Страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Найдите значение дроби:

1) $\frac{5^6}{5^4}$;

2) $\frac{9^{12}}{9^{11}};$

3) $\frac{0,8^5}{0,8^3}$;

4) $\frac{\left(-1\frac{1}{2}\right)^4}{-1\frac{1}{2}}$;

5) $\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^7}{\left(\frac{2}{3}\right)^4}$;

6) $(1,3)^9 : \left(\frac{13}{10}\right)^7$.

1) Для нахождения значения дроби $\frac{5^6}{5^4}$ воспользуемся свойством степени: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Применяем это свойство к нашему выражению:

$\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

2) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{9^{12}}{9^{11}} = 9^{12-11} = 9^1 = 9$.

Ответ: 9

3) Используем то же свойство степени для дроби $\frac{0,8^5}{0,8^3}$.

$\frac{0,8^5}{0,8^3} = 0,8^{5-3} = 0,8^2$.

Возводим 0,8 в квадрат:

$0,8^2 = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64$.

Ответ: 0,64

4) В выражении $\frac{(-1\frac{1}{2})^4}{-1\frac{1}{2}}$ основание степени в числителе и знаменателе одинаковое. Знаменатель можно представить как $(-1\frac{1}{2})^1$. Применяем свойство деления степеней:

$\frac{(-1\frac{1}{2})^4}{(-1\frac{1}{2})^1} = (-1\frac{1}{2})^{4-1} = (-1\frac{1}{2})^3$.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь возведем полученную дробь в куб:

$(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.

Выделим целую часть, чтобы перевести неправильную дробь обратно в смешанное число:

$-\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8}$.

Ответ: $-3\frac{3}{8}$

5) Для дроби $\frac{(\frac{2}{3})^7}{(\frac{2}{3})^4}$ применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием.

$\frac{(\frac{2}{3})^7}{(\frac{2}{3})^4} = (\frac{2}{3})^{7-4} = (\frac{2}{3})^3$.

Возводим дробь в куб, для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$

6) В выражении $(1,3)^9 : (\frac{13}{10})^7$ для удобства представим десятичную дробь 1,3 в виде обыкновенной дроби. Это позволит нам работать с одинаковыми основаниями.

$1,3 = \frac{13}{10}$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(\frac{13}{10})^9 : (\frac{13}{10})^7$.

Знак деления ":" означает то же, что и дробная черта. Применяем свойство деления степеней:

$(\frac{13}{10})^{9-7} = (\frac{13}{10})^2$.

Возводим дробь в квадрат:

$(\frac{13}{10})^2 = \frac{13^2}{10^2} = \frac{169}{100} = 1,69$.

Ответ: 1,69

1.51. Вычислите:

1) $ \frac{17^9 \cdot 17^5}{17^{13}} $

2) $ \frac{4^{15}}{4^5 \cdot 4^8} $

3) $ \frac{5^{16} \cdot 5^4}{5^{18}} $

4) $ \frac{0,3^{12}}{0,3^4 \cdot 0,3^5} $

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала выполним умножение в числителе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$17^9 \cdot 17^5 = 17^{9+5} = 17^{14}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{17^{14}}{17^{13}}$.

Далее воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{17^{14}}{17^{13}} = 17^{14-13} = 17^1 = 17$

Ответ: 17.

2) Сначала упростим знаменатель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$4^5 \cdot 4^8 = 4^{5+8} = 4^{13}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{4^{15}}{4^{13}}$.

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{4^{15}}{4^{13}} = 4^{15-13} = 4^2$

Вычислим полученное значение:

$4^2 = 16$

Ответ: 16.

3) Упростим числитель, сложив показатели степеней с одинаковым основанием 5:

$5^{16} \cdot 5^4 = 5^{16+4} = 5^{20}$

Получим дробь: $\frac{5^{20}}{5^{18}}$.

Теперь выполним деление, вычтя показатель знаменателя из показателя числителя:

$\frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2$

Вычислим результат:

$5^2 = 25$

Ответ: 25.

4) Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$0,3^4 \cdot 0,3^5 = 0,3^{4+5} = 0,3^9$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{0,3^{12}}{0,3^9}$.

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$\frac{0,3^{12}}{0,3^9} = 0,3^{12-9} = 0,3^3$

Вычислим итоговое значение:

$0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$

Ответ: 0,027.

1.52. Представьте выражение в виде степени:

1) $ (a^{12} : a^7) \cdot a^2; $

2) $ (x^5 \cdot x^7) : x^8; $

3) $ b^{12} : (b^4 \cdot b^3). $

1) Для упрощения выражения $(a^{12}:a^7)\cdot a^2$ необходимо последовательно выполнить действия, используя свойства степеней.
Сначала выполним деление в скобках. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^{12} : a^7 = a^{12-7} = a^5$.
Теперь полученный результат $a^5$ умножим на $a^2$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^5 \cdot a^2 = a^{5+2} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

2) Для упрощения выражения $(x^5 \cdot x^7) : x^8$ сначала выполним действие в скобках.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$x^5 \cdot x^7 = x^{5+7} = x^{12}$.
Теперь разделим полученный результат на $x^8$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$x^{12} : x^8 = x^{12-8} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

3) Для упрощения выражения $b^{12} : (b^4 \cdot b^3)$ сначала выполним действие в скобках.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
$b^4 \cdot b^3 = b^{4+3} = b^7$.
Теперь выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $b^m : b^n = b^{m-n}$.
$b^{12} : b^7 = b^{12-7} = b^5$.
Ответ: $b^5$.

1.53. Упростите выражение:

1) $(a^5 \cdot a^3 + a^8 \cdot a^0) : a^7$

2) $x^{12} : (2x^3 \cdot x^4 - x^2 \cdot x^5)$

1) Для упрощения выражения $(a^5 \cdot a^3 + a^8 \cdot a^0) : a^7$ выполним действия по порядку, сначала в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а любое число в нулевой степени равно 1 ($x^0 = 1$, при $x \neq 0$).

Первое слагаемое в скобках: $a^5 \cdot a^3 = a^{5+3} = a^8$.

Второе слагаемое в скобках: $a^8 \cdot a^0 = a^8 \cdot 1 = a^8$.

2. Теперь сложим полученные выражения в скобках:

$a^8 + a^8 = 2a^8$.

3. Выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

$(2a^8) : a^7 = 2 \cdot a^{8-7} = 2 \cdot a^1 = 2a$.

Ответ: $2a$.

2) Для упрощения выражения $x^{12} : (2x^3 \cdot x^4 - x^2 \cdot x^5)$ также сначала выполним действия в скобках.

1. Упростим выражение в скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).

Первый член в скобках: $2x^3 \cdot x^4 = 2x^{3+4} = 2x^7$.

Второй член в скобках: $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5} = x^7$.

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$2x^7 - x^7 = (2-1)x^7 = 1x^7 = x^7$.

3. Выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

$x^{12} : x^7 = x^{12-7} = x^5$.

Ответ: $x^5$.

1.54. Представьте выражение в виде степени:

1) $2^5 \cdot 8 \cdot 16;$

2) $16 \cdot 64 \cdot 128;$

3) $7^n \cdot 343;$

4) $243 \cdot 3^k.$

1) Чтобы представить выражение $2^5 \cdot 8 \cdot 16$ в виде степени, необходимо все множители привести к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим числа 8 и 16 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Теперь подставим полученные степени в исходное выражение:
$2^5 \cdot 8 \cdot 16 = 2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^4$

Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого сложим показатели степеней:
$2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^4 = 2^{5+3+4} = 2^{12}$

Ответ: $2^{12}$

2) Представим все множители в выражении $16 \cdot 64 \cdot 128$ в виде степеней с общим основанием 2.

Представим каждый множитель как степень двойки:
$16 = 2^4$
$64 = 2^6$
$128 = 2^7$

Подставим эти значения в выражение:
$16 \cdot 64 \cdot 128 = 2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^7$

Сложим показатели степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$:
$2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^7 = 2^{4+6+7} = 2^{17}$

Ответ: $2^{17}$

3) В выражении $7^n \cdot 343$ один из множителей уже является степенью с основанием 7. Представим второй множитель, число 343, в виде степени с тем же основанием.

Найдем, в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 343:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$

Следовательно, $343 = 7^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:
$7^n \cdot 343 = 7^n \cdot 7^3$

Сложим показатели степеней:
$7^n \cdot 7^3 = 7^{n+3}$

Ответ: $7^{n+3}$

4) В выражении $243 \cdot 3^k$ необходимо представить число 243 в виде степени с основанием 3.

Найдем, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 243:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 81 \cdot 3 = 243$

Следовательно, $243 = 3^5$.

Теперь подставим полученное значение в выражение:
$243 \cdot 3^k = 3^5 \cdot 3^k$

Сложим показатели степеней по свойству умножения степеней:
$3^5 \cdot 3^k = 3^{5+k}$

Ответ: $3^{5+k}$

1.55. Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен $b^4$.

1) $b^{11}$;

2) $b^7$;

3) $b^3 \cdot b^2 \cdot b$;

4) $\frac{b^{10} \cdot b^2}{b^4}$.

Чтобы представить выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен $b^4$, мы будем использовать свойство степеней: $a^m = a^n \cdot a^{m-n}$. Для каждого выражения мы должны найти второй множитель.

Представим степень $b^{11}$ в виде произведения, где один из множителей — $b^4$. Для этого воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
Показатель степени 11 можно представить в виде суммы: $11 = 4 + 7$.
Следовательно, выражение можно записать так:
$b^{11} = b^{4+7} = b^4 \cdot b^7$.
Таким образом, мы представили $b^{11}$ в виде произведения двух множителей: $b^4$ и $b^7$.
Ответ: $b^4 \cdot b^7$

Аналогично предыдущему пункту, представим $b^7$ в виде произведения с множителем $b^4$.
Представим показатель степени 7 в виде суммы: $7 = 4 + 3$.
Тогда:
$b^7 = b^{4+3} = b^4 \cdot b^3$.
Два множителя — это $b^4$ и $b^3$.
Ответ: $b^4 \cdot b^3$

Сначала необходимо упростить данное выражение. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), учитывая, что $b = b^1$.
$b^3 \cdot b^2 \cdot b = b^3 \cdot b^2 \cdot b^1 = b^{3+2+1} = b^6$.
Теперь полученное выражение $b^6$ представим в виде произведения, один из множителей которого равен $b^4$.
$b^6 = b^{4+2} = b^4 \cdot b^2$.
Ответ: $b^4 \cdot b^2$

Сначала упростим это выражение. Выполним действие в числителе, используя правило умножения степеней:
$b^{10} \cdot b^2 = b^{10+2} = b^{12}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{b^{12}}{b^4}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{b^{12}}{b^4} = b^{12-4} = b^8$.
Осталось представить $b^8$ в виде произведения с множителем $b^4$.
$b^8 = b^{4+4} = b^4 \cdot b^4$.
Ответ: $b^4 \cdot b^4$

1.56. Замените $x$ степенью с основанием $a$ так, чтобы полученное равенство было тождеством:

1) $a^3 \cdot x = a^5$;

2) $x \cdot a^4 = a^8$;

3) $a^7 \cdot x = a^{11}$;

4) $a^5 \cdot x = a^{16}$.

1) Чтобы равенство $a^3 \cdot x = a^5$ было тождеством, необходимо заменить $x$ на такую степень с основанием $a$, чтобы при умножении на $a^3$ получился результат $a^5$. Пусть $x = a^n$.

Тогда уравнение принимает вид: $a^3 \cdot a^n = a^5$.

Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), левую часть можно записать как $a^{3+n}$.

Получаем равенство: $a^{3+n} = a^5$.

Для того чтобы это равенство было верным, показатели степеней должны быть равны:

$3 + n = 5$

Решаем это простое уравнение относительно $n$:

$n = 5 - 3 = 2$

Следовательно, $x$ нужно заменить на $a^2$.

Проверка: $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^2$.

2) В уравнении $x \cdot a^4 = a^8$ заменим $x$ на степень с основанием $a$, то есть $x = a^n$.

Получаем: $a^n \cdot a^4 = a^8$.

Используя свойство умножения степеней, получаем:

$a^{n+4} = a^8$

Приравниваем показатели степеней:

$n + 4 = 8$

Находим $n$:

$n = 8 - 4 = 4$

Таким образом, $x$ следует заменить на $a^4$.

Проверка: $a^4 \cdot a^4 = a^{4+4} = a^8$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^4$.

3) Для уравнения $a^7 \cdot x = a^{11}$ представим $x$ в виде $a^n$.

Уравнение преобразуется к виду: $a^7 \cdot a^n = a^{11}$.

По свойству умножения степеней, складываем показатели в левой части:

$a^{7+n} = a^{11}$

Равенство будет верным, если показатели степеней равны:

$7 + n = 11$

Находим $n$:

$n = 11 - 7 = 4$

Следовательно, искомое выражение для $x$ есть $a^4$.

Проверка: $a^7 \cdot a^4 = a^{7+4} = a^{11}$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^4$.

4) В равенстве $a^5 \cdot x = a^{16}$ заменим $x$ на $a^n$.

Получаем уравнение: $a^5 \cdot a^n = a^{16}$.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:

$a^{5+n} = a^{16}$

Приравниваем показатели степеней для нахождения $n$:

$5 + n = 16$

Решаем уравнение:

$n = 16 - 5 = 11$

Значит, $x$ нужно заменить на $a^{11}$.

Проверка: $a^5 \cdot a^{11} = a^{5+11} = a^{16}$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^{11}$.

1.57. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ является натуральным числом.

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ является натуральным числом при любом натуральном $n$, нужно показать, что числитель $10^n - 1$ всегда делится нацело на 9, и результат деления является положительным целым числом.

Рассмотрим доказательство тремя способами.

Признак делимости на 9 гласит: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим числитель дроби: $10^n - 1$.

При $n=1$, $10^1 - 1 = 9$.
При $n=2$, $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$.
При $n=3$, $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$.
В общем случае, число $10^n$ — это цифра 1, за которой следуют $n$ нулей. Число $10^n - 1$ — это число, состоящее из $n$ цифр, каждая из которых равна 9. Например, $10^5 - 1 = 99999$.

Найдем сумму цифр числа $10^n - 1$. Поскольку это число состоит из $n$ девяток, его сумма цифр равна: $ S = \underbrace{9 + 9 + \dots + 9}_{n \text{ раз}} = 9n $

Сумма цифр $9n$ очевидно делится на 9 при любом натуральном $n$. Следовательно, по признаку делимости, само число $10^n - 1$ делится на 9 нацело.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Тогда $10^n \ge 10$, и $10^n - 1 \ge 9$. Это означает, что $10^n - 1$ — положительное число. Частное от деления положительного числа на положительное число также является положительным.

Таким образом, выражение $ \frac{10^n - 1}{9} $ при любом натуральном $n$ является целым положительным числом, то есть натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано.

Докажем утверждение P(n): "число $10^n - 1$ делится на 9" для всех натуральных $n$.

1. База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$.
$10^1 - 1 = 9$. Число 9 делится на 9. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $10^k - 1$ делится на 9.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $10^{k+1} - 1$ делится на 9.
Преобразуем выражение $10^{k+1} - 1$:
$10^{k+1} - 1 = 10 \cdot 10^k - 1 = (9 \cdot 10^k + 10^k) - 1 = 9 \cdot 10^k + (10^k - 1)$
В полученной сумме первое слагаемое $9 \cdot 10^k$ очевидно делится на 9. Второе слагаемое $(10^k - 1)$ делится на 9 по индукционному предположению. Сумма двух чисел, делящихся на 9, также делится на 9.
Следовательно, $10^{k+1} - 1$ делится на 9.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение о том, что $10^n - 1$ делится на 9, верно для всех натуральных чисел $n$.

Так как $10^n - 1$ всегда делится на 9, то дробь $ \frac{10^n - 1}{9} $ всегда является целым числом. А поскольку при натуральном $n$ числитель $10^n - 1 > 0$, то и результат деления будет положительным, то есть натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано.

Рассмотрим число, состоящее из $n$ единиц: $\underbrace{11\dots1}_{n}$. Его можно представить в виде суммы степеней числа 10:
$\underbrace{11\dots1}_{n} = 1 \cdot 10^{n-1} + 1 \cdot 10^{n-2} + \dots + 1 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$

Эта сумма является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 10$.

Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. Подставив наши значения, получим:
$S_n = \frac{1 \cdot (10^n - 1)}{10-1} = \frac{10^n - 1}{9}$

Таким образом, значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ равно числу, состоящему из $n$ единиц.

Поскольку число, состоящее из $n$ единиц (например, 1, 11, 111 и т.д.), при любом натуральном $n$ является натуральным числом, то и исходное выражение является натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано.