Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) Как вы понимаете понятие последовательности чисел? Приведите пример.

2) Как могут располагаться показатели степени в числовых последовательностях, в составе которых имеются степени? Приведите пример для всех возможных случаев.

3) Как записывается стандартный вид числа? Приведите пример.

4) Как вы понимаете значащую часть числа, записанного в стандартном виде? Какому условию должна удовлетворять значащая часть числа?

5) Может ли значащая часть числа быть меньше 1 или больше 10?

6) Что такое порядок числа, записанного в стандартном виде? Какой может быть знак порядка очень большого числа или очень малого числа? Приведите пример.

1) Запишите количество зерен, которое запросил Сета, в стандартном виде. Это число после запятой округлите до двух значащих цифр.

2) В сумме $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{63}$ найдите значения первых 8 слагаемых, определите сумму первых 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 слагаемых и запишите результаты в порядке возрастания.

3) Считается, что 1 пуд содержит в среднем $4000 = 4 \cdot 10^3$ зерен, а в самые урожайные годы в Казахстане намолачивают $1\,000\,000\,000 = 1 \cdot 10^9$ пудов зерна. Полагая, что Казахстан ежегодно может намолачивать $10^9$ пудов зерна, определите, за сколько лет Казахстан может собрать необходимое для Сета количество зерна.

1. Как вы понимаете понятие последовательности чисел? Приведите пример.

Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный порядковый номер (натуральное число). Иными словами, это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности называется ее членом. Например, последовательность может быть задана формулой $n$-го члена, которая показывает, как найти любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность четных положительных чисел: 2, 4, 6, 8, ... . Ее можно задать формулой $a_n = 2n$, где $n = 1, 2, 3, ...$. Здесь $a_1 = 2 \cdot 1 = 2$, $a_2 = 2 \cdot 2 = 4$, и так далее.
Ответ: Числовая последовательность — это занумерованный ряд чисел. Пример: $a_n = n^2$ (1, 4, 9, 16, ...).

2. Как могут располагаться показатели степени в числовых последовательностях, в составе которых имеются степени? Приведите пример для всех возможных случаев.

В числовых последовательностях, содержащих степени, показатели степени сами могут образовывать последовательность. Они могут располагаться следующим образом:
1. В порядке возрастания: Показатели степени увеличиваются. Пример: $5^1, 5^2, 5^3, 5^4, \dots$ (последовательность $a_n=5^n$).
2. В порядке убывания: Показатели степени уменьшаются. Пример: $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, 10^{-4}, \dots$ (последовательность $a_n=10^{-n}$).
3. Быть постоянными: Показатели степени не изменяются. Пример: $7^3, 7^3, 7^3, 7^3, \dots$ (последовательность $a_n=7^3$).
4. Располагаться немонотонно (без определенного порядка возрастания/убывания): Показатели степени то увеличиваются, то уменьшаются. Пример: $2^{-1}, 2^2, 2^{-3}, 2^4, \dots$ (последовательность $a_n=2^{n \cdot (-1)^n}$).
Ответ: Показатели степени могут возрастать ($a_n = 2^n$), убывать ($a_n = 2^{-n}$), быть постоянными ($a_n = 2^3$) или изменяться немонотонно ($a_n = 2^{\sin(n)}$).

3. Как записывается стандартный вид числа? Приведите пример.

Стандартный вид числа — это его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где значащая часть (мантисса) $a$ удовлетворяет условию $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа.
Пример: Число 54300 в стандартном виде записывается как $5.43 \cdot 10^4$. Число 0.0078 в стандартном виде — это $7.8 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Пример: $125 = 1.25 \cdot 10^2$.

4. Как вы понимаете значащую часть числа, записанного в стандартном виде? Какому условию должна удовлетворять значащая часть числа?

Значащая часть числа (или мантисса), записанного в стандартном виде $a \cdot 10^n$, — это число $a$. Она представляет собой "основные" цифры числа, определяющие его значение без учета масштаба (порядка).
Значащая часть $a$ должна быть числом, большим или равным 1 и строго меньшим 10. Математически это записывается в виде двойного неравенства: $1 \le a < 10$.
Ответ: Значащая часть числа в стандартном виде $a \cdot 10^n$ — это множитель $a$. Она должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$.

5. Может ли значащая часть числа быть меньше 1 или больше 10?

Нет, по определению стандартного вида числа значащая часть $a$ не может быть меньше 1 или больше либо равна 10. Если это условие нарушается, то запись не является стандартной, хотя и может быть математически верной. Такую запись всегда можно привести к стандартному виду путем изменения порядка.
Например, запись $0.45 \cdot 10^3$ не является стандартной. Ее можно преобразовать: $0.45 \cdot 10^3 = (4.5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^3 = 4.5 \cdot 10^2$.
Аналогично, $25 \cdot 10^4 = (2.5 \cdot 10^1) \cdot 10^4 = 2.5 \cdot 10^5$.
Ответ: Нет, по определению стандартного вида числа значащая часть не может быть меньше 1 или больше либо равна 10.

6. Что такое порядок числа, записанного в стандартном виде? Какой может быть знак порядка очень большого числа или очень малого числа? Приведите пример.

Порядок числа, записанного в стандартном виде $a \cdot 10^n$, — это показатель степени $n$. Порядок указывает, на сколько позиций и в какую сторону нужно сместить десятичную запятую в значащей части, чтобы получить исходное число.
- Для очень больших чисел (значительно больше 1) порядок является положительным целым числом. Чем больше число, тем больше его порядок. Пример: масса Земли примерно равна $5.97 \cdot 10^{24}$ кг. Порядок числа равен +24.
- Для очень малых положительных чисел (близких к нулю) порядок является отрицательным целым числом. Чем меньше число, тем больше по модулю его отрицательный порядок. Пример: диаметр атома водорода примерно равен $1.06 \cdot 10^{-10}$ м. Порядок числа равен -10.
Ответ: Порядок числа в стандартном виде $a \cdot 10^n$ — это показатель $n$. У очень больших чисел порядок положительный (например, $3 \cdot 10^8$), у очень малых — отрицательный (например, $1.6 \cdot 10^{-19}$).

1) Запишите количество зерен, которое запросил Сета, в стандартном виде. Это число после запятой округлите до двух значащих цифр.

Согласно легенде, общее количество зерен на 64 клетках шахматной доски равно сумме геометрической прогрессии: $S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63}$.
Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
В нашем случае $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 64$.
$S_{64} = \frac{1(2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1$.
Вычислим это значение: $2^{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,616$.
Тогда общее количество зерен: $S_{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$.
Запишем это число в стандартном виде. Переносим запятую на 19 знаков влево: $1.8446744073709551615 \cdot 10^{19}$.
Округлим значащую часть до двух значащих цифр. Первые две значащие цифры — это 1 и 8. Следующая цифра — 4, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону.
Получаем $1.8 \cdot 10^{19}$.
Ответ: Количество зерен равно $2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$. В стандартном виде с округлением до двух значащих цифр это $1.8 \cdot 10^{19}$.

2) В сумме $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{63}$ найдите значения первых 8 слагаемых, определите сумму первых 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 слагаемых и запишите результаты в порядке возрастания.

Найдем значения первых 8 слагаемых (членов последовательности $a_n = 2^{n-1}$):
$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^3 = 8$
$a_5 = 2^4 = 16$
$a_6 = 2^5 = 32$
$a_7 = 2^6 = 64$
$a_8 = 2^7 = 128$
Теперь определим суммы (частичные суммы $S_n = 2^n - 1$):
Сумма первых 2 слагаемых: $S_2 = 1 + 2 = 3$
Сумма первых 3 слагаемых: $S_3 = 3 + 4 = 7$
Сумма первых 4 слагаемых: $S_4 = 7 + 8 = 15$
Сумма первых 5 слагаемых: $S_5 = 15 + 16 = 31$
Сумма первых 6 слагаемых: $S_6 = 31 + 32 = 63$
Сумма первых 7 слагаемых: $S_7 = 63 + 64 = 127$
Сумма первых 8 слагаемых: $S_8 = 127 + 128 = 255$
Запишем результаты (суммы) в порядке возрастания: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255.
Ответ: Первые 8 слагаемых: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Суммы первых 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 слагаемых в порядке возрастания: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255.

3) Считается, что 1 пуд содержит в среднем $4000 = 4 \cdot 10^3$ зерен, а в самые урожайные годы в Казахстане намолачивают $1 \, 000 \, 000 \, 000 = 1 \cdot 10^9$ пудов зерна. Полагая, что Казахстан ежегодно может намолачивать $10^9$ пудов зерна, определите, за сколько лет Казахстан может собрать необходимое для Сета количество зерна.

1. Найдем, сколько зерен Казахстан может собирать ежегодно.
Количество пудов в год: $P_{год} = 10^9$ пудов.
Количество зерен в одном пуде: $G_{пуд} = 4000 = 4 \cdot 10^3$ зерен.
Общее количество зерен в год: $G_{год} = P_{год} \cdot G_{пуд} = 10^9 \cdot (4 \cdot 10^3) = 4 \cdot 10^{12}$ зерен.
2. Определим необходимое количество зерен (из пункта 1):
$N_{Сета} = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ зерен.
3. Рассчитаем, сколько лет потребуется для сбора такого количества зерна.
$T = \frac{N_{Сета}}{G_{год}} = \frac{18\,446\,744\,073\,709\,551\,615}{4 \cdot 10^{12}}$
$T = \frac{1.8446744073709551615 \cdot 10^{19}}{4 \cdot 10^{12}} = \frac{1.8446744...}{4} \cdot 10^{19-12} = 0.4611686... \cdot 10^7$
$T \approx 4\,611\,686$ лет.
То есть, потребуется более 4.6 миллионов лет.
Ответ: Казахстану потребуется примерно $4\,611\,686$ лет, чтобы собрать необходимое для Сета количество зерна.