Номер 2.68, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.68. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $10 \cdot (m+5) + 2 \cdot (-2m+3n)$

2) $7x \cdot (4y-x) + 4x(x-7y)$

3) $4a(7x-1) - 7(4ax+1)$

4) $3a^2 - 2a(5+2a) + 10a$

5) $a(a+b)+b(a-b)$

6) $2a^2-a(2a-5b)-b(2a-b)$

7) $5a(6a+3b)-6a(5b-2a)$

8) $8m(m+n)-3n(2m-4n)$

1) $10 \cdot (m+5) + 2 \cdot (-2m+3n)$

Чтобы представить выражение в виде многочлена, сначала раскроем скобки. Для этого умножим каждый член в скобках на множитель перед ними:
$10 \cdot (m+5) = 10 \cdot m + 10 \cdot 5 = 10m + 50$
$2 \cdot (-2m+3n) = 2 \cdot (-2m) + 2 \cdot (3n) = -4m + 6n$

Теперь сложим полученные выражения:
$(10m + 50) + (-4m + 6n) = 10m + 50 - 4m + 6n$

Приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):
$(10m - 4m) + 6n + 50 = 6m + 6n + 50$

Ответ: $6m + 6n + 50$

2) $7x \cdot (4y-x) + 4x(x-7y)$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:
$7x \cdot (4y-x) = 7x \cdot 4y + 7x \cdot (-x) = 28xy - 7x^2$
$4x \cdot (x-7y) = 4x \cdot x + 4x \cdot (-7y) = 4x^2 - 28xy$

Сложим результаты и сгруппируем подобные слагаемые:
$(28xy - 7x^2) + (4x^2 - 28xy) = 28xy - 7x^2 + 4x^2 - 28xy$
$(-7x^2 + 4x^2) + (28xy - 28xy) = -3x^2 + 0 = -3x^2$

Ответ: $-3x^2$

3) $4a(7x-1) - 7(4ax+1)$

Раскроем скобки:
$4a(7x-1) = 4a \cdot 7x + 4a \cdot (-1) = 28ax - 4a$
$-7(4ax+1) = -7 \cdot 4ax - 7 \cdot 1 = -28ax - 7$

Сложим полученные выражения:
$(28ax - 4a) + (-28ax - 7) = 28ax - 4a - 28ax - 7$

Приведем подобные слагаемые:
$(28ax - 28ax) - 4a - 7 = 0 - 4a - 7 = -4a - 7$

Ответ: $-4a - 7$

4) $3a^2 - 2a(5+2a) + 10a$

Сначала раскроем скобки в выражении $-2a(5+2a)$:
$-2a(5+2a) = -2a \cdot 5 - 2a \cdot 2a = -10a - 4a^2$

Теперь подставим это в исходное выражение:
$3a^2 + (-10a - 4a^2) + 10a = 3a^2 - 10a - 4a^2 + 10a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3a^2 - 4a^2) + (-10a + 10a) = -a^2 + 0 = -a^2$

Ответ: $-a^2$

5) $a(a+b) + b(a-b)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$a(a+b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$
$b(a-b) = b \cdot a - b \cdot b = ab - b^2$

Сложим результаты:
$(a^2 + ab) + (ab - b^2) = a^2 + ab + ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (ab + ab) - b^2 = a^2 + 2ab - b^2$

Ответ: $a^2 + 2ab - b^2$

6) $2a^2 - a(2a-5b) - b(2a-b)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$-a(2a-5b) = -a \cdot 2a - a \cdot (-5b) = -2a^2 + 5ab$
$-b(2a-b) = -b \cdot 2a - b \cdot (-b) = -2ab + b^2$

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$2a^2 + (-2a^2 + 5ab) + (-2ab + b^2) = 2a^2 - 2a^2 + 5ab - 2ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 - 2a^2) + (5ab - 2ab) + b^2 = 0 + 3ab + b^2 = 3ab + b^2$

Ответ: $3ab + b^2$

7) $5a(6a+3b) - 6a(5b-2a)$

Раскроем скобки:
$5a(6a+3b) = 5a \cdot 6a + 5a \cdot 3b = 30a^2 + 15ab$
$-6a(5b-2a) = -6a \cdot 5b - 6a \cdot (-2a) = -30ab + 12a^2$

Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$30a^2 + 15ab - 30ab + 12a^2 = (30a^2 + 12a^2) + (15ab - 30ab) = 42a^2 - 15ab$

Ответ: $42a^2 - 15ab$

8) $8m(m+n) - 3n(2m-4n)$

Раскроем скобки:
$8m(m+n) = 8m \cdot m + 8m \cdot n = 8m^2 + 8mn$
$-3n(2m-4n) = -3n \cdot 2m - 3n \cdot (-4n) = -6mn + 12n^2$

Сложим результаты:
$8m^2 + 8mn - 6mn + 12n^2$

Приведем подобные слагаемые:
$8m^2 + (8mn - 6mn) + 12n^2 = 8m^2 + 2mn + 12n^2$

Ответ: $8m^2 + 2mn + 12n^2$