $P(-x)$ будет выглядеть так: $$ P(-x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2} + \dots + a_2x^2 + a_0 $$ Сравнивая это выражение с исходным выражением для $P(x)$, мы видим, что они идентичны: $$ P(-x) = P(x) $$ Это доказывает, что значение многочлена, содержащего только четные степени переменной, не меняется при изменении знака этой переменной на противоположный. Такие функции называются четными.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку для любого члена вида $ax^{2k}$ выполняется равенство $a(-x)^{2k} = ax^{2k}$, то и для всего многочлена, являющегося суммой таких членов, выполняется равенство $P(-x) = P(x)$, что и требовалось доказать.