Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3;$

2) $2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3;$

3) $3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y;$

4) $-6bm^2 + 9m^3 - 12m^4 - 3b^2m^2.$

1) $5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3$

Чтобы представить многочлен в виде произведения, в первую очередь вынесем за скобки общий множитель всех его членов.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 5, 10, -25, -15. НОД(5, 10, 25, 15) = 5.

Переменная $a$ входит во все члены многочлена. Наименьшая степень, в которой она встречается, это первая ($a^1$).

Переменная $b$ входит не во все члены (в первом члене $5a^4$ ее нет), поэтому ее нельзя вынести за скобки как общий множитель.

Таким образом, общий множитель для всего многочлена равен $5a$.

Вынесем $5a$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $5a$:

$5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3 = 5a \cdot a^3 + 5a \cdot 2a^2b - 5a \cdot 5ab^2 - 5a \cdot 3b^3 = 5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$.

Дальнейшее разложение многочлена в скобках $a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3$ на множители с целыми коэффициентами стандартными методами (такими как группировка) не представляется возможным.

Ответ: $5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$.

2) $2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена.

НОД для коэффициентов 2, -6, -6, 8 равен 2.

Переменная $x$ входит во все члены. Наименьшая степень $x$ равна 1 ($x^1$).

Переменная $y$ входит не во все члены.

Следовательно, общий множитель равен $2x$.

Вынесем $2x$ за скобки:

$2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3 = 2x \cdot x^3 - 2x \cdot 3x^2y - 2x \cdot 3xy^2 + 2x \cdot 4y^3 = 2x(x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

Многочлен третьей степени в скобках $x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3$ не имеет простых рациональных корней и не раскладывается на множители методом группировки.

Ответ: $2x(x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

3) $3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель.

НОД для коэффициентов 3, 6, -15, -9 равен 3.

Переменная $x$ входит во все члены. Наименьшая степень $x$ равна 2 ($x^2$).

Переменная $y$ входит не во все члены.

Общий множитель равен $3x^2$.

Вынесем $3x^2$ за скобки:

$3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y = 3x^2 \cdot x^2 + 3x^2 \cdot 2xy - 3x^2 \cdot 5y^2 - 3x^2 \cdot 3y = 3x^2(x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y)$.

Выражение в скобках $x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y$ представляет собой многочлен, который не может быть разложен на более простые множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $3x^2(x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y)$.

4) $-6bm^2 + 9m^3 - 12m^4 - 3b^2m^2$

Сначала найдем общий множитель для всех членов многочлена.

НОД для абсолютных значений коэффициентов -6, 9, -12, -3 (т.е. 6, 9, 12, 3) равен 3.

Переменная $m$ входит во все члены. Наименьшая степень $m$ равна 2 ($m^2$).

Переменная $b$ входит не во все члены.

Общий множитель равен $3m^2$. Чтобы старший член в скобках имел положительный коэффициент, удобнее вынести за скобки $-3m^2$.

Перепишем исходный многочлен, упорядочив его по убывающим степеням $m$:

$-12m^4 + 9m^3 - 6bm^2 - 3b^2m^2$

Вынесем $-3m^2$ за скобки:

$-3m^2 \cdot 4m^2 - 3m^2 \cdot (-3m) - 3m^2 \cdot (2b) - 3m^2 \cdot (b^2) = -3m^2(4m^2 - 3m + 2b + b^2)$.

Многочлен в скобках $4m^2 - 3m + 2b + b^2$ не раскладывается на множители стандартными школьными методами.

Ответ: $-3m^2(4m^2 - 3m + b^2 + 2b)$.

2.76. Разложите на множители:

1) $12x^2y - 18xy^2 - 30ay^3$

2) $20x^2y - 25x^2y^2 - 10x^3y^3$

3) $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^3$

4) $-4mn^3 - 8m^2n^2 + 12m^3n$

Чтобы разложить на множители многочлен $12x^2y - 18xy^2 - 30ay^3$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов. Этот процесс называется вынесением общего множителя за скобки.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 12, 18 и 30. Разложим их на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Общими множителями являются 2 и 3. Следовательно, НОД(12, 18, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $x$ есть в первом и втором члене ($x^2$ и $x^1$), но отсутствует в третьем, поэтому $x$ не является общим множителем.
• Переменная $y$ есть во всех трёх членах в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень - 1, поэтому общий множитель - $y^1$ или просто $y$.
• Переменная $a$ есть только в третьем члене, поэтому она не является общим множителем.

3. Общий множитель для всего многочлена является произведением НОД коэффициентов и общих переменных, то есть $6y$.
4. Выносим $6y$ за скобки. для этого каждый член исходного многочлена делим на $6y$:
$ \frac{12x^2y}{6y} = 2x^2 $
$ \frac{-18xy^2}{6y} = -3xy $
$ \frac{-30ay^3}{6y} = -5ay^2 $
В результате получаем: $6y(2x^2 - 3xy - 5ay^2)$.

Ответ: $6y(2x^2 - 3xy - 5ay^2)$

Разложим на множители многочлен $20x^2y - 25x^2y^2 - 10x^3y^3$.
1. Находим НОД для коэффициентов 20, 25 и 10. НОД(20, 25, 10) = 5.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $x$ входит во все члены в степенях 2, 2 и 3. Наименьшая степень равна 2, значит, общий множитель - $x^2$.
• Переменная $y$ входит во все члены в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень равна 1, значит, общий множитель - $y$.

3. Общий множитель для всего многочлена - это $5x^2y$.
4. Выносим $5x^2y$ за скобки, разделив каждый член многочлена на этот множитель:
$ \frac{20x^2y}{5x^2y} = 4 $
$ \frac{-25x^2y^2}{5x^2y} = -5y $
$ \frac{-10x^3y^3}{5x^2y} = -2xy^2 $
В результате получаем: $5x^2y(4 - 5y - 2xy^2)$.

Ответ: $5x^2y(4 - 5y - 2xy^2)$

Разложим на множители многочлен $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^3$.
1. Находим НОД для коэффициентов 8, 12 и 16. НОД(8, 12, 16) = 4.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $a$ входит во все члены в степенях 4, 2 и 3. Наименьшая степень равна 2, значит, общий множитель - $a^2$.
• Переменная $b$ входит во все члены в степенях 3, 4 и 3. Наименьшая степень равна 3, значит, общий множитель - $b^3$.

3. Общий множитель для всего многочлена - это $4a^2b^3$.
4. Выносим $4a^2b^3$ за скобки:
$ \frac{8a^4b^3}{4a^2b^3} = 2a^{4-2}b^{3-3} = 2a^2 $
$ \frac{-12a^2b^4}{4a^2b^3} = -3a^{2-2}b^{4-3} = -3b $
$ \frac{16a^3b^3}{4a^2b^3} = 4a^{3-2}b^{3-3} = 4a $
В результате получаем: $4a^2b^3(2a^2 - 3b + 4a)$.

Ответ: $4a^2b^3(2a^2 - 3b + 4a)$

Разложим на множители многочлен $-4mn^3 - 8m^2n^2 + 12m^3n$.
1. Находим НОД для абсолютных значений коэффициентов 4, 8 и 12. НОД(4, 8, 12) = 4.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $m$ входит во все члены в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень равна 1, значит, общий множитель - $m$.
• Переменная $n$ входит во все члены в степенях 3, 2 и 1. Наименьшая степень равна 1, значит, общий множитель - $n$.

3. Общий множитель для всего многочлена - это $4mn$.
4. Выносим $4mn$ за скобки:
$ \frac{-4mn^3}{4mn} = -n^2 $
$ \frac{-8m^2n^2}{4mn} = -2mn $
$ \frac{12m^3n}{4mn} = 3m^2 $
В результате получаем: $4mn(-n^2 - 2mn + 3m^2)$. Для более удобного вида принято располагать слагаемые в скобках в порядке убывания степеней одной из переменных, например $m$, и начинать с положительного члена.
$4mn(3m^2 - 2mn - n^2)$.

Ответ: $4mn(3m^2 - 2mn - n^2)$

2.77. Решите уравнение:

1) $x^2 - 5x = 0;$

2) $y^2 + 6y = 0;$

3) $y^2 + 0.1y = 0;$

4) $x^2 + 2.5x = 0;$

5) $2x^2 - 3x = 0;$

6) $6x^2 - 0.5x = 0;$

7) $7x - 0.2x^2 = 0;$

8) $\frac{1}{4}x^2 + x = 0.$

1) В уравнении $x^2 - 5x = 0$ выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, получаем два уравнения: $x = 0$ или $x - 5 = 0$. Из второго уравнения находим $x = 5$. Таким образом, корни уравнения: 0 и 5.
Ответ: 0; 5.

2) В уравнении $y^2 + 6y = 0$ выносим общий множитель $y$ за скобки: $y(y + 6) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $y = 0$ или $y + 6 = 0$. Из второго уравнения находим $y = -6$. Корни уравнения: -6 и 0.
Ответ: -6; 0.

3) В уравнении $y^2 + 0,1y = 0$ выносим общий множитель $y$ за скобки: $y(y + 0,1) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $y = 0$ или $y + 0,1 = 0$. Из второго уравнения получаем $y = -0,1$. Корни уравнения: -0,1 и 0.
Ответ: -0,1; 0.

4) В уравнении $x^2 + 2,5x = 0$ выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 2,5) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $x + 2,5 = 0$. Из второго уравнения находим $x = -2,5$. Корни уравнения: -2,5 и 0.
Ответ: -2,5; 0.

5) В уравнении $2x^2 - 3x = 0$ выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(2x - 3) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $2x - 3 = 0$. Решаем второе уравнение: $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2} = 1,5$. Корни уравнения: 0 и 1,5.
Ответ: 0; 1,5.

6) В уравнении $6x^2 - 0,5x = 0$ выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(6x - 0,5) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $6x - 0,5 = 0$. Решаем второе уравнение: $6x = 0,5$, откуда $x = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$. Корни уравнения: 0 и $\frac{1}{12}$.
Ответ: 0; $\frac{1}{12}$.

7) В уравнении $7x - 0,2x^2 = 0$ выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(7 - 0,2x) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $7 - 0,2x = 0$. Решаем второе уравнение: $0,2x = 7$, откуда $x = \frac{7}{0,2} = \frac{70}{2} = 35$. Корни уравнения: 0 и 35.
Ответ: 0; 35.

8) В уравнении $\frac{1}{4}x^2 + x = 0$ выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(\frac{1}{4}x + 1) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $\frac{1}{4}x + 1 = 0$. Решаем второе уравнение: $\frac{1}{4}x = -1$, откуда $x = -4$. Корни уравнения: -4 и 0.
Ответ: -4; 0.

2.78. Найдите значение выражения:

1) $5.27x - x^2$ при $x=4.27$;

2) $ay - a^2$ при $a=1.5$, $y=-8.5$;

3) $ab^2 + b^3$ при $a=8.7$, $b=1.3$;

4) $-xy - x^2$ при $x=-1.28$, $y=101.28$.

1) Чтобы найти значение выражения $5,27x - x^2$ при $x=4,27$, удобно сначала упростить выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$5,27x - x^2 = x(5,27 - x)$
Теперь подставим заданное значение $x=4,27$ в полученное выражение:
$4,27 \cdot (5,27 - 4,27) = 4,27 \cdot 1 = 4,27$
Ответ: $4,27$

2) Чтобы найти значение выражения $ay - a^2$ при $a=1,5$ и $y=-8,5$, вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$ay - a^2 = a(y - a)$
Подставим значения $a=1,5$ и $y=-8,5$ в преобразованное выражение:
$1,5 \cdot (-8,5 - 1,5) = 1,5 \cdot (-10) = -15$
Ответ: $-15$

3) Чтобы найти значение выражения $ab^2 + b^3$ при $a=8,7$ и $b=1,3$, вынесем общий множитель $b^2$ за скобки:
$ab^2 + b^3 = b^2(a + b)$
Подставим значения $a=8,7$ и $b=1,3$:
$(1,3)^2 \cdot (8,7 + 1,3) = 1,69 \cdot 10 = 16,9$
Ответ: $16,9$

4) Чтобы найти значение выражения $-xy - x^2$ при $x=-1,28$ и $y=101,28$, вынесем общий множитель $-x$ за скобки:
$-xy - x^2 = -x(y + x)$
Подставим значения $x=-1,28$ и $y=101,28$:
$-(-1,28) \cdot (101,28 + (-1,28)) = 1,28 \cdot (101,28 - 1,28) = 1,28 \cdot 100 = 128$
Ответ: $128$

2.79. Докажите, что значение выражения:

1) $18^6+18^5$ кратно 19;

2) $122^{10}-122^9$ кратно $11^2$;

3) $7^6-7^4$ кратно 48;

4) $4^{18}+4^{16}$ кратно 34.

1) Чтобы доказать, что выражение $18^6 + 18^5$ кратно 19, вынесем общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $18^5$, за скобки.

$18^6 + 18^5 = 18^5 \cdot 18^1 + 18^5 \cdot 1 = 18^5(18 + 1)$

Выполним сложение в скобках:

$18^5(18 + 1) = 18^5 \cdot 19$

Полученное выражение представляет собой произведение, где один из множителей равен 19. Следовательно, все выражение делится на 19 без остатка, то есть кратно 19.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $122^{10} - 122^9$ кратно $11^2$, вынесем общий множитель $122^9$ за скобки.

$122^{10} - 122^9 = 122^9 \cdot 122^1 - 122^9 \cdot 1 = 122^9(122 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$122^9(122 - 1) = 122^9 \cdot 121$

Число 121 является квадратом числа 11, то есть $121 = 11^2$. Подставим это в наше выражение:

$122^9 \cdot 121 = 122^9 \cdot 11^2$

Поскольку в полученном произведении один из множителей равен $11^2$, все выражение кратно $11^2$.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $7^6 - 7^4$ кратно 48, вынесем за скобки общий множитель $7^4$.

$7^6 - 7^4 = 7^4 \cdot 7^2 - 7^4 \cdot 1 = 7^4(7^2 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках, используя формулу разности квадратов или прямое вычисление:

$7^4(49 - 1) = 7^4 \cdot 48$

Так как один из множителей в полученном произведении равен 48, то все выражение кратно 48.

Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $4^{18} + 4^{16}$ кратно 34, вынесем за скобки общий множитель $4^{16}$.

$4^{18} + 4^{16} = 4^{16} \cdot 4^2 + 4^{16} \cdot 1 = 4^{16}(4^2 + 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$4^{16}(16 + 1) = 4^{16} \cdot 17$

Нам нужно доказать кратность 34. Мы знаем, что $34 = 2 \cdot 17$. У нас уже есть множитель 17. Представим множитель $4^{16}$ как степень с основанием 2:

$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$2^{32} \cdot 17$

Выделим из множителя $2^{32}$ множитель 2:

$2^{32} \cdot 17 = (2 \cdot 2^{31}) \cdot 17 = 2^{31} \cdot (2 \cdot 17) = 2^{31} \cdot 34$

Полученное произведение содержит множитель 34, следовательно, исходное выражение кратно 34.

Ответ: Доказано.

2.80. Продано $m$ м сатина по $x$ тг за один метр и $n$ м шелка. Сколько тенге заплатили за всю покупку, если один метр шелка на $y$ тг дороже одного метра сатина?

Для решения задачи необходимо найти стоимость сатина и стоимость шелка по отдельности, а затем сложить их для получения общей стоимости покупки.

1. Находим стоимость сатина
По условию, было продано $m$ метров сатина по цене $x$ тенге за метр. Чтобы найти стоимость всего сатина, нужно умножить количество метров на цену за один метр:
Стоимость сатина = $m \cdot x$ тенге.

2. Находим стоимость шелка
Сначала определим цену одного метра шелка. Известно, что он на $y$ тенге дороже сатина, цена которого $x$ тенге за метр.
Цена одного метра шелка = $x + y$ тенге.
Было продано $n$ метров шелка. Теперь можем найти стоимость всего шелка:
Стоимость шелка = $n \cdot (x + y)$ тенге.

3. Находим общую стоимость покупки
Общая стоимость покупки равна сумме стоимости сатина и стоимости шелка.
Общая стоимость = (Стоимость сатина) + (Стоимость шелка)
Общая стоимость = $m \cdot x + n \cdot (x + y)$ тенге.

Ответ: За всю покупку заплатили $mx + n(x + y)$ тенге.

2.81. Двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Между цифрами этого двузначного числа записали цифру $0$ и получили трехзначное число. Докажите, что разность полученного трехзначного числа и данного двузначного числа кратна $90$.

Пусть исходное двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно записать как $10a + b$. Согласно условию, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

После того как между цифрами $a$ и $b$ вставили цифру 0, получилось новое, трехзначное число. В этом числе $a$ — это цифра сотен, 0 — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это новое число можно записать как $100 \cdot a + 10 \cdot 0 + b$, что равно $100a + b$.

Теперь найдем разность полученного трехзначного числа и исходного двузначного числа. Для этого вычтем из второго числа первое:
$(100a + b) - (10a + b)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:
$100a + b - 10a - b = (100a - 10a) + (b - b) = 90a$

Разность равна $90a$. Поскольку $a$ — это целое число (количество десятков в исходном числе), то произведение $90a$ по определению является числом, кратным 90. Таким образом, мы доказали, что разность полученного трехзначного числа и данного двузначного числа всегда кратна 90.

Ответ: Разность между новым трехзначным и исходным двузначным числом равна $90a$. Так как $a$ является целым числом, выражение $90a$ всегда делится на 90 нацело, что и доказывает требуемое утверждение.

2.82. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $4a^3b-10a^2b^2+2ab^3;$

2) $18x^3y+21x^2y^2-3xy^3;$

3) $8x^5y^2-12x^4y^2+12x^3y^2-4x^2y^2;$

4) $-20x^2y^3z^2-35x^3y^2z^3+15x^3y^2z^2;$

5) $16a^5b-8a^4b^3-6a^3b^3+10a^2b^4;$

6) $6a^4x^3-15a^3x^4+15a^2x^5-9ax^6.$

1) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов.
Сначала определим НОД для числовых коэффициентов 4, 10 и 2. Он равен 2.
Затем найдем общие переменные в их наименьших степенях. Для переменной $a$ наименьшая степень - первая ($a^1=a$), для переменной $b$ наименьшая степень также первая ($b^1=b$).
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $2ab$.
Вынесем $2ab$ за скобки, разделив каждый член многочлена на этот множитель:
$4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3 = 2ab \cdot (\frac{4a^3b}{2ab} - \frac{10a^2b^2}{2ab} + \frac{2ab^3}{2ab}) = 2ab(2a^2 - 5ab + b^2)$.
Ответ: $2ab(2a^2 - 5ab + b^2)$

2) Рассмотрим выражение $18x^3y + 21x^2y^2 - 3xy^3$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 18, 21 и 3 равен 3.
Наименьшая степень переменной $x$, входящей во все члены, — первая ($x$).
Наименьшая степень переменной $y$, входящей во все члены, — первая ($y$).
Общий множитель равен $3xy$.
Выносим его за скобки:
$18x^3y + 21x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(6x^2 + 7xy - y^2)$.
Ответ: $3xy(6x^2 + 7xy - y^2)$

3) Рассмотрим выражение $8x^5y^2 - 12x^4y^2 + 12x^3y^2 - 4x^2y^2$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 8, 12, 12 и 4 равен 4.
Наименьшая степень переменной $x$ — вторая ($x^2$).
Переменная $y$ входит во все члены в одинаковой степени — второй ($y^2$).
Общий множитель равен $4x^2y^2$.
Выносим его за скобки:
$8x^5y^2 - 12x^4y^2 + 12x^3y^2 - 4x^2y^2 = 4x^2y^2(2x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$.
Ответ: $4x^2y^2(2x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

4) Рассмотрим выражение $-20x^2y^3z^2 - 35x^3y^2z^3 + 15x^3y^2z^2$.
Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 20, 35 и 15 равен 5.
Наименьшая степень переменной $x$ — вторая ($x^2$).
Наименьшая степень переменной $y$ — вторая ($y^2$).
Наименьшая степень переменной $z$ — вторая ($z^2$).
Общий множитель равен $5x^2y^2z^2$.
Выносим его за скобки:
$-20x^2y^3z^2 - 35x^3y^2z^3 + 15x^3y^2z^2 = 5x^2y^2z^2(-4y - 7xz + 3x)$.
Для более удобного вида можно переставить слагаемые внутри скобок: $5x^2y^2z^2(3x - 4y - 7xz)$.
Ответ: $5x^2y^2z^2(3x - 4y - 7xz)$

5) Рассмотрим выражение $16a^5b - 8a^4b^3 - 6a^3b^3 + 10a^2b^4$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 16, 8, 6 и 10 равен 2.
Наименьшая степень переменной $a$ — вторая ($a^2$).
Наименьшая степень переменной $b$ — первая ($b$).
Общий множитель равен $2a^2b$.
Выносим его за скобки:
$16a^5b - 8a^4b^3 - 6a^3b^3 + 10a^2b^4 = 2a^2b(8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3)$.
Ответ: $2a^2b(8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3)$

6) Рассмотрим выражение $6a^4x^3 - 15a^3x^4 + 15a^2x^5 - 9ax^6$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 6, 15, 15 и 9 равен 3.
Наименьшая степень переменной $a$ — первая ($a$).
Наименьшая степень переменной $x$ — третья ($x^3$).
Общий множитель равен $3ax^3$.
Выносим его за скобки:
$6a^4x^3 - 15a^3x^4 + 15a^2x^5 - 9ax^6 = 3ax^3(2a^3 - 5a^2x + 5ax^2 - 3x^3)$.
Ответ: $3ax^3(2a^3 - 5a^2x + 5ax^2 - 3x^3)$