Страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.96*. Может ли уравнение $7 \cdot (x^2+2x+5)=13$ иметь целое решение?

Для того чтобы ответить на вопрос, может ли уравнение $7 \cdot (x^2 + 2x + 5) = 13$ иметь целое решение, проанализируем его структуру. Предположим, что такое целое решение $x$ существует.

Способ 1: Анализ с точки зрения делимости.

Если $x$ — целое число, то выражения $x^2$ и $2x$ также являются целыми числами. Сумма целых чисел $x^2 + 2x + 5$ тоже будет целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$:$k = x^2 + 2x + 5$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:$7 \cdot k = 13$

Из этого равенства следует, что число 13 должно делиться на 7 нацело. Однако, при делении 13 на 7 получается 1 и в остатке 6 ($13 = 1 \cdot 7 + 6$). Так как 13 не делится на 7 без остатка, не существует такого целого числа $k$, которое удовлетворяло бы уравнению $7k=13$. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Способ 2: Анализ значения выражения.

Рассмотрим выражение в скобках $x^2 + 2x + 5$. Выделим в нем полный квадрат:$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 4$

Теперь исходное уравнение выглядит так:$7 \cdot ((x+1)^2 + 4) = 13$

Если $x$ — целое число, то $x+1$ также является целым числом. Квадрат любого целого числа неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.Наименьшее значение, которое может принимать выражение $(x+1)^2$ при целом $x$, равно 0 (это достигается при $x = -1$).Тогда наименьшее значение всего выражения в скобках $(x+1)^2 + 4$ будет равно $0 + 4 = 4$.Следовательно, наименьшее значение левой части уравнения $7 \cdot ((x+1)^2 + 4)$ равно $7 \cdot 4 = 28$.Таким образом, левая часть уравнения всегда больше или равна 28. Правая же часть уравнения равна 13. Равенство $28 \le 13$ неверно, поэтому уравнение не имеет решений не только в целых, но и в действительных числах.

Оба способа показывают, что уравнение не может иметь целых решений.

Ответ: нет, данное уравнение не может иметь целых решений.