Номер 1.57, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.57. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ является натуральным числом.

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ является натуральным числом при любом натуральном $n$, нужно показать, что числитель $10^n - 1$ всегда делится нацело на 9, и результат деления является положительным целым числом.

Рассмотрим доказательство тремя способами.

Признак делимости на 9 гласит: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим числитель дроби: $10^n - 1$.

При $n=1$, $10^1 - 1 = 9$.
При $n=2$, $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$.
При $n=3$, $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$.
В общем случае, число $10^n$ — это цифра 1, за которой следуют $n$ нулей. Число $10^n - 1$ — это число, состоящее из $n$ цифр, каждая из которых равна 9. Например, $10^5 - 1 = 99999$.

Найдем сумму цифр числа $10^n - 1$. Поскольку это число состоит из $n$ девяток, его сумма цифр равна: $ S = \underbrace{9 + 9 + \dots + 9}_{n \text{ раз}} = 9n $

Сумма цифр $9n$ очевидно делится на 9 при любом натуральном $n$. Следовательно, по признаку делимости, само число $10^n - 1$ делится на 9 нацело.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Тогда $10^n \ge 10$, и $10^n - 1 \ge 9$. Это означает, что $10^n - 1$ — положительное число. Частное от деления положительного числа на положительное число также является положительным.

Таким образом, выражение $ \frac{10^n - 1}{9} $ при любом натуральном $n$ является целым положительным числом, то есть натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано.

Докажем утверждение P(n): "число $10^n - 1$ делится на 9" для всех натуральных $n$.

1. База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$.
$10^1 - 1 = 9$. Число 9 делится на 9. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $10^k - 1$ делится на 9.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $10^{k+1} - 1$ делится на 9.
Преобразуем выражение $10^{k+1} - 1$:
$10^{k+1} - 1 = 10 \cdot 10^k - 1 = (9 \cdot 10^k + 10^k) - 1 = 9 \cdot 10^k + (10^k - 1)$
В полученной сумме первое слагаемое $9 \cdot 10^k$ очевидно делится на 9. Второе слагаемое $(10^k - 1)$ делится на 9 по индукционному предположению. Сумма двух чисел, делящихся на 9, также делится на 9.
Следовательно, $10^{k+1} - 1$ делится на 9.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение о том, что $10^n - 1$ делится на 9, верно для всех натуральных чисел $n$.

Так как $10^n - 1$ всегда делится на 9, то дробь $ \frac{10^n - 1}{9} $ всегда является целым числом. А поскольку при натуральном $n$ числитель $10^n - 1 > 0$, то и результат деления будет положительным, то есть натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано.

Рассмотрим число, состоящее из $n$ единиц: $\underbrace{11\dots1}_{n}$. Его можно представить в виде суммы степеней числа 10:
$\underbrace{11\dots1}_{n} = 1 \cdot 10^{n-1} + 1 \cdot 10^{n-2} + \dots + 1 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$

Эта сумма является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 10$.

Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. Подставив наши значения, получим:
$S_n = \frac{1 \cdot (10^n - 1)}{10-1} = \frac{10^n - 1}{9}$

Таким образом, значение дроби $ \frac{10^n - 1}{9} $ равно числу, состоящему из $n$ единиц.

Поскольку число, состоящее из $n$ единиц (например, 1, 11, 111 и т.д.), при любом натуральном $n$ является натуральным числом, то и исходное выражение является натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано.