Номер 1.56, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Замените $x$ степенью с основанием $a$ так, чтобы полученное равенство было тождеством:

1) $a^3 \cdot x = a^5$;

2) $x \cdot a^4 = a^8$;

3) $a^7 \cdot x = a^{11}$;

4) $a^5 \cdot x = a^{16}$.

1) Чтобы равенство $a^3 \cdot x = a^5$ было тождеством, необходимо заменить $x$ на такую степень с основанием $a$, чтобы при умножении на $a^3$ получился результат $a^5$. Пусть $x = a^n$.

Тогда уравнение принимает вид: $a^3 \cdot a^n = a^5$.

Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), левую часть можно записать как $a^{3+n}$.

Получаем равенство: $a^{3+n} = a^5$.

Для того чтобы это равенство было верным, показатели степеней должны быть равны:

$3 + n = 5$

Решаем это простое уравнение относительно $n$:

$n = 5 - 3 = 2$

Следовательно, $x$ нужно заменить на $a^2$.

Проверка: $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^2$.

2) В уравнении $x \cdot a^4 = a^8$ заменим $x$ на степень с основанием $a$, то есть $x = a^n$.

Получаем: $a^n \cdot a^4 = a^8$.

Используя свойство умножения степеней, получаем:

$a^{n+4} = a^8$

Приравниваем показатели степеней:

$n + 4 = 8$

Находим $n$:

$n = 8 - 4 = 4$

Таким образом, $x$ следует заменить на $a^4$.

Проверка: $a^4 \cdot a^4 = a^{4+4} = a^8$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^4$.

3) Для уравнения $a^7 \cdot x = a^{11}$ представим $x$ в виде $a^n$.

Уравнение преобразуется к виду: $a^7 \cdot a^n = a^{11}$.

По свойству умножения степеней, складываем показатели в левой части:

$a^{7+n} = a^{11}$

Равенство будет верным, если показатели степеней равны:

$7 + n = 11$

Находим $n$:

$n = 11 - 7 = 4$

Следовательно, искомое выражение для $x$ есть $a^4$.

Проверка: $a^7 \cdot a^4 = a^{7+4} = a^{11}$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^4$.

4) В равенстве $a^5 \cdot x = a^{16}$ заменим $x$ на $a^n$.

Получаем уравнение: $a^5 \cdot a^n = a^{16}$.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:

$a^{5+n} = a^{16}$

Приравниваем показатели степеней для нахождения $n$:

$5 + n = 16$

Решаем уравнение:

$n = 16 - 5 = 11$

Значит, $x$ нужно заменить на $a^{11}$.

Проверка: $a^5 \cdot a^{11} = a^{5+11} = a^{16}$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=a^{11}$.